《二项式定理》中职数学(拓展模块)3.2【高教版】2

+
C
n n
b
n
二项式定理
(a＋b)n的二项展开式,共有n+1项
(1)每一项的系数
C
k n
(k=0,1,2,…,n)叫做该项的二项式系数
(2)C
k n
a
n-k
b
k叫做二项展开式的通项，表示第k+1项,记作Tk+1
(3)若取a=1,b=x则得一个重要公式：
(1+
x)n
=
Cn0
+ Cn1 x
+



(1)二 项 式 系 数 最 大 的 项(2；)系 数 绝 对 值 最 大 的 项(3；)系 数 最 大 的 项.
14.(1+ 2x)n的 展 开 式 中 第6项 与 第7项 的 系 数 相 等,求 展 开 式 中 二 项
式 系 数 最 大 的 项 和 系 数最 大 的 项.
15.在
x

2 x2
+
C
r r +1
+
C
r r+
2
+

+
C
r n1
=
C
r +1 n
(n

r )（第r+1条斜线）
如图，写出斜线上各行数字的和， 发现有什么规律？
1，1，2，3，5，8，13，21．．．
an = an1 + an2 (n 3)
著名的斐波,那契数列．
二项式定理
分类习题研究
二项式定理的逆向使用问题 1.化 简(1)( x 1)5 + 5( x 1)4 +10( x 1)3 +10( x 1)2 + 5( x 1)
2
2
展开1式2.设的(3x系1)数8 = 和a0 +问a1x题+ a2 x2 ++ a8 x8,求
(1)a1 + a2 + + a8;(2)a0 + a2 + a4 + a6 + a8; (3)a0 a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 a7 + a8 .
展开13.在式(3x系 2数y)20的最展大开式项中,求的问题
数, 并
问
展开
式
中
x
是 否 存 在 常 数 项 ？ 1、区别“二项式系数”与“系数”
2、第k项不是Cnkan-kbk 3、一般解题先研究通项
完成课本31页练习
二项式定理
“杨辉三角形”与二项式系数的性 质
引例：从排列组合“定序”问题说起
Q • 如图某城市中P，Q两地有整
齐的矩形道路网，从Q地到P 地共有多少种最近的走法？
求 展 开 式 中x项 的 系 数 及 二 项 式 系 数.
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
二项展开式的特定项问题 4.若
x

2 x2
n
的 展 开 式 中 第5项 的 系 数 与 第3项 的 系 数 的 比 是10：1，
3
(1)证 明 展 开 式 中 没 有 常 数项 ；(2)求 展 开 式 中 含x 2的 项.
展开式的系数和问题 10.若(3x 1)7 = a7 x7 + a6 x6 ++ a1x + a0 ,求
(1)a1 + a2 ++ a7;(2)a1 + a3 + a5 + a7; (3)a0 + a2 + a4 + a6;(4) a0 + a1 + a2 ++ a7 .
11.(2 3x)100 = a0 + a1x + a2 x2 + + a100 x100 ,求 (1)a0;(2)a1 + a2 + a3 + + a100;(3)a1 + a3 + a5 + + a99;
n
5.已 知 3 x 3 的 展 开 式 中 第6项 为 常 数 项(1)求n；(2)求 含x2的 项.

3 x
6.若
x+
1
n
展
开
式
中
前
三
项
系
数
成等
差
数
列, 求
：

24 x
(1)展 开 式 中 含x一 次 幂 的 项(；2)展 开 式 中 所 有x的 有 理 项.
抓 住 通 项Tk +1
4.在奇数项的二项式系数的和等 于偶数项的二项式系数的和，即
C
0 n
+
C
2 n
+
C
4 n
+
=
C
1 n
+
C
3 n
+
C
5 n
+
=
2n1
更多探究……
• 从杨辉三角中一个确定的数的“左 （右）肩” 出发， 向右（左）上方 作一条和左斜a边n 平行的射线，在这条 射线上的各数的和有何特征？
C
r r
(4)a0 + a2 ++ a100 2 a1 + a3 ++ a99 2;
(5) a0 + a1 + + a100 .
常见的赋值方法：(1)多项式f ( x)的各项系数和为f (1);
(2)奇数项系数和为 f 1 f -1, 偶数项系数和为 f 1+ f -1
(2)(2 x +1)5 5(2 x +1)4 +10(2x +1)3 10(2x +1)2 + 5(2 x +1) 1
(3)1 +
2C
1 n
+
4C
2 n
++
2n
C
n n
(a
+
b)n
=
Cn0a n
+ Cn1a n1b
+



+
C
k n
a
nk
bk
+ + Cnnbn
(a
b)n
=
=（）a4 +（）a3 b +（）a2 b2 +（）ab3 +（）b4
(a + b)4 = C04 a4 + C14 a3 b + C24 a2 b2 + C34 ab3 + C44 b4
• 4.一般地，(a+b)n=?
(a
+ b)n
=
Cn0a n
+
C
n1 a
n1b
+



