1行列式与矩阵

，
则
a11 a12 D a1n
a 21 a 22 a 2n
a n1 an2 a nn
。
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1.2
行列式的计算
性质1 行列式与它的转置行列式的值相等，即 D D 。
性质2 交换行列式的两行，行列式的值变号． 推论 若行列式中有两行的对应元素相同，则此行列式等于 零． 性质3 行列式的某一行的公因子可以提到行列式记号的
（a11a22 a12 a21 0）
为了研究方程组的一般解法和便于记忆解的表达式，我们引 入行列式的定义。
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1.1 行列式的定义
【定义1 】 用记号 为二阶行列式，即
a11 a12 a21 a22
11 12 a a a a 表示数值 11 22 12 21 ，称 a a 21 22
称为
n阶
a 2n a 3n a nn
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann (1)1 n a1n
a21 a31 an1
a22 a2, n 1 a32 a3,n 1 an 2 an ,n 1
阶行列式是由 n 个元素以 n 行 n 列组成，它表示 n! 项的代数和，其中正负项各一半，每一项都是取不同行不同列 的 n 个元素的乘积.其中元素 a11, a22 ,, ann 所在的对角线称为行 列式的主对角线．当 n 1 时，规定 D a11 a11 ．
称
a21 a31
为三阶行列式. 即
a12 a22 a32 a13 a23 a33
a11 a21 a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a23 a31 a33
a13
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
1.1 行列式的定义
二、
n
阶行列式
【定义3】 由 行列式.它表示数值
a 22 a D (1)11 a11 32 an2 a 23 a 33 a n3
n 个数组成的算式
a21 (1)1 2 a12 a31 an1
D
a11 a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
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1.1 行列式的定义
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
【定义2】 用记号
a21 a31
表示数值
a23 a33 a12 a21 a23 a31 a33 a13 a21 a22 a31 a32
a11
a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a22 a32
12.
1 5 0
【例3】计算三阶行列 式
2 4 1 0 2 0
.
【解】
1
5
0
2 4 1 0 2 0
1 4 0 5 1 0 0 2 2
0 4 0 5 2 0 1 1 2
2.
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0 0 c 0 c d
a b 1
11
c 0 abcd . c d
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1.2
行列式的计算
一、行列式的性质
【定义1】 将行列式的行变为相应的列后得到新的行列式， 称为行列式的转置行列式，记为 D T ，即 若
a11 a D 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a 2n a nn
1.1 行列式的定义
若记
则方程组
D
a11 a12 a21 a22
,
D1
b1 a12 b2 a22
,
D2
a11 b1 a21 b2
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 ,
的解为：
D1 x1 , D
x2
D2 ( D 0). D
a a
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12 a21
其中数 a11 , a12 , a21 , a22 称为行列式的元素．横排称为行，竖排称 为列．如图： a11 a12
a21 a22
【例1】
【解】
计算
1 2 3 4
．
．
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1 2 1 4 2 3 2 3 4
三阶行列式的值等于实线连接的元素乘 积之和减去虚线连接的元素乘积之和． 【思考】图中，实线之间有什么关系？ 虚线之间的关系又如何？
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1.1 行列式的定义
【例2】 计算三阶行列式
【解】
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
.
1 5 9 2 6 7 3 4 8 3 5 7 2 4 9 1 6 8
实用工程数学
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(主编 盛光进)
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实用工程数学 1 2 3 4 5 6 7 行列式与矩阵 线性方程组 概率论
数理统计
集合与关系
数理逻辑 图论
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第一章 行列式与矩阵
目录
1.1 1.2 1.3 行列式的定义 行列式的计算 矩阵的概念及运算 逆矩阵 矩阵的初等变换 应用与实践
n
2
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1.1 行列式的定义
主对角线以下的元素全为零的行列式称为上三角形行列式； 主对角线以上的元素全为零的行列式称为下三角形行列式； 据 n 阶行列式的定义计算，可得上、下三角形行列式的值 都等于其主对角线上元素的乘积． 例如，
a a a a 0 b b b 0 0 c c 0 b 0 11 ( 1) ab 0 b d
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1.4
1.5 1.6
1.1 行列式的定义 一、二阶、三阶行列式
二元一次线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 ,
用加减消元法求解可得方程组的解
b1a22 b2 a12 x 1 a a a a 11 22 12 21 x b2 a11 b1a21 2 a11a22 a12 a21