(完整版)2质点运动定律习题思考题

1

两边积分得：速率随时间变化的规律为

'0

积分有:

2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动, 习题2

受一恒力作用，力的分量为f x

6N ，f y 7N ，当 t 0

时, x y 0，V x 2m / s , V y 0。当 t 2s 时, 求:

(1) ⑵ 质点的位矢; 质点的速度。 解: 由a x x ，有: m

a x

6 16 3m/s 2， 8 a y

7

16

m / s 2 (°

Vx V xo a x dt 2

V y V yo

o a y dt

于是质点在2s 时的速度: 3 2

8 7

/ m

/s 。

8 5V i

4 /s ,

7 V

8j m /s V 1 2 ' (2)r (V o t ^a x t )1 13V 7 V i i m 4 8 v 4)i ](厶 4j 2 16 2-2摩托快艇以速率 V 0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为 F= - kV 2(k 为正值常量)。

设摩托快艇的质量为 m ,当摩托快艇发动机关闭后，求: (1)求速率V 随时间t 的变化规律； ⑵求路程x 随时间t 的变化规律； k x (3)证明速度V 与路程x 之间的关系为V V °e ，其中k

k/

m 。

解：(1)由牛顿运动定律 F ma 得:

kv 2 m 竺，分离变量有

—d t m

dt

(2)由位移和速度的积分关系: dt

，

t

1

x 0 1 k x t

V 0 m

dt

k

ln(丄

m V 0

-t) m

k 1

k

ln 丄•••路程随时间变化的规律为: m

V

x 上 ln(1 — V 0t)； m

m

(3)由 kv 2

d V d x m

d x dt

k

dx m

x

dx

V

dv

V

V

积分有：V v 0e

kx

2-3•质量为m 的子弹以速度V 。水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例

系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式; 大深度。

2-4 •—条质量分布均匀的绳子，质量为 M 、长度为L , 一端拴在竖直转轴 00 ' .

上，并以恒定角速度 在水平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且 ' 忽略重力，求距转轴为 r 处绳中的张力T( r).

[' :

解：在绳子L 上距离转轴为r 处取一小段微元绳子，假设其质量为 dm ,可知：

|

M

V/Z/Z

dm dr ，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力：

dT (r )

2

rdm

2

r 。

L

距转轴为r 处绳中的张力T( r)将提供的是r 以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：

L

M 2

2

2

T (r ) dT (r ) M —(L 2 r 2)。

r 2L

2-5.已知一质量为 m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的 距离x 的平方成反比，即f k/x 2, k 是比例常数.设质点在x A 时的速度为零，求质点在x A/4

处的速度的大小。

v v 2 v

2-6. 一质量为2kg 的质点，在xy 平面上运动，受到外力

F 4i 24t j (SI)的作用，t

v v v

速度为v 。 3i 4 j (SI)，求t 1s 时质点的速度及受到的法向力 F n 。

解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

v v

v d v v 2 v d v

由：F m 「，有：4i 24t 2j 2匚，两边积分有:

解：(1)由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为: f m dv ，则 kv dt k dt ,两边同时积分, m 又由牛顿第二定律可得: dv m — dt kv

分离变量，可得：dv v k

t

v v °e m

有: 0 dv 所以：

(2)子弹进入沙土的最大深度也就是 v 0的时候子弹的位移, 考虑到dv

dt dv dx dx dt

不，可推出：dx 则: x

max

m , m

v o

m dv m v °。

^dt ， m -dv ，而这个式子两边积分就可以得到位移： k (2)子弹进入沙土的最 解：由题意:

占，再由牛顿第二定律可得:

x

考虑到屯也空

dt dx dt

两边同时取积分，则:

空，可推出：mvdv dt

v vdv

k

dv ~2 m 一

x

dt

$dx

x

A/4

1

k 2dx A x

0时，它的初

有：v