概率论 条件概率与乘法公式

1 P( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 A2 A3 )
1 P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73
☺课堂练习
设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破 的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的 概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的 概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解
前面已算出 P( B A) 1 / 3, 故P ( B A) P ( B). 又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
P(AB)=P(B)=1/4， 易得
P ( AB) P ( B A) . P ( A) 这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如 下定义：
1.4.1 条件概率
思考 P(|B) = 1 ; P(A|A) = 1 ; P(A|) = P(A) . 注：一般的概率看作条件概率也未尝不可。
条件概率的计算
P ( AB) 1) 用定义计算: P ( A | B) , P ( B)
P(B)>0
掷骰子
2)从加入条件后改变了的情况去算 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点}
1 P(A|B）= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
1.4.1 条件概率
【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有所求概率为 P ( B A) P ( AB) . P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B),
1.4.2 乘法公式
作业： P28 : 12, 13
B =“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P (B) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 A31 9 1 9 8 1 3 . )
10 10 9 10 9 8 10
第1章 概率论基础
1.4 条件概率与乘法公式
1.4.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是 在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率． 下面首先看一个例子:
1.4.1 条件概率
【例1.10】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一 个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女 孩出生率相同）． 解：用g代表女孩，b代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩”，
P ( AB) 0.4 1 . 所以 P ( B A) P ( A) 0.8 2
1.4 条件概率与乘法公式
1.4.2
乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
P( AB) P( B A) P( A)
(1.4) (1.5)
当AB = 时，有 P( B A) 0 P( B)
1.4.1 条件概率
一般地， 0 P ( B A) P ( AB) P ( A) 1
P ( A) P ( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理： (1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0；
(2) 规范性：P( | A) = 1；
所以 P ( B) P ( AB) P( A) P( B A)
96 75 0.72 . 100 100
1.4.2 乘法公式
【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3，
在已知至少有一个男孩条件下， {bb, bg, gb} A 而 B {bb}
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
1.4.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
设Ai "透镜第i 次落下打破, ( i 1,2,3) "
B ＝“透镜落下三次而未打破”. 因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
1.4.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与
无条件概率P(B)有什么必然的关系.
例如，我们不能由定义断言
P( B) P( B A) 或 P( B) P( B A)
事实上，当B A时，有
P ( AB) P ( B) P ( B A) P ( B). P ( A) P ( A)
1 4 1 4 3 1 3 5 5 4 5 4 3 5
1.4.2 乘法公式
【例1.14】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率
为0.6．若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远 处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已 逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率．求猎手三 枪内击中猎物的概率． 解：以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 则所求概率 P ( A1 A2 A3 )
(3) 可列可加性：设 B1 , B2 ,, Bn , 事件两两互不 相容，则
P ( Bi | A) P ( Bi A)
i 1 i 1
所以,条件概率P(· |A)也满足概率的所有其他性 质．
1Leabharlann Baidu4.1 条件概率
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
1.4.2 乘法公式
【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取 的一件是一等品"．
因为 P ( A) 1 P ( A ) 96%,
且B A
P ( B A) 75%
1.4.2 乘法公式
推广2 : 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件 n 2, ,
且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A A1 A2 ) ... P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( An A1 A2 An1 ).
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B) P( B)
上面均称为事件概率的乘法公式．
定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的 情 况．
1.4.2 乘法公式
推广 : 设 A1 , A2 , A3为事件 且 P( A1 A2 ) 0, 则有 1 ,
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ).
定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P ( AB) P ( B A) P ( A)
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率． 类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P ( AB) P ( A B) P ( B)
(1.3)
注：条件概率是无条件概率之商。
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
1.4.2 乘法公式
若已知最后一位数字是奇数，
则
P (B)
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
事实上
由于P ( A1 ) P ( A1 A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义,
且P ( A1 A2 A3 ) P (( A1 A2 ) A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A3 A1 A2 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ).
可进一步推广如下:
(5) P ( A B) 1 P ( A B).
(6) 可列可加性 设 B1 , B2 , , Bn 是两两不相容 : 的事件, 则有
n n P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
注意
P( A | B) 1 P( A B)