2020届安徽省示范高中皖北协作区高三联考数学(文)试题

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2020年“安徽省示范高中皖北协作区”第22届高三联考
数学（文科）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1，已知复数z 满足i i z +=2，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<=<+-=110342x x B x x x A ，，则A ∩B=（ ） A. {}3<x x B.{}1>x x C.{}31<<x x D.{}
31><x x x 或 3．设函数⎩
⎨⎧>≤+-=,0,2,0,1)(x x x x f x 则))2((-f f =（ ）， A ．8- B ．6- C ．6 D ．8
4．函数x e e x f x x cos 1
1)(+-=在[ -π，π]上的图像大致为（ ）
5．双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线的倾斜角为60°，则C 的离心率为（ ） A ．23 B ．2 C ．3 D ．32 6巳知角a 的顶点与原点O 重合，始边与x 物的非负半轴重合，它的终边过点)4,3(-P ，则)4tan(
απ+=（ ） A ．71- B ．7
1 C ．7- D ．7 7．如图是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时绘制的“赵爽弦图”，该图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，这是我国对勾股定理的最早证明.记直角三角形中较小的锐角为θ，且25
72cos =θ.若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形的概率是（ ）
A.251
B.254
C.51
D.53 8．已知非零向量b a ,满足b a 3=，且)3()(b a b a +⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）
A.65π
B.32π c.3π D.6
π 9．已知F 是抛物线C ：x y 42=的焦点，A ，B 为抛物线C 上两点，且6=+BF AF ．则线段AB 的中点
到y 轴的距离为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
25 D ．2
3 10．已知212ln 21sin π===c b a ，，，则（ ） A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a
11．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.322
B.9
38 C.
3
8 D.4
12．关于曲线12121=+y x C ：，有下述四个结论：
①曲线C 是轴对称图形；
成曲线C 关于点)4
1
,41(P 中心对称： ③曲线C 上的点到坐标原点的距离最小值是2
2： ④曲线C 与坐标轴围成的图形的面积不大于
2
1， 其中所有正确结论的编号是 A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．②③④
二、填空题：本题共4小題，每小题5分，共20分
13．已知数据5,4,2,a 的平均数是3，则该组数据的方差为 .
14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ．已知b c B a -=2cos 2，则A= .
15．已知正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点都在球O 的球面上，4,21==AA AB ，则求O 的表面积为 ．
16．函数])2,0[(cos sin 23sin )(2π
∈-=x x x x x f 的最大值为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分
17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．巳知351253==S S ，．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=．求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（12分）
为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作．某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的满意度，从经济不发达的A 城市和经济发达的B 城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如下：
若评分不低于80分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对此教育机构授课方式“不认可”.
（Ⅰ）请根据此样本完成下列2x2列联表，并据此列联表分析，能否有95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？
（Ⅱ）在样本A ，B 两个城市对此教育机构授课方式“认可”的用户中按分层抽样的方法抽取6人，若在此6人中任选2人参加数学竞赛，求A 城市中至少有1人参加的概率. 参考公式：))()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=. 参考数据：
I9．（12分）
图1是矩形ABCD ，AB =2， BC =1，M 为CD 的中点，将△AMD 沿AM 翻折，得到四梭锥D 一ABCM ，如图2．
（Ⅰ）若点N 为BD 的中点，求证：CN//平面DAM ；
（Ⅱ）若AD ⊥BM ．求点A 到平面BCD 的距离．
图1 图2
20．（12分） 已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x C ：经过点)23,1(A ，且离心率为2
1，过其右焦点F 的直线l 交椭圆C 于M ．N 两点，交y 轴于E 点．若1EM MF λ=u u u u r u u u r 2,EN NF λ=u u u r u u u r
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）试判断21λλ+是否是定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21．（12分）
已知函数)(ln )(2R a x a x x f ∈-=．
（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性：
（Ⅱ）若a>0，直线y=g （x ）为函数f （x ）图像的一条切线，求证：g （1）≤1．
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，
22.[选修4-4；坐标系与参数方程]（10分）
平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ121131y x (λ为参数，且1-≠λ).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为032cos 122=++θρρ.
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P 的极坐标为)4,
22(π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）) 已知函数)0(5)(>+--=m m x x x f 的最大值为8.
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若实数a 满足0)()1(>+-a f a f ，求a 的取值范围.。