几种参数方程确定的函数的导数讲解

1。
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0。
2
2
法线方程为 y 3 x 3 22
即 y x。
当x 0时，y 0， 故曲线通过原点。
例5：
5 y2

sin
y

x
2，求
dy， dx
d2y dx 2
。
解： 两边对x求导数得
10 y y cos y y 2x
1
,
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例：ln x 1 .
当x

x
0时 ，ln
x

1
,
x
当x 0时，ln x
1
(1) 1 ,
总有 ln x 1 . x
x
x
例4 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln x 1 1 ln x 1 2ln x 4 x 3
上式两边对 x求导得
xsin x [cos x ln x sin x 1 ] x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0) ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
ห้องสมุดไป่ตู้
dx
f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
第二章 第四节 几类特殊形式函数的导数
本节主要内容
一、隐函数的求导法； 二、对数求导法； 三、参数方程所确定的
函数的导数；
四、相关变化率。
一、 隐函数的求导法
x 2 y 1 0 y x 2 1;e xy x y 2 0 y ?
定义:由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y y( x)称为隐函数. y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0 e y , y为中间变量，
解 方程两边对x求导,
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1

1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
也可直接根据复合函数求导法求导：
y ( xsin x ) (esin x ln x ) e sin x ln x (sin x ln x)
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y


(t )中, (t)
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x),
y [ 1( x)]
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4

y

( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[ x
1
1

1 3( x
1)

x
2
4

1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x 上式两边对x求导得

1 4
得
y
x0 y1

1. 16
例3 求椭圆 x2 y2 1在点(2, 3
16 9
2
解 (法一) y 3 1 x2
16
3)处的切线方程 .
（法二）将方程 两边对x求导得
x 2 yy 0 89
y(2) 3 4
方程为 y 3 3 3 (x 2).
y y( x), (e y ) e y y
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy e x y dx x e y ,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0

ex y xey
x0 y0
1.
例2 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
y 2x 10 y cos y
对y的表达式两边求导数得
y

2(10
y

cos y) 2x(10 y (10 y cos y)2

sin
yy)

2(10
y

cos y)2 4x2 (10 (10 y cos y)3

sin
y)。
二、对数求导法
观察函数
y

(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
练习 设 y xx (x 0), 求y.
三、参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y

(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,

y

t
2
,
t x 2
消去参数 t
2
4
例4：设曲线C的方程为x3 y3 3xy，求过C上点
(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点。
解：方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy

y

y x2， y2 x

y (3,3)
22

y x2 y2 x

( 3,3 ) 22