角平分线定理课件

求证：PD=PE.
D
P
O
B
E
角平分线定理
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角平分线的性质
定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
P
∴PD=PE.
1
O
2
B
E
交换定理的题设和结论得到的命题为：
角平分线定理
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角平分线的判定
定理：到一个角的两边的距离相等的点，在 这个角平分线上。
• 角的平分线是到角的两边距离相等的 所有点的集合.
角平分线定理
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填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
N
PM
F
• 同理 PE=PF. • ∴ PD=PE=PF.
B
C
E
• 即点P到边AB、BC、角C平分A线的定理距离相等
10
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
A
C′
角平分线定理
C
B
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课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
角平分线定理
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例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
• 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
• ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上（已知）
A
• ∴PD=PE
D
•
（在角平分线上的点到角的两边的距离 相等）
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
角平分线定理
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2.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，
PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
用符号语言表示为：
AHale Waihona Puke Baidu
∵PD=PE PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D C
P
∴ ∠1= ∠2 .
O
角平分线定理
EB
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由上面两个定理可知：到角的两边的距离 相等的点，都在这个角平分线上；反过来， 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线定理
1
思考题
1. 什么叫角平分线？ 2 .画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向 角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
A
D
P
O
B
E
角平分线定理
2
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A