-第四章推理技术-谓词逻辑
离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
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实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
《形式逻辑》原理教案
《形式逻辑》原理教案第一章：形式逻辑导论1.1 逻辑与思维：理解逻辑的本质与作用掌握思维的基本形式与特征1.2 形式逻辑与传统逻辑：比较形式逻辑与传统逻辑的区别与联系理解形式逻辑的研究对象和方法第二章：命题逻辑2.1 命题与命题联结词：熟悉命题的基本概念和分类掌握命题联结词的使用和含义2.2 命题逻辑的推理规则：学习命题逻辑的推理规则和证明方法练习使用命题逻辑进行推理和证明第三章：谓词逻辑3.1 谓词与谓词联结词：学习谓词的基本概念和分类掌握谓词联结词的使用和含义3.2 谓词逻辑的推理规则：学习谓词逻辑的推理规则和证明方法练习使用谓词逻辑进行推理和证明第四章：演绎推理4.1 演绎推理的定义与特点：理解演绎推理的基本概念和特点掌握演绎推理的有效性和可靠性4.2 演绎推理的方法：学习常见的演绎推理方法（如假言推理、选言推理等）练习运用演绎推理解决实际问题第五章：形式逻辑的应用5.1 形式逻辑与语言分析：探讨形式逻辑在语言分析中的应用练习使用形式逻辑分析语言表达的合理性5.2 形式逻辑与论证评价：学习形式逻辑在论证评价中的应用练习使用形式逻辑评价论证的合理性和有效性第六章：形式逻辑与数学6.1 数学中的逻辑结构：探讨数学中的逻辑基础，如集合论和数理逻辑理解数学定理的证明过程和逻辑推理6.2 形式逻辑在数学中的应用：学习形式逻辑在数学问题解决和证明中的应用练习使用形式逻辑解决数学问题第七章：形式逻辑与计算机科学7.1 计算机科学中的逻辑基础：了解计算机科学中的逻辑原理，如计算理论和算法逻辑掌握逻辑在计算机程序设计和分析中的应用7.2 形式逻辑在计算机科学中的应用：学习形式逻辑在计算机科学问题解决和算法设计中的应用练习使用形式逻辑分析和设计计算机程序第八章：形式逻辑与哲学8.1 哲学中的逻辑研究：探讨哲学中的逻辑方法和理论，如分析哲学和模态逻辑理解哲学论证的逻辑结构和有效性8.2 形式逻辑在哲学中的应用：学习形式逻辑在哲学问题分析和论证评价中的应用练习使用形式逻辑分析哲学问题和论证第九章：形式逻辑与日常生活9.1 日常生活中的逻辑应用：探讨形式逻辑在日常决策、沟通和问题解决中的应用理解日常逻辑错误和误区9.2 提高逻辑思维能力的策略：学习如何培养和提高自己的逻辑思维能力练习在日常生活中运用逻辑思维解决问题第十章：形式逻辑的前沿发展10.1 形式逻辑的最新研究：了解形式逻辑在现代逻辑学、认知逻辑和计算逻辑等领域的最新研究进展掌握形式逻辑的前沿理论和方法10.2 形式逻辑的未来展望：探讨形式逻辑在未来的发展趋势和应用前景激发学生对形式逻辑研究的兴趣和热情重点和难点解析第六章：形式逻辑与数学6.1 数学中的逻辑结构是形式逻辑研究的基石。
人工智能技术导论——基于谓词逻辑的机器推理
⼈⼯智能技术导论——基于谓词逻辑的机器推理⼀、⼀阶谓词逻辑1、谓词、函数、量词设a1, a2, …, an表⽰个体对象, A表⽰它们的属性、状态或关系, 则表达式A(a1, a2, …, an)在谓词逻辑中就表⽰⼀个(原⼦)命题。
例如,(1) 素数(2), 就表⽰命题“2是个素数”。
(2) 好朋友(张三, 李四), 就表⽰命题“张三和李四是好朋友”。
⼀般地, 表达式P(x1,x2,…,xn)在谓词逻辑中称为n元谓词。
其中P是谓词符号，也称谓词，代表⼀个确定的特征或关系(名)。
x1,x2,…,xn称为谓词的参量或者项，⼀般表⽰个体。
个体变元的变化范围称为个体域（或论述域），包揽⼀切事物的集合称为全总个体域。
为了表达个体之间的对应关系，我们引⼊通常数学中函数的概念和记法。
例如我们⽤father(x)表⽰x的⽗亲，⽤sum(x,y)表⽰数x和y之和，⼀般地，我们⽤如下形式：f(x1,x2,…,xn)表⽰个体变元x1,x2,…,xn所对应的个体y，并称之为n元个体函数，简称函数（或函词、函词命名式）。
