二次函数与三角形面积

二次函数与几何图形面积 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求:

（1）抛物线解析式；

（2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ；

（3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。

变式训练1.如图所示，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1） 求点A 和B 的坐标； （2） 求此抛物线的解析式； （3） 求四边形ACPB 的面积。

例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，

PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S

△PAB

=89

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

x

C O

y A

B

D 1 1 x

A B

O

C

y

P

变式训练2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.

变式训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

C B

A

O

y

x

D

B

A

O

y

x

P

二、课后作业：

1．已知如图，矩形OABC 的长3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。 （1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－

43

x 2

+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点，

A 点在原点的左侧，

B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于

C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /

C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /

C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

4．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．

K N

C E

D

G A

x

y O

B F

C E

D

G A

x

y O

B F