利用DFT分析连续非周期信号的频谱

x (t )
抽样
加窗 x[k ] xN [k ] x[k ] wN [k ]
DFT
X [m ]
其中：WN(k) 是矩形窗、汉宁窗、哈明窗、布 莱克曼窗和凯泽窗的一种。
三、泄漏现象
1 0 k N 矩形窗： w[k ] 0 其它
N 1 j sin( N / 2 ) 2 WN (e j ) DT FT {RN [k ]} e sin( / 2)
2π km 8
{10 , 2.7-j6.5, 1 j , 1.3-j0.5, 0 , 1.3 j0.5, 1 j , 2.7 j6.5}
X 1[ m ] X ( e )
j
2π m 8
e
.3 j 2
3 1 (4 cos 6 cos ) π m 2 2 4
四、栅栏现象
解：
x[k ] {2, 3, 3, 2}
10 8 6 4 2 0 0
10
x1[k ] {2, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0}
8 6 4 2
| X (e j ) |
| X 1 (e j ) |
| X [m ] |
| X1[m] |
/2

3 / 2
2
0 0
/2
第二章 离散Fourier变换
2.5 利用DFT分析连续非周期信号的频谱
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、连续非周期信号频谱与DFT的关系
二、混叠现象
三、泄漏现象
四、栅栏现象 五、利用DFT进行谱分析的参数选取
重点与难点
重点 1、利用DFT进行谱分析的参数选取 难点 1、泄漏现象 2、栅栏现象
，m=0,1,2,3
{10, 1 j, 0, 1 j}
四、栅栏现象
对信号补4个零： x[k ] {2, 3, 3, 2} x1[k ] {2, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0}
{x1[k ]} x1[k ] e jk x1[k ] e jk 解： X 1 (e j ) DT FT
2)选择旁瓣幅度小的窗函数
四、栅栏现象
什么是栅栏现象？or 栅栏现象产生的原因？
利用DFT分析连续非周期 信号x(t)的频谱时，由于x(t)
的频谱是连续的，而其取样
信号x(k)的频谱是离散的， 因而好像是在百叶窗中观看 窗外的景色。
如何能观察到更详细的频谱？ ——在信号后加“0”，增加信号长度。
四、栅栏现象
jΩ
/T
X(j A
X[m]
DFT
A/T
X(ej
sam/N
m

m




m
1、当mN/2时，X[m]对应于X(j)在 : 0 ~ sam / 2 的抽样值：
msam N
2、在N/2 mN1，X[m]对应于X(j) 在 :
sam
msam sam2 sam (m N ) N N
抽样 加窗 DFT
x[k ]
x N [k ]
X [m ]
X ( j )
() ()
0
0
X 32 ( j )
0

频率泄漏
加窗对谱分析的影响 1）造成频谱泄漏 2）降低频率分辨率 频率分辨率指分 辨信号频谱中相 邻谱峰的能力。
0
0
X 64 ( j )
0

频率泄漏
0
0
0

例4: 利用DFT分析x(t ) cos(2πf1t ) cos(2πf 2t )的频谱。 f1 100Hz, f 2 120Hz, 取样频率f s 600Hz。
w[k] 1
4π w N
0 1 2 N-1 k
0.08
哈明窗频谱 矩形窗频谱



4 2 N N
2 4 N N
三、泄漏现象
上例改用哈明窗截短
f1 100Hz, f 2 150Hz, f s 600Hz
4π 主瓣有效宽度： 2 πfT N
f f1 f 2 50Hz
4 N


三、泄漏现象
常用窗函数特性：
窗函数类型 时域表达式
0k N
主瓣宽度
旁瓣峰值 衰耗(dB)
矩形
Hann Hamming Blackman Kaiser (b=5.86)
1 0 k N w[k ] 0 其它
w[k ] 0.5 0.5 cos(2πk / N ) w[k ] 0.54 0.46cos(2πk / N )
当m=600时，由于0m(N/21)，所以 f sam 8 f1 m 600 kHz 3kHz N 1600 当m=1200时，由于N/2mN，所以
f2 f sam 8 (m N ) (1200 1600 )kHz 2kHz N 1600
二、混叠现象
1 X ( j ) 1 j
X ( j )
1 1 2
Fs=8 Hz Fs=4 Hz í Â À Û Ö µ
避免混叠的方法？
1
1)提高抽样频率
× È Æ ·¶ ù
2)抗混叠滤波
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -10
-5

0
5
10
二、混叠现象
2)抗混滤波
x (t )
X ( j )

X [m] X (e jΩ )
2π N
, m 0,, N 1
X [m ] A/T
X [m]



m
一、连续非周期信号频谱与DFT的关系
1 n2π 1 X (e ) X [ j( )] X [ j( nsam )] T n T T n
x (t )
10 8
抽样
x[k ]
加窗
x N [k ]
DFT
X [m ]
× È Æ ·¶ ù
6 4 2 0 -300
不能分辨 两个谱峰
N=20
频谱泄漏
-200
-100
0 µ Â Æ Ê (Hz)
100
200
300
三、泄漏现象
如何提高频率分辨率？ 假设：f1 100Hz, f2 120Hz, f s 600Hz f f1 f 2 20Hz