其中f是函数符号，有了函数的概念和记法，谓词的表达能⼒就更强了。
例如，我们⽤Doctor(father(Li))表⽰“⼩李的⽗亲是医⽣”，⽤E(sq(x),y))表⽰“x的平⽅等于y”。
以后我们约定⽤⼤写英⽂字母作为谓词符号,⽤⼩写字母f,g, h等表⽰函数符号,⽤⼩写字母x, y, z等作为个体变元符号, ⽤⼩写字母a, b, c等作为个体常元符号。
我们把“所有”、“⼀切”、“任⼀”、“全体”、“凡是”等词统称为全称量词, 记为∀x; 把“存在”、“有些”、“⾄少有⼀个”、 “有的”等词统称为存在量词,记为∃ x。
其中M(x)表⽰“x是⼈”, N(x)表⽰“x有名字”, 该式可读作“对于任意的x, 如果x是⼈, 则x有名字”。
这⾥的个体域取为全总个体域。
如果把个体域取为⼈类集合, 则该命题就可以表⽰为同理, 我们可以把命题“存在不是偶数的整数”表⽰为其中G(x)表⽰“x是整数”, E(x)表⽰“x是偶数”。
第四章 推理技术
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18
3
置换
合一
寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致 置换可以结合： (Ls1)s2=L(s1s2), 用s1和s2相继作用于L与用s1s2作用于L相同； 不可交换：s1•s2≠s2•s1 例：设有公式集F＝{P (x, y, f(y)), P (a, g(x), z)}
λ＝{a/x, g(a)/y, f(g(a))/z}是它的一个合一 一般说来，一个公式集的合一不唯一。
目的
例如：全称化推理：（∀x）P (x) ⇒ P (y), y是个体域中的任意个体； 假言推理：P, P→Q ⇒ Q 由W1(A) 和（∀x）(W1(x) →W2(x)) 推出W2(A)。
寻找项对变元的置换，使谓词一致
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置换
在一个谓词公式中用置换项去置换变量。
置换
{a/x，c/y，f(b)/z} {g(y)/x，f(x)/y} {g(a)/x，f(x)/y}
如果D是任意非空个体域，则称P与Q是等价的，记作P<==>Q。
对自由出现的个体变元用与原公式中所有个体变元符号不同的变量符号去替代
∀x P (x, y) ∧ R (x, y)
∀x P (x, y) ∧ R (w, y)
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常用的等价式
（1）双重否定律 ¬¬P <==> P （2）交换律 P∨Q<==>Q∨P， P∧Q <==>Q∧P （3）结合律 （P∨Q）∨R<==> P∨（Q∨R）， （P∧Q）∧R<==>P ∧（Q∧R） （4）分配律 P∨（Q∧R）<==>（P∨Q）∧（P∨R） P∧（Q∨R）<==>（P∧Q）∨（P∧R） （5）狄·摩根定律 ¬（P∨Q）<==> ¬P∧¬Q； ¬（P∧Q）<==>¬P∨¬Q （6）吸收律 P∨（P∧Q）<==> P， P∧（P ∨ Q）<==> P
逻辑学导论第四章
一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束 变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变 项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又 是自由变项。
一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公 式的意义不确定，没有确定的真假。一个不含任何自由变项 的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式 有确定的意义，也有确定的真假。
◦ （ii）如果A是公式，则A是公式。 ◦ （iii）如果A和B都是公式，则A∧B，A∨B，AB，AB是公
式。 ◦ （iv）如果A是公式，则xA，xA是公式。 ◦ （v）只有按以上方式形成的符号串是公式。
