冲激函数的性质

∫
δ ′(t )dt = 0 , −∞
−∞
∞
∫
δ ′ (t )dt = δ (t ) −∞
t
∫
δ ′(t ) f (t )dt = − f ′ (0) −∞
−∞
∞
时移 ，则：
∫
阶导数： 对δ (t )的k阶导数： ∫ δ (k ) (t ) f (t ) d t = (− 1) f (k ) (0)
冲激函数的性质
1．抽样性 ． 2．奇偶性 ． 3．标度变换 ． 4．微分性质（冲激偶）和积分性质 ．微分性质（冲激偶） 5. 卷积性质
如果f(t)在 处连续， 如果 在t = 0处连续，且处处有界，则有 处连续 且处处有界，
1.
抽样性(筛选性) 抽样性(筛选性)
δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t ) ∞ ∫ δ (t) f (t)dt = f (0)
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t )δ (t )dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t )dt = 0 −∞
−∞
t
∞
∫−∞ f (t)δ ′(t)dt = − f ′(0) （3）比例性 1 δ (at ) = δ (t ) f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) − f ′(0)δ (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 du(t ) t f (t ) ∗δ (t ) = f (t ) δ (t ) = ∫−∞δ (τ )dτ = u(t) dt
δ 为了信号分析的需要， 函数， 为了信号分析的需要，人们构造了 (t ) 函数，它属于广 t 而言 δ 义函数。就时间 而言， (t ) 可以当作时域连续信号处 义函数。 ，
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 因为它符合时域连续信号运算的某些规则。 δ (t ) 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
k
−∞ ∞
δ ′(t − t0 ) f (t )dt = − f ′ (t0 ) −∞
∞
④ f (t )δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t ) ，
不同） （与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t ) 不同）
X
−∞
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
1.加法器 1.加法器
e1(t ) e2 (t ) r (t ) e1(t )
∑
e2 (t )
r (t )
r(t ) = e1(t ) + e2 (t ) r(t ) = e1(t ) ⋅ e2 (t )
2.乘法器 2.乘法器
e1(t ) e2 (t )
r (t )
注意: 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。 注意: 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。 3.标量乘法器（数乘器，比例器） 3.标量乘法器（数乘器，比例器） 标量乘法器
−∞
f (t )
f (0)
∞
o
t
对于移位情况： 对于移位情况：
δ (t ) f (t −t 0) = f (−t0 )δ (t )
∫
δ (t − t0 ) f (t )dt = f (t0 ) −∞
∞
2. 奇偶性
δ (t ) = δ (−t )
3. 对δ(t)的标度变换
1 δ (at ) = δ (t ) a
∫
∞
−∞
δ (5t ) f (t )dt =?
1 f (0) 5
4.微 4.微、积分性质
∫
δ (τ )dτ = u(t ) −∞
−∞
'
t
d[δ ( t )] δ (t )= dt
d u( t ) δ(t ) = dt
5.卷积性质 5.卷积性质
f (t ) ∗δ (t ) = f (t )
δ ' (t )
4.冲激偶 4.冲激偶
s(t )
1
δ (t )
∞
(1)
τ 1 τ
−τ −τ o τ
s′(t )
1
τ
t
O
t
τ →0
δ ′(t )
τ2
1
τ2
−τ −τ O 1 − 2 − 1
τ
t
O
t
τ
τ2
冲激偶的性质
来自百度文库
① δ′(t )是奇函数
δ ′(−t ) = −δ ′(t ) ,
② ③
δ ′(t0 − t ) = −δ ′(t − t0 )
e(t ) a r (t )
a
r(t ) = ae(t )
基本元件2 基本元件2
4.微分器 4.微分器 5.积分器 5.积分器 6.延时器 6.延时器
e(t ) d dτ r(t )
de(t ) r(t ) = dt
e(t )
∫
r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
e(t )
τ
T
r (t )
e(t )
r (t )
r(t ) = e(t −τ )
（2）奇偶性 δ (−t ) = δ (t )
δ ′(t )dt = δ (t ) −∞
∞
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
δ (t )
∞
(1)
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
基本元件1 基本元件1