3 / 2
2
x[k ]
x1[k ]
x(t ) cos(2πf1t ) cos(2πf 2t ); f1 100Hz, f 2 120Hz, f S 600Hz
N=30,
20 15
幅度谱
X N (e j )
幅
N=30, L=64, fd 600 / 64
例3：利用DFT分析x(t ) cos(0t ), t 的频谱
思路：x (t )
抽样
x[k ]
加窗
x N [k ]
DFT
X [m ]
x (t )
FT
X ( j) π[ ( 0 ) ( 0 )]
x[k ] cos(0 kT ) cos( 0 k ), k
2 f s 1200 N 24 f 50
哈明窗N=50
20
20
幅度谱
幅度谱
矩形窗 N=50
10
10
0 -300 -200 -100 0 100 频率(Hz)
200Βιβλιοθήκη Baidu
300
0 -300 -200
-100 0 100 频率(Hz)
200 300
三、泄漏现象
结论：如何削弱截断带来的频率泄漏问题？ 1)增加取样点数
抗混滤波
x0 (t )
X0 ( j )
抽样 抽样间隔T
x0 [k ]
DFT
X [m ]
X 0 ( e j )
A
0
A

A
0
m
m

2
0
2

三、泄漏现象
产生泄漏现象的原因是什么？
原因：x(t)无限长，取样后的序列也是无限长， 利用计算机处理时，必须截断，加窗引起了频谱计 算中多余的高频分量。
j 2π km N
X [m] x[k ] e
x[k ] e
k 0
3
j
2π km 4
{10, 1 j, 0, 1 j}
X [m] X ( e )
j
2π m 4
e
.3 j 2
3 1 (4 cos 6 cos ) π 2 2 2m
一、连续非周期信号频谱与DFT的关系
假设连续信号持续时间有限，频带有限，那么有：
x(t )
抽 离 样 散 化
m
X(j A

m
X(ej

xN [k ]
N点 DFT
1 n2π X (e ) X [ j( )] T n T
jΩ
A/T

X(ej
2/N

~ 0 的抽样值：
例1：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz, 用fsam=8kHz对x(t) 进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定X[m]中m=600 和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1 和f2 (kHz)。
解： 对连续信号x(t)按fsam=8kHz进行抽样，得到对应的离散序 列x[k]，在利用离散序列x[k]的DFT X[m]分析连续信号x(t) 的频谱时，X[m] 与X(j)存在以下对应关系：
原信号：
x[k ] {2, 3, 3, 2}
k jk jk x [ k ] e x [ k ] e k 0 3
{x[k ]} 解：X (e j ) DT FT
e
N 1 k 0
.3 j 2
3 1 (4 cos 6 cos ) 2 2
f1 100Hz, f2 150Hz, f s 600Hz
f f1 f 2 50Hz
f s 600 1 N 12 fT f 50
2π 要求主瓣有效宽度满足： 2πfT N
20
幅度谱
幅度谱
10
200 300
矩形窗 N=25
20
矩形窗 N=50
10
0 -300 -200 -100 0 100 频率(Hz)
0 -300 -200
-100 0 100 频率(Hz)
200 300
由于泄漏使得信号中幅度小的频率分量难以检测。
如何解决?
选择旁瓣幅度小的窗函数
三、泄漏现象
哈明窗
2 πk 0.54 0.46 cos( ), 0 k N 1 w[k ] N 1 其它 0
W (e j ) 主瓣有效宽度：
WN ( e j )
主瓣
N
w 2π / N
旁瓣 旁瓣


2 N
0
2 N
4 N


三、泄漏现象
主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由直流分量组 成。 由于矩形窗函数在其两个端点的突然截断，使得频 谱中存在许多高频分量——旁瓣。
WN ( e j )
主瓣
N
旁瓣
旁瓣


2 N
0
2 N
e
N 1 k 0
.3 j 2
7
3
3 1 (4 cos 6 cos ) X (e j ) 2 2
k 0
k 0
X 1[m] x1[k ] e
j
2π km 8
x1[k ] e
k 0
7
j
2π km 8
x[k ] e
k 0
3
j
x[k ]
DTFT
X (e ) π [ 2π ( 0 ) 2π ( 0 )] X N (e ) 0.5 [WN ( 0 ) WN ( 0 )]
j
j
x N [k ] x[k ] wN [k ]
x N [k ]
DFT
三、泄漏现象
x (t )
2π 要求主瓣有效宽度满足： w = 2πfT N
20 15
f s 600 N 30 f 20
N=30
× È Æ ·¶ ù
10 5 0 -300
-200
-100
0 µ Â Æ Ê (Hz)
100
200
300
例5: 利用DFT分析x(t ) cos(2πf1t ) 0.15cos(2πf 2t )的频谱
1、什么是混叠现象？
对信号取样后，其频谱重叠的现象。
2、混叠现象产生的原因？ 1）取样前信号频谱无限宽； 2）取样频率不满足取样定理。
X ( j )
x (t )
抽样
x[k ]
1 0

|Xs ( j )|
1 T
...
sam m
...
0
m sam
例2：求x(t)=e-t u(t)的幅度谱。

8 / N 8 / N 12 / N 10 / N

7 7
w[k ] 0.42 0.5 cos(2πk / N ) 0.08cos(4πk / N )
I 0 ( b 1 (1 2k / N ) 2 w[k ] I 0 (b )
三、泄漏现象