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重叠的量词和重叠的量化式
◦ “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包 含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。
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一阶语言 （Ⅰ）初始符号
◦ （i）个体变项：x，y，z，… ◦ （ii）个体常项：a，b，c，… ◦ （iii）谓词符号：F，G，R，S，… ◦ （iv）量词：全称量词，存在量词 ◦ （v）联结词：，∧，∨，， ◦ （vi）辅足性符号：逗号，，左括号（，右括号）。
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（Ⅱ）形成规则
◦ （i）一个谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当 分开的n个个体词（n≥1），是原子公式。
如果一个谓词逻辑的公式，对于有些赋值为真，对于有些赋 值为假，则称该公式是偶真式，但非普遍有效式。所有的偶 真式都是可满足式。
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普遍有效式举例
◦ （1）xF(x)F(y) ◦ （2）F(y) xF(x) ◦ （3）x(F(x)∨F(x)) ◦ （4）x(F(x)∧F(x))
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◦ （5）xF(x) xF(x) ◦ （6）xF(x) xF(x) ◦ （7）x(F(x) G(x))(xF(x) xG(x)) ◦ （8）x(F(x)∧G(x))(xF(x)∧xG(x)) ◦ （9）x(F(x)∨G(x))( xF(x)∨xG(x)) ◦ （10）xyR(x, y)yx R(x, y)
《人工智能》--课后习题答案
《人工智能》课后习题答案第一章绪论1.1答：人工智能就是让机器完成那些如果由人来做则需要智能的事情的科学。
人工智能是相对于人的自然智能而言，即用人工的方法和技术，研制智能机器或智能系统来模仿延伸和扩展人的智能，实现智能行为和“机器思维”，解决需要人类专家才能处理的问题。
1.2答：“智能”一词源于拉丁“Legere”，意思是收集、汇集，智能通常用来表示从中进行选择、理解和感觉。
所谓自然智能就是人类和一些动物所具有的智力和行为能力。
智力是针对具体情况的，根据不同的情况有不同的含义。
“智力”是指学会某种技能的能力，而不是指技能本身。
1.3答：专家系统是一个智能的计算机程序，他运用知识和推理步骤来解决只有专家才能解决的复杂问题。
即任何解题能力达到了同领域人类专家水平的计算机程序度可以称为专家系统。
1.4答：自然语言处理—语言翻译系统，金山词霸系列机器人—足球机器人模式识别—Microsoft Cartoon Maker博弈—围棋和跳棋第二章知识表达技术2.1解答：（1）状态空间(State Space)是利用状态变量和操作符号，表示系统或问题的有关知识的符号体系，状态空间是一个四元组（S，O，S0，G）：S—状态集合;O—操作算子集合;S0—初始状态,S0⊂S;G—目的状态,G⊂S,(G可若干具体状态，也可满足某些性质的路径信息描述)从S0结点到G结点的路径被称为求解路径。
状态空间一解是一有限操作算子序列，它使初始状态转换为目标状态：O1 O2 O3 OkS0→−−−S1→−−−S2→−−−……→−−−G其中O1，…，Ok即为状态空间的一个解(解往往不是唯一的)（2）谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展，它将原子命题分解成客体和谓词两个部分。
与命题逻辑中命题公式相对应，谓词逻辑中也有谓词（命题函数）公式、原子谓词公式、复合谓词公式等概念。
一阶谓词逻辑是谓词逻辑中最直观的一种逻辑。
（3）语义网络是一种采用网络形式表示人类知识的方法。
谓词逻辑(4)
