电磁场中的基本物理量

dQ Nq vdt dS v dSdt J dSdt dQ 通过dS的电流强度为： dI J dS dt dQ
dI dt J ej dS dS

P
vdt
物理意义：单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积的电量
中国矿业大学 关于体电流密度的说明
J v 式中： 为空间中电荷体密度， v 为正电荷流动速度
0 r 0 q (r ) lim V 0 V r 0
二、 电流与电流密度
q dq I lim t 0 t dt
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电流由定向流动的电荷形成，通常用 I 表示，定义为
电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量 当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定 （稳恒）电流 空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过 某截面的电荷量无法描述电流的分布情况
在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁 场的矢量积分公式。
2.1 电磁场的源量——电荷和电流
一、电荷与电荷密度
自然界中最小的带电粒子包括电子和质子 一般带电体的电荷量通常用q表示
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从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的
从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范 围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中
线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷
l (r ) 的定义 线电荷密度
在线电荷上，任取线元 l ，其中电荷量为 q
q dq 则 l (r ) lim l 0 l dl
点电荷
q l (r )dl
l
当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点 电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。
取电流流动空间中的任意一个体积V，设在
I
S
dt时间内，V内流出S的电荷量为dq 由电荷守恒 定律：dt 时间内，V内电荷改变量为 dq
由电流强度定义：
J (r ) ds dt S dq d J (r ) ds (r )dV s dt dt V
dq I dt
dq J dS I 3.97( A) S dt
2.2 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
库仑定律内容：如图，电荷q1对 电荷q2的作用力为：
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库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律
1 q1 q2 q1 q2 F12 e R 2 R 3 r 4 0 R 4 0 R r' R eR 式中： R R R r r ' R O 1 9 为真空中介电常数。 10 F /m 0 0 36 对库仑定律的进一步讨论

中国矿业大学 关于面电流密度的说明
若表面上电荷密度为 s ，且电荷沿某方向以速度 v 运动，则 可推得此时面电流密度为：
J s s v
J s 是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢 量场分布
Js的方向为空间中电流流动的方向
Js在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量
P
F q E (r ) lim er 2 q 0 q 4 0 r q 1 ( ) 4 0 r
r
q
O
Rr
多个点电荷组成的电荷系统产生的电场 由矢量叠加原理， N 个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发
的电场为
qi E R 3 i 4 0 i 1 Ri 1
EN E1
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元 和积分区域作相应替换即可，如
4 0 1 E r 4 0
E r
1

s r ' R
3
R l r ' R l R3 dl
V
dS
面电荷 线电荷
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例 图中所示为一个半径为 r 的带电细圆环，圆环上单位长 度带电l，总电量为q。求圆环轴线上任意点的电场。
时变面电流 恒定面电流

l

J s (n d l ) 0


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例 在球面坐标系中，传导电流密度为J=er10r-1.5(A/m)， 求：（1）通过半径r＝1mm的球面的电流值；（2）在半径r=1mm的球面 上电荷密度的增加率；（3）在半径r=1mm的球体内总电荷的增加率。
解： （1） I
q
R
q2
大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上
中国矿业大学
多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即
qi F Fi Ri 3 4 0 i Ri i q
连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解
二、电场强度矢量 E
电场的定义
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质 中时，会受到电场力的作用
q (r )dV
V
面电荷密度
面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷 面电荷密度 s (r ) 的定义 在面电荷上，任取面积元 S ，其中电荷量为 q 则 (r ) lim q dq s
S 0
S
dS
q s (r )ds
S
线电荷密度
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通过截面积S的电流
I J d S J nd S
S S



反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场 一般是时间t的函数，即J=J(r, t) 。恒定电流是特殊情况 如有N种带电粒子，电荷密度分别为i，平均速度为vi，则
N
= 0时可能存在电流。如导体中电荷体密度为0，但因正电
的薄层内流动，薄层的横截面 S ，
n 为表示截面方向的单位矢量。显 然穿过截面的电流为

