高中数学人教A版必修5 3.5 绝对值不等式学案

高中数学人教A版必修5

第三章不等式

3.5 绝对值不等式学案

【课前自主学习】

预习课本，思考并完成以下问题

(1)什么是绝对值三角不等式？它的几何意义是什么？

(2)怎样求解形如|x|＜a型、|x|＞a型、|ax＋b|≤c型、|ax＋b|≥c型、|x－a|＋|x －b|≤c型、|x－a|＋|x－b|≥c型的不等式

(3)怎样利用分类讨论求解含参数的绝对值不等式？

【新知探究•夯实知识基础】

1.绝对值三角不等式

(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．

(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a －b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．

(3)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

几何解释：用向量a，b分别替换a，b.

①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．

②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.

由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．

③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

(4)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．

[点睛]绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．

2．含绝对值的不等式解法

(1)形如|x|＜a型与|x|＞a型不等式的解法

(2)形如|ax

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)形如|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解．

②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．

③构造函数，结合函数的图象求解．

[点睛](1)|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b 的点的距离之和(差)．

(2)形如|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．

【学练结合】

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0()

(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0()

(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立()

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．不等式|2x ＋1|＞3的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－1)∪(2, ＋∞) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－2,1)

答案：C

3．不等式|2x －1|＋|x ＋1|＞2的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

23，＋∞

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

23，＋∞ C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

23，＋∞

D ．(－∞，0)

答案：A

4．若存在实数x ，使不等式|x －a |＋|x －1|≤3能成立，则实数a 的取值范围是________．

答案：[－2,4]

【学以致用•探究解题方法】

题型一 绝对值三角不等式定理的应用

[典例] (1) 设ab ＜0，a ，b ∈R ，则下列不等式正确的是( ) A ．|a ＋b |＞|a －b | B ．|a －b |＜|a |＋|b | C ．|a ＋b |＜|a －b | D ．|a －b |＜||a |－|b ||

(2)以下四个命题：

①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1； ③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x y ＜2

3；

④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥1

2(lg|A |＋lg|B |)． 其中正确的命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个

D ．1个

[解析] (1)法一：取a ＝1，b ＝－2，则满足ab ＝－2＜0，这样有|a ＋b |＝|1

－2|＝1，|a －b |＝|1－(－2)|＝3，|a |＋|b |＝1＋2＝3，||a |－|b ||＝|1－2|＝1，

∴只有选项C 成立，而A 、B 、D 都不成立．故选C.

法二：由ab ＜0得a ，b 异号，易知|a ＋b |＜|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |＞||a |－|b ||，

∴选项C 成立，A 、B 、D 均不成立．故选C.

(2)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；

1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13.又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜2

3，③正确；

⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2

＋|B |2＋2|A ||B |)≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |，∴2lg

|A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg

|A |＋|B |2≥1

2(lg|A |＋lg|B |)，④正确．故选A.

[答案] (1)C (2)A

[解题规律总结]

[活学活用]

1.已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b |

|a ＋b |

，则m ，n 之间的大小关系是( )

A ．m ＞n

B ．m ＜n

C ．m ＝n

D ．m ≤n

解析：选D ∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，∴m ＝

|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1，n ＝|a |＋|b |

|a ＋b |