圆与垂直于弦的直径

可推得
④AC=BC,
⑤AD=BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分这条弦（不是直径）的直径垂直 于该弦，并且平分该弦所对的两条弧．
B O
·
C
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作 AB”或“弧AB”． 圆的任意一条直径的 两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
⌒ AB
，读作“圆弧AB”
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 ⌒ AC ）叫做劣弧； 大于半圆的弧（用三个字母表示， 如图中的 ABC ）叫做优弧.
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定
的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成
是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段（如图AC） 叫做弦， 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
O B N
D
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 C ③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
AC =BC,
D
AD=BD. 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要 相互转化,形成整体,才能运用自如.
Ｃ
Ｏ Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
④AC=BC, ⑤AD=BD. ②百度文库D⊥AB,
⌒ ⌒
⌒
⌒
推论：

由 ① CD是直径 ③ AM=BM
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
.
O E B
D
叠 合 法
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
• 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
A
M└
●
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B ∴AM=BM,
垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦 C ① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
A
E
O B
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
⌒ ⌒
D （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧 C ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
⌒ ⌒
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
⌒ ⌒
D
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
圆
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
A
圆指的是
圆周
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心
O
·
r
线段OA叫做半径
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
B
⌒
由弦及其所对 的弧组成的图 形叫弓形。
O
·
C
A
弧有三类， 分别是优弧、 劣弧、半圆。
等圆与等弧
能够重合的两个圆是等圆。 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 等弧。
C 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，A点和B点重合，AE ⌒ ⌒ ⌒ 和BE重合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD