圆锥曲线之面积问题

圆锥曲线之面积问题
例题1、已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a
a ⎧=⎪⎨⎪⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为
2
213
x y +=。

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥
轴时，AB =。

（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+
2
23
(1)4
m k =+。

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km x x k -∴+=
+，2122
3(1)
31
m x x k -=+。

22221(1)()AB k x x ∴=+-2222222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦
2222222
22
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==++242
22121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤。

当且仅当2
2
1
9k k
=
，即k =时等号成立。

当0k =
时，AB =，
综上所述max 2AB =。

∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =⨯=。

2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距
离为
2
3
，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，
依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为22
13x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥
轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+
2
=
，得223(1)4m k =+．
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(31)6330k x kmx m +++-=，
122631
km
x x k -∴+=
+，
21223(1)31m x x k -=+．222
21(1)()AB k x x ∴=+-22
22222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==
++24222121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤．
当且仅当22
1
9k k
=
，即3k =±时等号成立．当0k =
时，AB =max 2AB =．
∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =
⨯=． 3、已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，
且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22
00
132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：
（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =
=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，
故22
001x y +=，
所以，2222
00021132222
y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22
132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则
2
122632
k x x k +=-+，
21223632
k x x k -=
+222
12221(1)()4BD x
x k x x x x
⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1
k
-
，所以，222
2111)12332k k AC k k
⎫+⎪
+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积
222222222124(1)(1)962(32)(23)25
(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
≥．
当2
1k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面
积4
S ．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25
．。