2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二年级下册学期3月月考数学试题(理)【含答案】

2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学试题（理）
一、单选题
1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）
A ．
B ．
C
D ．20
【答案】B
【解析】化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.
【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z =故选：B .
【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．下列求导数运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()33ln 3x
x '=
C ．()ln ln -1x x x '=
D ．sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝
⎭
【答案】B
【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.
【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确； 由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确； 由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确； 由于1sin cos 333x x ⎛
⎫'= ⎪⎝
⎭，故选项D 不正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.
3．已知()()2
31f x x xf '=+，则()1f '=（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
【答案】C
【解析】按照求导法则对函数进行求导，令1x =代入导数式即可得解.
【详解】函数()()2
31f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，
令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-. 故选：C
【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.
4．若f(x)=21
ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）
A ．[-1，+∞）
B ．（-1，+∞）
C ．（-∞，-1]
D ．（-∞，-1）
【答案】C
【详解】由题意可知()02
b
f x x x +
'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．
5．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '-<，且()01f =，则不等式
()
1x
f x e
<的解集为（ ） A ．()0,∞+ B ．()2,∞+ C ．(),0∞- D ．(),2∞-
【答案】A
【分析】构造函数()()x
f x h x e
=
，由题意得()0h x '<即函数()h x 在R 上单调递减，再根据题意得
()01h =，即可得解.
【详解】令()()x
f x h x e =
，则()()()()()
2x x x x
f x e f x e f x f x h x e e ''--'==
， ()()0f x f x '-<，∴()0h x '<，
∴函数()h x 在R 上单调递减，
又 ()()
0001f h e =
=，()
()1x
f x h x e =<， ∴()0,x ∈+∞.
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.
6．己知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，
()y f x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得
当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1- 故仅选项C 符合要求. 故选：C
7．若0()2f x '=-，则0001
()()
2
lim k f x k f x k
→--等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
【答案】C
【分析】由题意结合导函数的定义求解()
00012k f x k f x lim k
→⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
的值即可. 【详解】由导数的定义可知：
()()()()00000100
2
12'lim lim 12
k f x k f x f x x f x f x x k ∆→-→⎛
⎫-- ⎪+∆-⎝
⎭
==∆-， 则()00012k f x k f x lim k
→⎛
⎫-- ⎪⎝⎭()()0001021112lim '11222k f x k f x f x k -→⎛
⎫-- ⎪⎝⎭=-⨯=-=-. 本题选择C 选项.
【点睛】本题主要考查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.
8．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则2
4z z +=（ ）
A ．24i -
B ．2i
C ．24i +
D ．2
【答案】D
【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得2
4z z
+的值.
【详解】1i z =-，则()()()()()2
2241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=
+-++-+-=--+ 故选：D
9．点A 是曲线2
3ln 2
y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（ ） A
B
C
D
【答案】A
【分析】动点A 在曲线2
3ln 2
y x x =
-，则找出曲线上某点的斜率与直线21y x =-的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设()2
3ln 2
f x x x =
-，定义域为：()0,∞+ 对()f x 求导可得：()13f x x x
'=- 令()2f x '= 解得：1x =（其中1
3
x 舍去） 当1x =时，32
y =
，则此时该点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭到直线21y x =-的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
d =
解得：d =
故选：A
10．若复数(2)z a ai =-+(a R ∈，i 为虚数单位)
为纯虚数，则0)a
x dx =⎰（ ）． A ．22
π
+
B ．2π+
C ．42π+
D ．44π+ 【答案】B
【解析】根据纯虚数的定义，结合定积分的几何意义、微积分基本定理进行求解即可.
【详解】因为z 为纯虚数，所以有20
20a a a -=⎧⇒=⎨
≠⎩，
原式2
2
00
)x dx xdx ==+⎰⎰
⎰，
因为0⎰的几何意义表示坐标原点为圆心，半径为2的1
4
圆的面积，
所以2
0124
ππ=⋅⋅=⎰，
而2
222
21112020222
xdx x =
=⨯-⨯=⎰，
所以原式2
2
000)2x dx xdx π==+=+⎰⎰⎰， 故选：B
11．已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（ ） A ．0y =
B ．440x y ++=
C ．0y =或440x y ++=
D ．0y =或440x y -+=
【答案】C
【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()2
0002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方
程.