Js
h

S l n

I J S J n hl J h n l J s n l I dI J s lim l 0 l dl
cos l R2 dl
l
r0
O
dl

l
ez l z z dl 3 R 4 0 R 3
2 r l z qz l dl 4 0 R3 ez 4 0 R3 ez
中国矿业大学 结 果 分 析
（ 1）当z →0 ，此时P 点移到圆心，圆环上各点产生的电场抵消， E=0 （2）当 z→∞，R与 z平行且相等，r <<z，带电圆环相当于一个点 电荷，有
荷质量相对于电子大很多，因此近似不动，有
J i vi
i 1
J v v v 0
中国矿业大学 面电流密度
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时， 电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量 Js 来表示。 面电流密度 J s 定义： 如图，设电流集中在厚度为 h
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第二章
电磁场中的基本物理量和基 本实验定律
为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上， 介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。
在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电流的概念 物理量；在电荷守恒的假设前提下，确立电流连续性方程。 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强度 E和磁感应强度B的概念。
静止电荷产生的电场称为静电场
随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场
电场强度矢量
用电场强度矢量E 表示电场的大小和方向
中国矿业大学 q0 实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量 成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即
F q0 E

F E q0
对电场强度的进一步讨论
电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场

电荷守恒定 律微分形式
对电流连续性方程的进一步讨论
1 、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形 式则描述空间各点电荷变化与电流流动的局部关系 2 、当体积 V 为整个空间时，闭合面 S 为无穷大界面，将没有电流经 其流出，电流连续性方程可写成
t

V
dV 0
即整个空间的总电荷是守恒的。
N
q2
E合
R2
P (r )
式中: Ri r ri '
q1
r1 '
R1
r2 '
O
r RN
rN '
qN
P(r )
E2
连续分布的电荷系统产生的电场 连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场
处理思路： 1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
dV
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R
r
P(r )
r&线元可看成点电荷 l(r) dl， 则线元在轴线任意点产生的电场为 z dl 1 l dEz dE e dE 4 R2 R
0
由对称性和电场的叠加性，合电场只有 z 分量，则
R
ez l E z ez dE z l 4 0 ez l 4 0
电荷的几种分布方式：空间中－体积电荷体密度
面上－电荷面密度s
线上－电荷线密度l
体电荷密度
体电荷密度 (r ) 的定义
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体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体 在电荷空间V内，任取体积元 V ，其中电荷量为 q 则
q dq (r ) lim V 0 V dV

V
即

d (r )dV J(r )d S V dt S


中国矿业大学 电荷守恒定 律积分形式
在等式的左端应用高斯散度定理，将闭合面上的面积分变为体 积分，得

V
( J )dV
V
dV t
J t

J 0 t
引入电流密度 J 来描述电流的分布情况
电荷的几种分布方式：空间中－体积电流体密度J 面上－电流面密度Js 线上－线电流I
体电流密度
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电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流 体电流密度 J 定义 如图，设P为空间中的任意点，过P取面积元dS。 设单位体积内有 N 个带电粒子，所有粒子带有相同的电荷 q ，且 都以相同的速度v运动，体积中的总电荷将在 dt 时间内经 dS 流 出柱体，可以得到 dt 时间内通过 dS 的电荷量为 dS v

S
J dS
2
0


0
10r 1.5 r 2 sin d d |r 1mm
40 r 0.5 |r 1mm 3.97( A)
（2）在球面坐标系中
d 1 d 2 J 2 r 10r 1.5 dt r dr
（3）由电荷守恒定律得
5r 2.5 |r 1mm 1.58 108 A / m 3
当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流 只有当电流体密度J趋于无穷，理想面电流密度Js才不为零，即
J s lim hJ 0
h 0 J
线电流和电流元
电流元 Idl ：长度为无限小的线电流元。
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电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。
三、 电流的连续性方程
电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。实验证明，电荷 是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移 到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。
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3、对于恒定电流，当电流不随时间变化，空间中电荷分布 也不改变，即：
J 0 t

0 t

则恒定电流的电流连续性方程为
J 0

S 意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面 S的电流——基尔霍 夫电流方程

J d S 0

4、对于面电流，电流连续性方程为：
s l J S (n dl ) S t dS
O
(r ) ，图中dV在P点产生的电场为： 设体电荷密度为
(r ')dV ' dE (r , r ') R 3 4 0 R
E (r ) dE (r , r ')
V
R r r '
则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：
1 4 0

(r ')
R
3
V
RdV '
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电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关
对静电场和时变电场上式均成立
点电荷产生的电场
单个点电荷q在空间任意点激发的电场为
F q E (r ) lim e 2 R qs 0 q 4 0 R s q 1 ( ) 4 0 R
q
r'
R
r
O
P
R r r '
特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，r ' 0 中国矿业大学