18学年高中数学第三章空间向量与...

18学年高中数学第三章空间向量与...

3.1.1 空间向量及其线性运算

3.1.2 共面向量定理

学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用.

知识点一空间向量的概念

思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.

梳理 (1)在空间，把具有________和________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或________.

空间向量也用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为________. (2)几类特殊的空间向量

知识点二空间向量及其线性运算 1.空间向量的线性运算

已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →

＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →

＝________；

BA →＝OA →－OB →

＝________＝________. 若P 在直线OA 上，则OP →

＝________(λ∈R ). 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：

①a ＋b ＝________；

②(a ＋b )＋c ＝____________；③λ(a ＋b )＝________(λ∈R ).

知识点三共线向量(或平行向量)

1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量a 与b 平行，记作________，规定____________与任意向量共线.

2.共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使________.

知识点四共面向量及共面向量定理

思考1 当a ，b 共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？

思考2 向量a ，b ，c 共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？

梳理共面向量及共面向量定理

类型一空间向量的概念及应用

例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

(1)试写出与AB →

相等的所有向量； (2)试写出AA 1→

的相反向量；

(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→

的模. 引申探究

如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？②试写出模为5的所有向量；③试写出与向量AB →

相等的所有向量；④试写出向量AA ′→

的所有相反向量.

反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.

跟踪训练1 给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间

向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→

；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的序号为________. 类型二空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.

(1)AA ′——→－CB →；(2)AA ′——→＋AB →＋B ′C ′———→. 引申探究

利用例2题图，化简AA ′——→＋A ′B ′——→＋B ′C ′———→＋C ′A ——→

.

反思与感悟化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.

首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.

跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→

.

类型三向量共线定理的理解与应用

例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→

，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23

FC →.

求证：E ，F ，B 三点共线.

反思与感悟 (1)判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使

a ＝λ

b .

(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R ). (3)判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线：①是否存在实数λ，使PA →＝λPB →；②对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →

；

③对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →

(x ＋y ＝1).

跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →

表示向量EF →

.

类型四共面向量定理及应用

例4 如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，

F ，

G ，

H 分别为△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E ，F ，G ，H

四点共面.

引申探究

本例中增加以下条件：若点O 是AC 与BD 的交点，点M 为PC 的中点，求证：OM →，PD →，BC →