弹性力学12-极坐标中的应力函数与相容方程

第四章 平面问题的极坐标解答 4.4 应力分量的坐标变换
综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：
r x cos 2 j y sin 2 j xy sin 2j j x sin 2 j y cos 2 j xy sin 2j rj ( y x ) cos j sin j xy cos 2j
（5）位移的变换 如图，通过投影的方法，可得位移的坐标变换 式如下：
u u r cos j Fra Baidu bibliotekuj sin j v u r sin j uj cos j
反之：
u r u cos j v sin j uj u sin j v cos j
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题时，归 结为求解一个应力函数 （ r ，j ） ，它必须满足： （1）在区域内满足极座标中的相容方程； （2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边 界条件）； （3）如为多连体，还须满足单值连续条件。
求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用
逆解法和半逆解法；
y j arctan x
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
（2）应力函数的导数的变换 应力函数的一阶导数的变换可由复合函数的求导法则 , 是（r ，j）的函数；r ，j又是关于 x ，y 的函数： r j sin j cos j x r x j x r r j r j cos j sin j y r y j y r r j 应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出：
同理，如果考虑 x 和 y 方向的静力平衡条件，可导出 应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：
x r cos 2 j j sin 2 j rj sin 2j y r sin 2 j j cos 2 j rj sin 2j xy ( r j ) cos j sin j rj cos 2j
sin j sin j ( ) (cos j )(cos j ) 2 x x x r r j r r j
2
同理，即可得出教材中的(a)-（c）式
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
由左图可知，对于微分体，当 x 轴和 y 轴分别转到 r 轴和 j 轴时 ，有 j0，由直角坐标中应力分 量的表达式，当不计体力时，极坐 标中应力分量可由应力函数表达如 下： 2 2
Fr 0 Fj 0
r x cos 2 j y sin 2 j xy sin 2j rj ( y x ) cos j sin j xy cos 2j
Fr 0 Fj 0
j x sin 2 j y cos 2 j xy sin 2j jr ( y x ) cos j sin j xy cos 2j
r ( x ) j 0 j ( y ) j 0 rj ( xy ) j 0
1 1 ( 2 ) 2 y j 0 r r r j 2 2 2 ( 2 ) 2 x j 0 r 2 1 ( ) ( ) xy j 0 r r j
1 1 2 2 0 2 2 2 2 2 y r r r r f x y x
2 2 2 2 2 2 2
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
求得上述条件的应力函数后，即可求应力分量；进而
由物理方程求应变分量，由几何方程求位移分量
第四章 平面问题的极坐标解答 4.4 应力分量的坐标变换
已知的直角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分 量，或者已知的极坐标中的应力分量求直角坐标中 的应力分量，就需要建立两个坐标系中应力分量的 关系式，即应力分量的的坐标变换式。 由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关 ，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两 种坐标面的微分体 x 面、y 面及 r 面、j 面，然后 考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。
x r cos j ,
反之：
y r sin j
r x y ,
2 2 2
y j arctan x
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
导数的变换：由坐标变量的变换，可得极坐标对直角坐 标的导数式：
r x y ,
2 2 2
r 2x x r 2y y cos j , sin j x 2 x 2 y 2 r y 2 x 2 y 2 r y 1 2 j y sin j j x cos j x x 2 , 2 x 1 ( y ) 2 r r y 1 ( y ) 2 r r x x
（3）应力分量表达式
由体力分量为零， 带入平衡微分方程 式（4-1）可知能够 满足。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
（4）应力函数表示的相容方程 将 (a)和（b）式相加，得到应力函数的拉普拉斯算子 运算式如下：
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x y r r r f x y r 根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力 时，可得极坐标中的相容方程为
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
根据直角坐标下的公式，得到极坐标（ r ，j ） 下的： 应力分量的表达式
应力函数表示的相容方程
第四章 平面问题的极坐标解答 4.3 极坐标中的应力函数与相容方程
极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样 从头导出；也可以简化公式的推导，直接通过坐标变 换关系，将直角坐标中应力函数 f 关于坐标（x，y） 的二阶导数用极坐标（ r ，j ）表示，然后直接带入 到直角坐标下的相关公式中 。 （1）坐标变量的变换及极坐标对直角坐标的导数：
第四章 平面问题的极坐标解答 4.4 应力分量的坐标变换
如图，当取厚度为1，包含x面、y面
和径向坐标面的微小三角板A时，由 微分体沿径向 r 和环向 f 两个方向 的静力平衡条件，可得如下变换式：
同理，当取厚度为1，包含x面、y面和环向坐标面的微小
三角板B时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡 条件，可得如下变换式：