有限元平面问题

[]()1,2111121=∴---++==i i i jk i j k i i k k j j i kkj j i i y x N y x y x y x y x y x y x y x y x y x A即：()()()1,,,===k k k j j j i i i y x N y x N y x N （由i,j,k 轮换性知） 同理可证：()()0,,==k k i j j i y x N y x N （作业：证明：()()k j i j i y x N j j i ,,0,=≠=）因此()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎩⎨⎧≠===⇒======1,,0,,0,,1,00,,1,,0,0,,0,,1,k k k j j k ii k jii k k j j j j i i j k k i j j i i i i y x N y x N y x N j i j i j N y x N y x N y x N y x N y x N y x N δ （2-12）即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。

2. 在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即()()()1,,,=++y x N y x N y x N k j i 。

证明：()()()()()()()[]y c c c x b b b a a a Ay c x b a y c x b a y c x b a Ay x N y x N y x N k j i k j i k j i k k k j j j i i i k j i ++++++++=++++++++=++2121,,,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=j i k i k j k j i y y b y y b y y b ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=ij k k i j j k i x x c x x c x x c ()()()()()()()()()()()()1,,,002=++∴=-+-+-=++=-+-+-=++=-+-+-=++y x N y x N y x N x x x x x x c c c y y y y y y b b b A y x y x y x y x y x y x a a a k j i i j k i j k k j i j i i k k j k j i i j j i k i j k j k k j k j i （2-13）由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。

3. ij 边上的形函数()k j i i N i ,,=与节点k 的坐标无关（i ，j, k 轮换），即在ij 边上有：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=---=0,,1,y x N x x x x y x N x x x x y x N k ij i jij i i（i ，j, k 轮换） （2-14）证明：设 节点i 坐标：()i i y x ,,节点j 坐标：()j j y x ,。

求：ij边的直线方程。

i j i i j i x x x x y y y y --=--()i j ij ii y y x x x x y y ---+=∴ ()()()()()()(){}()()()()()kk j j k i i k j k i j i k j k i j i j i j j i j i j i j j j i k k i j j j j j j k j i i kk k i j k i j c c b c b x x A x x c c b x x b A x x c c b x x b y c x b a A x b x b y c x b a A x x c b y c x b a A y c x b a A y x N N ij N y x x x c bb y yc x x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+++=-+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=++--=∴-=-=-222222,N ,:,,N y y ,j j i １１１１１１＝计算边上的值在得到代入直线方程为：()()0,==++i i j i j i j jy x N y c x b akkj j i i y x y x y x A 11121=()()()()Ay x y x y x y x y x y x x x y y x x y y c b c b j k i j k i i k k j j i k i j i i j i k j k k j 2=---++=-----=- ()kij c x x y x N -=∴, i j k x x c -=∴ ()ij ij x x x x y x N ij --=∴,边上有：在在j i 边上：()()()(){}[]()0,2222,==++=-+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=++=i i k i k k k k i k i k k k i k k i k k k k k k k y x N y c x b a A x x b y c x b a A x x c b y c x b a A y c x b a A y x N １１１１由性质2 ：()()()ij ik j i x x x x y x N y x N y x N ---=--=∴1,,1,即在i ,j 边上有：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=---=0,,1,y x N x x x x y x N x x x x y x N k ij i jij i i（2-15） 证毕。

同理知：（轮换）在jk 边上有： 在ki 边上有：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---==i j i k i j i ji x x x x y x N x x x x y x N y x N ,1,0, ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---==--=i j i k j ij iix x x x y x N y x N x x x x y x N 1,0,, 几何表示：五、三角形单元位移函数的收敛性（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）下面我们来验证所设的位移函数⎩⎨⎧++=++=yx v yx u 654321αααααα 满足收敛准则（三条）。

1、 单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）由几何方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y vx u xyy x γεε 寻找物体发生刚体位移的条件。

若物体发生刚体位移，则有：()()x f v y f u x v y u y vx uxyyx 21,000==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=γεε ()的任意函数为y u 由0=xy γ得：()()021=∂∂+∂∂x x f y y f ()()dxx df dy y df 21=-∴等式两侧分别为x 和y 的函数，要使其相等只有：()()const dxx df dy y df ===-∴ω21积分：()()⎩⎨⎧+=-=xv x f yu y f ωω0201 式中00,v u 为积分常数故位移：()()00201===⇒⎩⎨⎧-==-==xy y x x v x f v yu y f u γεεωω即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。

因为这是xy y x γεε==的情形。

故：刚体转动的转角方向的刚体位移方向的刚体位移---ωy x u 00v事实上，将位移函数改变形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+++=-++++=yx x v y y x 6355345353212222u αααααααααααα显然可看出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----转的刚体转动体现绕无关）方向的刚体位移（与体现无关）方向的刚体位移（与体现z y x y y x x 2,,3541αααα （其它系数意义后述）2、单元位移函数解反映单元的常应变由：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x vy u y vx uxy y x γεε 可以得到：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=5362ααγαεαεx vy u y vx uxy y x ()()53532121ααααβαγ+++=+=xy显然：⎪⎩⎪⎨⎧-+--常量体现了单元的剪应变为方向的常应变体现了单元沿方向的常应变体现了单元沿5362ααααy x由此看出，但单元的各应变均为常量。

故三角形单元在位移函数：]⎩⎨⎧++=++=y x v y x u 654321αααααα 下个典的各个应变量均为常量。

故称ε为常应变单元。

3、 单元的位移函数在单元内部连续，在边界与相邻单元协调。

显然，设⎩⎨⎧++=++=y x v y x u 654321αααααα 是单元内部的连续函数。

下面考察下边界上协调（一致）的问题。

由形函数的第3条性质，我们证明： 对于相邻的两个单元j i e e ,,21为公共边界。

ij 边上的N:()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=---=0,,1,y x N x x x x y x N x x x x y x N k ij i j ij i i分别写出两个单元在公共边上的位移表达式。

对于单元1e ，其位移函数为：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=kk j j i i e k k j j i i e v N v N v N v u N u N u N u 11（*）对于单元2e ，其位移函数为：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=mm j j i i e m m j j i i e v N v N v N vu N u N u N u 22 （**） Ij 为单元1e ，2e 的公共边界。

由形函数的性质3我们知道：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==--=---=01mk ij i j ij i i N N x x x x N xx x x N 仅与节点 i 有关。

因此，对于1e ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=j i j i i i j i e j i j i i i j i e v x x x x v x x x x v u x x x x u x x x x u 1111对于2e ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=ji j i i i j i e j i j i i i j i e v x x x x v x x x x v u x x x x u x x x x u 1122 与节点k,m 无关，仅与i, j 节点坐标及i i v u ,有关。

j i x x ,-- 已知常数i i v u ,-- 节点位移唯一边界上x 唯一确定u,v由1eu 和2eu 比较及1ev 和2ev 比较知：在公共边界上各点，ij 上位移u,v 是唯一的。