【详解】设切点为()00,x y ，则2
00y x =，切线斜率为()002k f x x '==
所以切线方程为()2
0002y x x x x -=-，因为过点()1,0P - 则()200021x x x -=--
解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++= 故选：C
12．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)
【答案】B
【分析】分析：由已知条件推导出32ln ,0a x x x x ≤++>，令3
2ln ,0y x x x x
=++>，利用导数形式求
出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数的取值范围. 【详解】详解：由题意22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞上恒成立， 所以3
2ln ,0a x x x x
≤++>在()0,x ∈+∞上恒成立，
设32ln ,0y x x x x =++>，则222
2323
1x x y x x x +-=+-=，
由0y '=，得123,1x x =-=，
当()0,1∈x 时，0'<y ，当()1,∈+∞x 时，0'>y ， 所以1x =时，min 1034y =++=，所以4a ≤， 即实数a 的取值范围是(],4-∞.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二、填空题
13．已知i 是虚数单位，则复数212(2)2i
i i
++-对应的点在第________象限. 【答案】二
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得出复数所对应的点，即可判断点所在的象限．
【详解】解：由题意得，已知复数2
12(2)2i
i i
++
-， 则设()()()()
2
212212(2)44222i i i
z i i i i i i +++=+
=+=-+--+， 即：4z i =-+，则复数所对应的点为()4,1-，则在第二象限. 故答案为：二.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
14．计算3
1
(2)x dx +⎰的值是________.
【答案】8
【分析】首先根据定积分公式求出被积函数的原函数，然后代入数值计算结果即可求出. 【详解】解：3
2311
11
1(2)(2)|96128222x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.
故答案为：8.
【点睛】本题考查被积函数的原函数的求法，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题. 15．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =__________． 【答案】3
【解析】设切点为00(,2)x kx -，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点为切线与曲线的公共点列出等式，两式联立求解即可. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，
∵3y x '=，∴00
03
,213ln ,
k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =． 故答案为：3
【点睛】本题考查已知曲线的切线求参数，导数的几何意义，属于基础题.
16．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则a 的取值范围是___________． 【答案】1
02
a <<
【分析】利用导数与函数极值点的关系可列出关于a 的不等式，解之即可求得a 的取值范围 【详解】由2()ln(1)(1)f x x a x x =++>-， 可得222()2(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++ 则方程2220x x a ++=有两个大于1-的不同的根
则二次函数222y x x a =++的图像与x 轴两个不同交点的横坐标均大于1- 又二次函数222y x x a =++的图像开口向上，对称轴1
2x =-
则()()2
Δ48021210
a a =->⎧⎪⎨⨯-+⨯-+>⎪⎩，解之得102a <<
故答案为：102
a <<
三、解答题
17．已知复数2(4)(2),z a a i a R =-++∈． （1）若z 为实数，求实数a 的值； （2）若z 为纯虚数，求实数a 的值；
（3）若z 在复平面上对应的点在直线210x y ++=上，求实数a 的值． 【答案】（1）2a =-（2）a =2（3）1a =-
【解析】（1）z 为实数则虚部为0；（2）z 为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）z 在复平面上对
应的点()2
42a a -+，，满足直线的方程代入列出方程即可得解.
【详解】（1）若z 为实数，则20a +=，2a =-；
（2）若z 为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，
解得实数a 的值为2；
（3）z 在复平面上对应的点()2
42a a -+，，
在直线210x y ++=上，则()2
42210a a -+++=，即2210a a ++=
解得1a =-．
【点睛】本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.
18．已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈．若函数()f x 在1x =处有极值-4． （1）求()f x 的单调递减区间；
（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值． 【答案】（1）71.3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，；（2）()4()8min max f x f x =-=，. 【详解】试题分析：
()1先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于,a b 的方程组，求得,a b 后再根据导函数的符号求
出单调递减区间．
() 2由()1求出函数的单调区间，可以数判断函数()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数()f x 在[]
1,2-上的极值和端点值，通过比较可得()f x 的最大值和最小值．
试题解析：
（1）∵()32
f x x ax bx =++，
∴()2
'32f x x ax b =++，
依题意有即()()'1320114f a b f a b ⎧=++=⎪
⎨=++=-⎪⎩
，解得2.7a b =⎧⎨
=-⎩ ∴()()()2
'347371f x x x x x =+-=+-，
由()'0f x <，得7
13
x -
<<， ∴函数()f x 的单调递减区间7,1.3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
()2由()1知()3227f x x x x ，
=+- ∴()()()2
'347371f x x x x x =++=+-，
令()'0f x =，解得127
13
x x =-=，．
当x 变化时，()()'f x f x ，的变化情况如下表：
由上表知，函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增． 故可得()()14min f x f ==-， 又(1)8,(2)2f f -==． ∴()()18.max f x f =-=
综上可得函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值分别为8和4-．
19．已知函数()()3
30f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2.求：
（1）实数a ，b 的值；
（2）求()f x 在[]22-,
上的单调区间. 【答案】（1）1
4a b =⎧⎨=⎩
（2）()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-
【分析】(1)根据()f x 先求出()f x '，解不等式0f x
与()0f x '<，利用导数与极值的关系，确定
极值点，进而可求解；
(2)由(1)可得：3()34f x x x =-+，从而得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，进而可求解.