逻辑树方法
（1）全称量词消去规则 （ -） xAx | A(x/t) [A(x/t)表示消去全称量词x，并用个体词t代入A中的个体变 元x的每一次出现而得到的公式。]
命题自然推理的规则
规则 D 在推理过程中如果在原有前提下，假 定A，因而推出B，则在原有前提下就可以推出 A B。 归谬规则：如果从一前提集和A的否定可以推出 矛盾，则可以从该前提集推出A。
[例1]
如果工资提高(p)，或者物价提高(q) ，则将有通货膨胀 (r) 。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s) ， 或者人民将遭受损失(t) 。如果人民遭受损失，改革就 会失去人心(u) 。国家将不采取紧缩政策，并且改革不 会失去人心。因此，物价不会提高。 pq r r s t t u s u …… q
是敌人。
Dx表示x是敌人，Yx表示x是友好的，论域为全域。 x(Dx → Yx)
…… x(Yx → Dx)
(1) x(Dx → Yx) (2) Dy → Yy (3) Dy Yy (4) Yy Dy (5) Yy → Dy (6) x(Yx → Dx) 推理有效。
构造真值树的规则，也称为生成新枝规则，包括
（1）合取分解规则：A B A B
（2）析取分解规则：A B
A B
（3）双否分解规则： A A
（4）蕴含分解 规则: A B A B （5）等值分解 规则: A B A B A B
第四章、谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
逻辑学基础(第四章)
2012年3月12日星期一
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个体词和谓词
谓词逻辑就是把命题分解为个体词、谓词、量词以及联结 词的逻辑系统。例如：
（3）我是学生。 （4）王五不是李四的朋友。
个体词：表示个体的语词， 个体词：表示个体的语词，如：“我”、“王五” 、“李四”。 谓词：用来说明个体词的性质或关系的语词。 谓词：用来说明个体词的性质或关系的语词。
带横线部分指明了存在量词∃的辖域。 (1)∃xＤx∨Ｅx (2)∃x（Ｆxy∧yＧy） (3)∃x∀y（Ｆxy∧∀x∀z（Ｇxz→Ｈyz）
2012年3月12日星期一
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约束变元和自由变元
变元的约束出现：一个变元在公式里的出现是 一个变元在公式里的出现是 约束的，当且仅当， 约束的，当且仅当，这种出现是在采用该变元的 量词的辖域内。 量词的辖域内。 变元的自由出现：一个变元在公式里的出现是 一个变元在公式里的出现是 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。 约束变元就是约束出现的变元； 约束变元就是约束出现的变元；自由变元就是自由 出现的变元。 出现的变元。
用来表示符号串的缩写。 （3）定义：用来表示符号串的缩写 如：A↔B=df (A→B)∧(B→A)。
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量词的辖域量词的辖域：量词的作 Nhomakorabea范围。 量词的辖域：量词的作用范围。 量词的辖域可定义为：如果B是∀vB和∃vB的子公式，则称B 量词的辖域可定义为：如果B vB和 vB的子公式，则称B 的子公式 为量词∀ 的辖域。 为量词∀v和∃v的辖域。 在公式中，量词的辖域是该量词及紧接该量词的最短公式。 在公式中，量词的辖域是该量词及紧接该量词的最短公式。
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第四章、谓词逻辑-李娜 (1)
我们也可以从函数符号复合得到新的函数符号，因此，从给定的个体词通过函 数复合可以得到新的个体词。例如，令f(x)表示“x的父亲”。那么我们有如下复合 函数：
