第17讲 一元一次方程-举一反三

第17讲-元一次方程

1． 一元一次方程是方程中最基础的部分，其基本内容包括：解方程，方程的解及对解的讨论．

2．解一元一次方程的一般步骤是：

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)分数化为1．

解一元一次方程时，既要遵守一般步骤，又要根据实际情况随机应变．

3．解一元一次方程的常用技巧：

(1)若括号内含有分数，则由外向内去括号，再去分母；

(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行．

4．当方程中的系数为字母时，先把方程化为ax=b 的形式，然后对字母系数进行讨论，

题10)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x =

关于x 的整式方程只有唯一解，说明是一元一次方程，x 的最高次数是1，且系数不为零．

解 因为方程0)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，

所以3a+2b=0且a≠0．

因此，,0,32=/-

=b b a 把b a 3

2-=代入,0=+b ax 得 ,03

2=+-b bx 解得.5.1=x 一元一次方程都可以化为ax=b （其中a ≠O)的一般形式．熟练掌握一元一次方程的定义及方程的解的应用是学好一元一次方程的基础．比如：若05312=-++x ax

a 是关于x 的一元一次方程，则必有.0=a

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1-1．有如下四个等式： ;732=+y x ①

;10987+=-x x ②

;2+=x x ③

.10132020092=-+x x ④

其中，是一元一次方程的有( )．

A O 个

B 1个 C.2个 D ．3个

1-2．已知08)7()1(22=+--⋅-x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式

+++-)2)((2005m x x m m 9的值．

1-3．若2=x 是方程72=-a x 的解，解关于x 的方程.02=+-a ax

题2 （1）讨论关于x 的方程b x =α的解的情况，其中为a,b 为已知数；

(2)解关于x 的方程：).(31)(2m x n x m +=+ 对于(2)，把方程化为一般形式；对于(1)，可根据方程中字母系数可能的取值隋况进行讨论． 解 (1)当a≠O 时，方程的解为;a b x =

当0,0==b a 时，方程的解为任意有理数；当0,0≠=b a 时，方程无解．

(2)去分母得 ),(2)(3m x n x m +=+

去括号，得,2233m x mn mx +=+

移项，合并，得.32)23(mn m x m -=-

当,023=/-m 即32=

/m 时，方程有唯一解=x ;2

332--m mn m 当,023=-m 即32=m 时，方程可化为=x 0,23

4n - 若,0234=-n 即3

2=n 时，方程总成立，方程的解为任意有理数； 若,0234=/-n 即3

2=/n 时，方程不成立，方程无解． 综上所述，当32=/m 时，n 为任意数时，方程有唯一解;2332--=m mn m x 当3

2,32==n m 时，方程的解为任意有理数；当32,32=/=n m 时，方程无解． 对含有字母的一元一次方程，必须根据所有字母的取值情况，作分类讨论．

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2-1．(1)关于x 的方程，824+=+x ax 无解，则a 等于（ ）

A O

B 1 C.2 D.4

(2)关于x 的方程05)2(|1|=+--k x k k 是一元一次方程，则k=

(3)关于x 的方程0)3(2=+++b ax x b a 只有唯一解，则这个解是x

2-2．如果关于x 的方程2

)15(3161x k x kx +=--有无数个解，则k= 2-3．已知关于x 的一次方程07)83(=++x b a 无解，则ab 是( )．

A 正数

B ．非正数

C ．负数

D ．非负数

题3 解方程：--=--+)1(2)1(31)1(3x x x ).1(2

1+x 若按常规顺序化简，显然繁杂．观察发现题中仅含(x+1)，(x-l)未知式，若按(x+1)，(x-1)项分别合并，则能化繁为简．

解 移项，得).1(3

1)1(2)1(21)1(3-+-=+++x x x x 合并，得).1(3

7)1(27-=+x x 去括号，移项，解得.5-=x

本题所用的方法称为“整体处理法”，整体处理可以使问题简化．

解一元一次方程的一般步骤是： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并l 功芬项；(5)多数化为1； 实际解方程时，我们既要循规守矩，又要能随机应变、有时适当改变顺序会使过程更为简单， 读一题，练1题，决出能力高下

3-1．解方程：.243511)32(31)231(41x x x x +=⋅----

题4 不论k 为何值，x=-1总是关于x 的方程13

22=--+bk x a kx 的解，试求a,b 的值。 仔细读题，转换角度，考虑将方程转换成关于k 的方程，

解 把x= -1代入方程，得

.13

22=---+-bk a k 化简，得.32)32(a k b -=-

由于是可以取任何值，即关于志的方程有无数个解，于是得

⎩⎨⎧=-=-,

032,032a b 解得⋅==23,32b a 若ax-b ，对于任何x 的取值都成立，则必有a=0，b=0．

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4-1．若21,x x 是方程4|32||12|=++-x x 的根，并且,21x x <则21x x -的取值范围为

4-2．关于x 的方程

332-=-bx x a 的解是x=2，其中0=/a 且,0=/b 求代数式b

a a

b -的值， 4-3．关于x 的方程1035+=-kx x 有整数解，则满足条件的所有整数k= 题5 a,b,

c 为正数，解关于x 的方程：

.3=--+--+--c

b a x b C a x a C b x 采用去分母显然过程十分繁难，观察方程左边三个式子中字母出现的特点，灵活分配右边移项

过来的-3，使得分子化成相同，然后作为整体进行合并．

解 ,03=---+--+--c

b a x b

c a x a c b x ,0)1()1()1(=---+---+---c

b a x b

c a x a c b x ,0=---+---+---c

c b a x b b c a x a a c b x 故.0)111)((=++---c

b a

c b a x 因为a ，b ，c 为正数，

所以

,0111=/++c

b a 则.0=---

c b a x 故 .c b a x ++= 恒等变形是常用的方法，其目的是化繁为简，化未知为已知．

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5-1．以x 为未知数的方程0200820072007=++b a x （a ，b 为有理数，且b>0）有正整数解，则ab 是

( )．