(完整版)常微分方程复习资料

常微分方程复习资料

一、 填空题

1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 2．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．

4．方程

21d d y x y

-=的常数解是 ．

5．方程22d d y x x

y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

6．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x

y

)(d d ϕ=的任一非零解

与x 轴相交． 7．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．

8．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

9．方程0d )1(1)d (2

2=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 10．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

11．方程1d d +=y x

y

满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

12．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 二、单项选择题

1．方程y x x

y

+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 2．)(y f 连续可微是保证方程

)(d d y f x

y

=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．

（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性

4．方程32

3d d y x

y

=过点(0, 0)有（ ）．

(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．

（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维 6. 方程

2d d +-=y x x

y

（ ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个

7．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）．

（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+ （C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+

8．),(y x f y '

连续是方程

),(d d y x f x

y

=初值解唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分

9．方程

y x

y

=d d 的奇解是（ ）

． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y

10. 方程21d d y x y -=过点)1,2

(π

共有（ ）个解．

（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三

11．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．

（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解

13．如果),(y x f ，

y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x

y

=的任一解的存在区间（ ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定 三、计算题

求下列方程的通解或通积分：

1.

y y x

y

ln d d = 2. x y x y x y +-=2)(1d d 3. 5d d xy y x

y += 4．0)d (d 222=-+y y x x xy

5．3

)(2y y x y '+'= 6. 2

1d d x

xy x y += 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x

9．0e =-'+'x y y 10．0)(2

='+''y y y

11. x y x y x y tan d d += 12. 1d d +=x y x y

13. 0d d )e (2=+-y x x y x y

14．1)ln (='-'y x y

15．022=+'+''x y y y 16．求方程2

55x y y -='-''的通解．

17．求下列方程组的通解．

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x

t

y t

y t x d d sin 1d d 18．求方程x y y e 21=-''的通解．

19．求下列方程组的通解

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t

y y x t

x

43d d 2d d ．

五、证明题