每个项都是从个体变元和个体常元用函数符号构造起来的。最后，我们来看每个 项如何代表个体。为了谈论一些个体，首先要确定一个个体范围。这在数学中是常 见的，比如谈论实数、自然数、有理数或者整数，等等。在谈论项代表的个体时， 首先要明确所谈论的个体是取自哪个范围的。我们把这样的个体范围叫作论域，一 般地用D、W等表示论域。我们要假定论域是非空的，即每个论域至少有一个元素。
猫科动物都是哺乳动物。（p）
老虎都是猫科动物。 （q）
所以，老虎都是哺乳动物。（r）
这个推理是正确的。但是从命题逻辑的观点看，这个推理的前提和结论 分别是三个简单命题p、q和r。在命题逻辑中，从p和q不能推出r。
虽然传统三段论是有效的，但是传统三段论的推理形式是有限的，无法 处理一些更复杂的推理，比如：
这里f(x)是一个函数，它是以一些个体作为个体变元x的取值，从而得到另一个个 体作为它的函数值。像这样只有一个个体变元的函数称为一元函数。相应地还有一 些二元函数，例如：
（s1）x与y的和 （s2）中国与美国之间的最大海洋 （s3）直线x与直线y的交点 这三个表达式也都是个体词，因为它们代表唯一的个体。但是它们不是由一元 函数形成的，而是由二元函数形成的个体词。例如（s2），我们用g(x,y)表示x和y之 间的最大海洋；用a表示“中国”，用b表示“美国”，那么（s2）就写成g(a,b)。 一般地说，一个n元函数符号是带有n个个体变元的函数符号，记为f(x1, …, xn)。 这样我们得到构成第三种个体词的符号：
第4章一阶逻辑基本概念
8/5/2021
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合式公式
CHAPTER FOUR
定义4.4 一阶语言L 中的合式公式 (也称为谓词公式或公式) 定义如下：
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若A是合式公式，则 (┐A)也是合式公式；
(3) 若A, B 是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合 式公式；
F(x,y)：表示个体变项 x, y具有关系F (同上) 。
一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项x1,x2,…,xn 的n元谓词。 它可看成以个体域为定义域,以{0,1}为值域的n元函数关系.
当P取常项,且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命题.
一阶逻辑中命题符号化问题
例4.2-1 在个体域为人类集合将下面两个命题符号化：
CHAPTER FOUR
(1) 凡是人都要呼吸； (2) 有的人用左手写字。
解：令 F(x): x 呼吸; G(x): x 用左手写字。则
(1) x F(x); (2) x G(x)。
例4.2-2 上例中，将个体域改为全总个体域后，两命题的符号化形式如何？
则可符号化为（1） xF(x)，（2） xG(x) 。
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一阶逻辑中命题符号化问题 CHAPTER
FOUR
例4.4 将下列命题符号化，并讨论其真值。
(1) 所有的人都长着黑头发；(2)有的人登上过月球；
(3) 没有人登上过木星； 解：令 M(x)：x 为人。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
chenchen241一阶谓词逻辑符号化42一阶谓词逻辑公式及解释chapterchapterfourfour在命题逻辑中命题是最基本的单位对简单命题不再进行分解不关心命题中个体与总体的内在联系和数量关系
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
谓词逻辑的等值和推理演算-SJTUCS
正确的推理形式
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推理形式
例2: 人皆有死，孔子是人，所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
例3: 若有一个又高又胖的人,则有一个高个 子而且有一个胖子.