【详解】解：（1）()()2
330f x x a a '=->，
由(
)0f x x '>⇒<
x ∴()f x
在(,-∞
，
)
+∞上单调递增；
由(
)0f x x '<⇒，∴()f x
在(上单调递减，
即x =()f x
取到极大值；x =()f x 取到极小值
.
(
(
636
232f a b f b ⎧⎧=-+=⎪⎪
⇒⎨
⎨=⎪⎪=⎩⎩
14a b =⎧⇒⎨=⎩. （2）()3
34f x x x =-+，
则233f
x
x ；由()01f x x '>⇒<-或1x >，又[]2,2x ∈-，
()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-.
【点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值的应用及方程的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()213
ln 42
g x x x x b =
-++． （1）当5
4
b =-时，求()g x 在（()1,1g ）处的切线方程；
（2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）52y =-；（2）5
2ln 24
b ≤<-.
【分析】（1）根据()2135
ln 424
g x x x x =-+- ，求导()13122g x x x '=-+，再求得()1'g ，根据切点，
写出切线的方程；
（2）将函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，转化为213
ln 42
b x x x -=
-+在[1，4]内有两个实根，()213
ln 42
h x x x x =
-+，利用导数法研究其单调性，画出图象求解. 【详解】（1）因为()2135
ln 424
g x x x x =-+- ， 所以()131
22g x x x
'=
-+，
所以()1311022'=-+=g ， 又因为切点为（1，52
-）， 所以切线的方程为52
y =-； （2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，
可得213ln 42b x x x -=
-+在[1，4]内有两个实根， 设()213ln 42h x x x x =-+，()()()12131222x x h x x x x
--'=-+=， 当()1,2x ∈时，()h x 递减，当()2,4x ∈时，()h x 递增，
由()514
h =-，()22ln 2h =-+，()4ln 42h =-， 画出()y h x =的图象，如图所示
可得52ln 24b -+<-≤-
， 解得52ln 24
b ≤<-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(0,2)，且2
0()6f x dx =⎰. (1)求函数()f x 的表达式.
(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.
【答案】（1）()2f x x =+；（2）92
【分析】（1）假设出一次函数()()20f x kx k =+≠，根据积分构造出方程求得k ，进而得到结果； （2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为()()2
1S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰，利用积分的
运算法则求得结果.
【详解】（1）
()f x 为一次函数且过点()0,2 ∴可设()()20f x kx k =+≠ ()()22200
22224602k f x dx kx dx x x k ⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得：1k = ()2f x x ∴=+
（2）由2
2y x y x ⎧=⎨=+⎩得：11x =-，22x =
f x 与()
g x 围成的图形面积()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣
⎦⎰ 即()
222312118119222421233232S x x dx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 【点睛】本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.
22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，
()2123C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，()3
6ln 17e C x x x x
=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.
【答案】（1）()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.
【分析】（1）根据题中条件，分07x <<和7x ≥两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；
（2）根据（1）中解析式，分别求出7x <和7x ≥两种情况下，()P x 的最大值，即可得出结果.
【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，
由题意可得，当07x <<时，()()2211626224233
P x x C x x x x x x =--=---=-+-；
当7x ≥时，()()33
6266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭
； 所以()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩
； （2）由（1）可得，当07x <<，()()2211426101033
P x x x x =-+-=--+≤， 当且仅当6x =时，等号成立；
当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e x P x x x x
-'=-+=， 所以，当3
7x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln e P x x x =--单调递增；当3x e >时， ()0P x '<，即函数()3
15ln e P x x x
=--单调递减； 所以当3
x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333315ln 11e P e e e =--=； 综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；
即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.
【点睛】思路点睛：
导数的方法求函数最值的一般步骤：
（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；
（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.。