+
C
k n
a
nk
b
k
+
治学品质
• 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解， 辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无 上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。 师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日 师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练， 为防异处而忘，故坚不让道。
• 辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：19个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿， 相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至 16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图 总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流 传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
Cn0a n

C
n1 a
n1b
+



+
(1)k
C
k n
a
nk
b
k
+ + (1)n Cnnbn
二项展开式指定项的系数问题 2.已知二项式3
x
2
10
,
(1)求
展
开
式
中
第4项
的
二
项
式
系
数
；

3x
(2)求 展 开 式 中 第4项 的 系 数; (3)求 第4项.
3.已知 x + 1 n的展开式中，前三项的系数成等差数列， 2 x
=
Cnk
1

n
k k
+
1
实质：数
所
ห้องสมุดไป่ตู้以Cnk
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
取得最大值 ；
n1
n+1
当n是奇数时，中间的两项 C 2 ，C 2 相等，且
同时取得最大值。
n
n
二项• 3式.各系二项数式的系数性的和质
在二项式定理中，令a = b = 1得：
重要方法： 赋值法
C
0 n
+
C
1 n
+
C
2 n
+

+
C
n n
=
2n
这就是说，(a + b)n的展开式的各二项式系数的和等于：2n
9.求
x
3+
3 x

1 x2
5
展
开
式
中
的
常
数
项.

◆ 多项式问题的方法: ①转化为二项式来展开； ②利用多项式的乘法法则展开； ③对多项式先变形化简，再展开； ④利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数.
探究• 对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何
进行抽象？
进一步，(x+y+z)6展开式中x3y2z的系数是多少？ (2x+y+3z)6展开式中x3y2z的系数是多少？
8的 展 开 式 中,(1)系 数 的 绝 对 值 最 大 的 项是 第 几 项 ？
(2)求 二 项 式 系 数 最 大 的 项；(3)求 系 数 最 大 的 项(；4)求 系 数 最 小 的 项.
◆求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性 质，n为奇数时中间两项，n为偶数时中间一项.
◆设Tk+1的系数为Ak+1，求系数最大的项，可通过 解不等式组Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.
+
C
k n
xk
+



+
C
n n
x
n
二项式定理规律
1、二项式系数规律 Cn0、C1n、Cn2、 、Cnn
2、指数规律 （1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次数由0升到n.
3、项数规律 二项展开式共有n+1项
4、通项公式
Tk +1
=
C
k n
a
nk
b
k
二项式定理简单运用
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6

x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x

1
9
的
展开
式
中x3的 系
端“等距离”的两项的二项式系数相等.
Cnm
=
C
nm n
图象的对称轴：r = n 2
在相邻的两行中，除1外的每一 个数都等于它“肩上”两个数的
C
r n+1
=
Cnr 1
+
C
r n
和.
• 2.增减性与最大值： 二项式系数的性质
C
k n
=
n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C41
C
2 4
C
3 4
C44
伟大的数学家
• 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州) 人，中国古代数学家和数学 教育家。由现存文献可推知， 杨辉担任过南宋地方行政官 员，为政清廉，足迹遍及苏 杭一带，他署名的数学书共 五种二十一卷。他是世界上 第一个排出丰富的纵横图和 讨论其构成规律的数学家。 与秦九韶、李治、朱世杰并 趁称宋元数学四大家。
二项式定理
基础知识
研究•(1a.在+nb=)n1的,2,3展,4时开，研式究(a+b)n的展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
• 2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次 (2)展开式各项系数有什么特点？
C 30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C33b3
共有四项
a3 :每个括号都不取b的情况有一种，即 C03 种，所以a3的系数是 C03
a2b:相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个；b3 有 C33 个；
如何求(a+b)n的展开式
3. (a + b )4 = (a + b )( a + b )( a + b )( a + b )
由杨辉三角形研究二项式系数的性质
(a + b)n 展开式的二项式系数依次是：
Cn0 ,Cn1 ,Cn2 , ,Cnn
f(r) 20
令f
(
r
)
=
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
14
当n= 6时,其图象是7个孤立点
• 问题：观察杨辉三角形，你能发 6 现二项式系数的哪些性质？
O 36
r
二项• 1式.对系称性数：的在二性项展质开式中，与首末两
=
C
k n
a
n-k
b
k
解题,
注意C
k n
a
n-k
b
k
是
第k
+
1项,
不
是第k项.
三项式、多项式问题
7.求 x2 + 3x + 2 5的 展 开 式 中x的 一 次 项 的 系 数.
8.(1)求
x
+
1 x

2
3
展
开
式
中
的
常
数
项
；

(2)若 x + 1 2n的 展 开 式 的 常 数 项 为 20,求n. x
近似16计.用 二算项、式 定 整理除证及明1110余 1能数被问100题整 除.
17.求 证 ：2n+2 3n + 5n 4能 被25整 除(n N*)
11
121
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 3 3 1
1 4 64 1
如何求(a+b)n的展开式 (a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
C
0 2
a
2
C
1 2
ab
C22b2
共有三项
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3