(x)Man(x)(x)Woman(x) 要么所有人都是男人，要么所有人都是女人
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量词分配等值式(续)
回顾：约束变元改名规则
(x)(x) = (y)(y) (x)(x) = (y)(y)
变元易名后的“分配律”
(x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y)) (x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y))
步骤： 设 是任一公式，通过下述步骤可将其转化
为与之等价的前束范式： （1）消去公式中包含的联结词“”、“”； （2）反复运用摩根定律，直接将“”内移到原子
谓词公式的前端； （3）约束变元易名（如果必要的话）； （4）使用分配等值公式，将所有量词提到公式的最
前端。
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求((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) 的前束范式。 解 （1）消去联结词“”、“”，得： ((x)(y)P(a, x, y)(x)((y)Q(y,b)R(x)))
引入新个体常项a代入x消去u时引进的个体因为与左边的y和z有关所以不能用个体常项而是用函数两者明显不等值但在不可满足的意义下两者是一致的skolem范式不保持等值24谓词逻辑的推理命题逻辑中有关推理形式重言蕴涵以及基本的推理公式的讨论和所用的术语都可引入到谓词逻辑中并可把命题逻辑的推理作为谓词逻辑的推理的一个部分来看待我们讨论谓词逻辑所特有的推理形式和基本推理公式25推理形式推理形式是指用表达推理的公式例1
谓 词 推 理
谓词推理
定义1 若在各种解释下A1A2A3…AnB只 能为真,则称为前提A1,A2,…,An可推出结论B。
定义2 当A1A2A3…An为真时B为真，即 当A1,A2,A3…,An为真时B为真。 方法：
当前提条件A1,A2,…,An为真时， 利用等值式推出其他公式也为真，或
利用谓词推理规律，推出其他公式为真，
x0是论域中的任意个体 存在量词的推广EG或+：A(c) xA(x)
c为某个体
例题 (x(H(x)O(x))H(c)O(c)，
亚里斯多德的三段论
(1) x(H(x)O(x))为真 (前提)
(2) H(c)O(c) 为真
(全称指定x=c时为真)
(3) H(c) 为真
(前提)
(4) O(c) 为真
((2)(3)与假言推理代换实例)
(5) G(c)为真 ( (2),(4)分离)
(6) xG(x)为真 ((5)存在推广)
通过指定将量词去掉,通过代换实例使用命题逻辑 的方法.
通过推广加上量词,对于存在只有一个实例,对推广 全称,一定要注意x是全称指定的.
一定要注意先用“存在指定”，再用“全称指定”
例 x(F(x)G(x)),xF(x)xG(x)
三、谓词逻辑推理公理:仅能理解左真时右真
(1)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) (2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 别反了 (3) 四条推理铁律 全称量词的指定US或-：xA(x)A(x0)
x0是论域中的任意个体 存在量词的指定ES或-：xA(x)A(c)
c为某个特定的个体，不是任意的个体 全称量词的推广UG或+：A(x0) xA(x)
证明: 本例用到“存在指定”与“全称指定”，
04-2第四章 推理技术-谓词逻辑
第4章 推理技术
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
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第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
第四章一阶逻辑的基本概念详解
谓词常项 谓词变项
如, S： … 是大学生, 如, F： … 具有性质F
S(a)
F(x)
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在谓词中包含的个体变元数目称为谓词的元数。与一个个 体变元相联系的谓词叫一元谓词，与多个个体变元相联系 的谓词叫多元谓词。
n(n1)元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如：S(x)是一元谓词 L(x,y)：x与 y 有关系 L是二元谓词
xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y) ) )
或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
0元谓词——不含个体变项的谓词
特别的，若F,G,S,L为谓词常项，则方为命题
量词
量词——表示数量的词 (1)全称量词: 表示所有的,任意的，每一个等 x : 对个体域中所有的x 如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G (2)存在量词: 表示存在, 有一个 x : 个体域中有一个x 如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得 x和y有关系G xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y, x和y有关系G
