圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究

【教学目标】

会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学过程】 【温故习新】

1.(2012天津理19改编)设椭圆的左、右顶点分别为,A B ，点P 在

椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为 .

2.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦

点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝7

25，

则直线CD 的斜率为 ．

3.（2016如东月考）已知椭圆2

2:12

x C y +=，点125,,

,M M M 为其长轴AB 的6等分点，

分别过这五点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,

,P P P ,则这10条直线

1AP ,210,,AP AP 的斜率的乘积为 ．

22

221(0)x y a b a b

+=>>22

221(0)x y a b a b

+=>>

4.（2011江苏18改编）如图3，已知椭圆方程为12

42

2=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0k >， 求证：PA ⊥PB ．

二.释疑拓展

例1.（南京市、盐城市2017一模改编）已知椭圆C 的方程22

142

x y +=,直线:l y kx m =+，（0m ≠）交椭圆C 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.

图3

T Q

P

N

M

y

x

B O

例2：（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

:143

x y E +=，

若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .

（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值； （2）设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.

例3：已知椭圆方程C 的方程为2

214

x y +=，,B A 为椭圆的左、右顶点，点S 为椭圆C 上位

于x 轴上方的动点，直线AS,BS 与直线10

3

x =-分别交于M ，N 两点.

（1）试求线段MN 的长度的最小值；

（2）试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点，并证明你的结论.

引申：若直线方程变为,((,2)(2,)x t t =∈-∞-+∞时，以上问题的结果又如何呢？

【课堂检测】

1．如图，在平面直角坐标系xoy 中，离心率为2

2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的左

顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分

别与y 轴交于,M N ，若直线PQ 的斜率为2

2

时，3PQ = （1） 求椭圆C 标准方程；

（2） 试问以MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论。

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的离心率为2

2，直

线

1

2

l y x

=

：与椭圆E相交于A、B两点，AB＝2 5.C、D是椭圆E上异于A、B的任意两

点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N.

(1) 求a b

，的值；

(2) 求证：直线MN的斜率为定值．