(3) 如果2>3，则3<4
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xH(x), H(x)：x用左手写字 (b) M(x)：x为人
05-L.02 谓词逻辑的归结推理
离散数学基础2017-11-19•一些基本定义：−谓词公式中原子或原子的否定形式称为文字。
−文字的析取式称为子句。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
»空子句是不可满足的。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理：谓词公式的子句集化归−任何谓词公式都可应用谓词逻辑等值式及推理规则化成相应的子句集。
−过程（构造性证明）：(1)蕴涵消去：消去条件蕴涵符号；(2)否定词深入：否定词直接作用在原子上；(3)变量标准化：处于不同量词辖域的约束变量根据易名规则使用不同的变量名；(4)消去存在量词：对不受约束的存在量词，使用常量符号例化；对被约束的存在量词，引入Skolem函数建立依赖；(5)化为前束形： （前缀）（母式），前缀包含全称量词串，母式中不包含任何量词；(6)将母式化为合取范式；(7)消去全称量词（自由变量默认全称量化）；(8)由(6)中各极大项构成子句；(9)变量分离：使各子句不含同名变量。
•例：∀xP(x)→∀x∃y((P(x)∨Q(x))→R(x, y))¬ ∀xP(x) ∨ ∀x∃y(¬(P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x, y)) 蕴涵消去∃x¬P(x) ∨ ∀x∃y ((¬P(x) ˄ ¬Q(x)) ∨ R(x, y))否定词深入∃x¬P(x) ∨ ∀z∃y ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, y))变量标准化¬P(c) ∨ ∀z((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))消去存在量词∀z(¬P(c) ∨ ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))) 化为前束形∀z((¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z)) ˄(¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z)))将母式化为合取范式¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z), ¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z) 消去全称量词 {¬P(c) ∨ ¬P(u) ∨ R(u, f Skolem(u), ¬P(c) ∨ ¬Q(v) ∨ R(v, f Skolem(v)} 变量分离−说明：»子句中的变量总是被默认为全称量化的；»化归得到的子句集不等价于原公式；»考虑到量词消去和引入规则的应用，若公式 A 在逻辑上遵循公式集 S，则也遵循由 S 变换成的子句集。
第四章 确定性推理
（非）加在谓词公式前面，称为否定，或取反。 （与）连接谓词公式，称为合取； 产生的逻辑语句称为合取式，每个成分成为合取项。
（或）连接谓词公式，称为析取； 产生的逻辑语句称为析取式，每个成分成为析取项。
（蕴涵）连接谓词公式产生蕴涵式； 左部称为前项，右部称为后项。 （等价）连接谓词公式产生等价式；正、逆向蕴涵式的合取。
推理的控制策略
④ 双向推理 双向推理是指正向推理与逆向推理同时进行，且在 推理过程中的某一步骤上“碰头”的一种推理。 正向推理所得的中间结论恰好是逆向推理此时要求 的证据 2、求解策略 推理是只求一个解还是求所有解以及最优解等 3、限制策略 对推理的深度、宽度、时间、空间等进行限制
2014-4-27 12
4.1 推理技术概述
1、演绎推理、归纳推理、默认推理 推理的基本任务是从一种判断推出另一种判断 按判断推出的途径来划分，可分为演绎推理、归纳推理 及默认推理 （1）演绎推理
演绎推理是从全称判断推导出特称判断或单称判断的过程 演绎推理有多种形式，经常用的是三段论式 三段论式包括 大前提：已知的一般性知识或假设 小前提：关于所研究的具体情况或个别事实的判断 结论：由大前提推出的适合于小前提所示情况的新判断
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推理的控制策略
推理过程是一个思维过程，即求解问题的过程 推理的控制策略主要包括推理方向、搜索策略、 冲突消解策略、求解策略及限制策略等 1、推理方向 推理方向用于确定推理的驱动方式，分为正向 推理、逆向推理、混合推理及双向推理四种
知识库 综合数据库 推理机
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推理的控制策略
① 正向推理 正向推理是从初始状态出发，使用规则， 到达目标状态。又称为数据驱动推理、前向链 推理、模式制导推理及前件推理。 ② 逆向推理 逆向推理是以某个假设目标为出发点的 一种推理，又称为目标驱动推理、逆向链推理 、目标制导推理及后件推理。
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• 语义规则：定义符号串的语义。
逻辑与程序语言的对比
逻辑
逻辑符号
程序语言
保留字或者符号
非逻辑符号
用户自定义的符号(变量名，函数名等)
语句规则 语义规则 推理规则、公理和证明
构造一个程序的语句规则 定义程序做什么的语句规则 没有
得结果：M(a)，即“小王学过计算机”。
这种推理过程完全是一种符号变换过程，很类似于人们用 自然语言推理的思维过程，因而称为自然演绎推理
证 明(语法)
在语法上，如果存在一个从假设到的证明， 则记为 ⊢ ，称由可推导出的，或可证明的。
是可推导出的，则记为
⊢ ，称为可证明的。
称一个假设是不协调的，如果存在一个语句 使得和的否定均可由推导得出。 称一个逻辑系统是一致的，或相容的(consistent)， 如果不存在逻辑系统的公式A，使得⊢A与⊢¬ A同时成 立。
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
第四章 推理技术
4.1 一阶谓词逻辑推理 4.2 归结演绎推理
推理技术概述
推理是人类求解问题的主要思维方法，即按照某种策略从已有事 实和知识推出结论的过程。按思维方式可分演绎推理、归纳推理、 类比推理等。
逻辑推理：按逻辑规则进行的推理。分为：
经典逻辑推理 :主要指命题逻辑和一阶谓词逻辑推理，也称精确推理或确 定性推理； 非经典逻辑推理：主要指除经典逻辑之外，按多值逻辑、模糊逻辑、概 率逻辑等的推理，也称为非精确推理或非确定性推理。
是疯狗，而不能看出自己的狗是不是疯的，如果看出别人家的狗
是疯狗，也不能告诉别人。于是大家开始观察，第一天晚上，没 有枪声，第二天晚上，没有枪声，第三天晚上，枪声响起（具体 几枪不清楚），问村子里有几只疯狗？只有晚上才能看出病狗， 并且一天晚上只能看一次。
爱因斯坦的世界难题（1）
爱因斯坦在20世纪初出一个谜语。他说世界上有98％的人答不出来。
逻辑推理举例
经典推理：苏格拉底之死
如何判别谎言？
ABC三人都喜欢说谎话，偶尔也说真话。某天，A指责B说谎 话，B指责C说谎话，C说AB两人都在说谎话。问谁在说谎？
有几条疯狗？
村里有50户人家，每家都养了一条狗。现发现村子里面出现 了n只疯狗，村里规定，谁要是发现了自己的狗是疯狗，就要将自 己的狗枪毙。但问题是，村子里面的人只能看出别人家的狗是不
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
谓词逻辑中的形式演绎推理
将自然语言中的陈述语句
利用谓词公式表示
符号化过程
利用逻辑等价式 将谓词公式进行变换
公式变形
利用逻辑蕴含式 推出结论
推理过程
表4.1 常用逻辑等价式
表4.2 常用逻辑蕴含式
例
设有前提：
(1)凡是大学生都学过计算机； (2)小王是大学生。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)：x是大学生;
8、住在中间房子的人喝牛奶； 9、挪威人住第一间房； 10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁 11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁； 12、抽BlueMaster的人喝啤； 13、德国人抽Prince香烟； 14、挪威人住蓝色房子隔壁； 15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。
逻辑学与计算机科学
1.4 谓词逻辑(一阶逻辑)
谓词逻辑是一种形式语言，具有严密的理论体系，也是一种常用的
知识表示方法。 语言: ¬，，，，(，)；常元，变元，函词，谓词；公式 – City（北京） – City（上海）
– Age（张三，23）
– (x)( y)( z) (F(x, y)F(y, z)GF(x, z)）
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
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逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
• 非逻辑符号集合：不同的逻辑理论中出现的不同的符号；
M(x)：x学过计算机;
a：小王。 则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面我们进行形式推理：
(1) x(S(x)→M(x)) (2)S(a)→M(a) (3)S(a) (4)M(a) ［前提］ ［(1),US］ ［前提］ ［(2),(3),I3］
1.3 命题逻辑
• 命题：可以确定其真假的陈述句。Bolle提出了布尔代数。 • 语言:原子Q、否定¬、吸取V、合取、蕴含 、等价<-> • 公式：AV¬B， (AB,A)=> ?
公司招聘工作人员，有M,N,Q三人应聘，经面试后，公司表示如 下想法：（1）三人中至少录取一人;（2）如果录取M,则一定录取 N；（3）如果录取N,则一定录取Q。结果如何？