结构力学第6章-结构位移计算

ds du ds
位移状态
ds 9 dx
§7—3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2
k PK=1
设平面杆系结构由于 荷载、温度变化及支座 移动等因素引起位移如 P1
t2
ds c3
K′ k
du、dφ、γds
K ds
k Ｒ３
N、M、Q
图示。 求任一指定截面K沿
设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， 为一段直线，MP图为任意
形状，则上式中的ds可用dx代替。故有 =xtg, 且tg=常数，则
∫ ∫ tg
EI
tg xMPdx = EI
xdA
y
dA=MPdx
面积 A
形心
A MP
C
MP图 B
AyC EI
则积分运算化简为
dx
一个弯矩图的面积A乘
O
M
xA
xC
yC
以其形心处所对应的另
变形：是指结构形状的改变。
位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
绝对位移
相对位移
△CD= △C+ △D
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
A
△D D′ D
B
3
3. 计算位移的目的
（1）为了校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 下基础。
Pds=
△KP=
（6—6）
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。13
讨论
在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6—6） 可以简化：
1. 梁和刚架
△KP=
（6－7）
2.桁架
△KP= 3. 组合结构 △KP=
（6－8） （6—9）
例 6—1 求图示刚架A点
q
的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x
W= dW = P cos ds
（a）
5
常力功 A
B
△
变力功 由A→B, 力由0→P
P
W= P△cos （b）
W=
1 2
P △ cos
（c）
力偶功
常力偶 W= M·
（d）
变力偶
W=
1 2
M·
6
（2）实功与虚功 实功：力在本身引起的位移上作的功。
例如：
A
P1
1
B
△1
W=
A
P2
2
B
虚功：力在其它
△2
这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算
结果为正，所求位移△K与假设的 PK=1同向，反之反向 。这种方法又称为单位荷载法。
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移的不同
，设置相应的虚拟力状态。
例如:
求△AH
❖ 求A
A
实际状态
1 求△AB
B
A
1
虚拟状态
1A
虚拟状态
求AB
B1 A1
3. 常用的几种简单图形的面积和形心
2L/3
L/3
形心
L
h
h
❖a
b
形心
（L+a)/3
(L+b)/3
L
二次抛物线
L
L/2 顶点
二次抛物线 A1=2/3(hL) A2=1/3(hL)
3L/8 5L/8
1
2
顶点
3L/4
L/4
L
4 .图乘的技巧
当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
一个直线弯矩图上的竖 Bx
yC=xCtg 标 yC。
∫ —tg—
EI
xdA
如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计
而
算公式（6—7）可写成
有
tg
——
EI
AxC
△KP=
AiyCi 1E7 iIi
2. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）A与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
虚拟状态
1
A
虚拟状态
广义力与 广义位移
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§7—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位
移△KP，此时没有支座位移，故式（6—5）为
△KP=
（a）
式中：
为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、
Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知
dP=
duP=
将以上诸式代入式（a）得
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
4
§7—2 变形体系的虚功原理
1. 功、实功与虚功
（1）功 A
P B
dW=P ds cBaidu Nhomakorabeas
任一指定方向 k—k上 的位移△K 。
利用虚功原理计算
c1 c2
Ｒ１ Ｒ２
实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态
c1、c2、c3、△K du、d、ds
N、M、Q、Ri、PK 1
外力虚功 W=
=
内力虚功 Wi=
可得
(6－5) (6－5) 10
式中：
为虚拟状态中微段上的内力；c为实际
支座位移，d、du、ds为实际状态中微段上的变形。
因素引起的位移上作的
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
的两种彼此无关的状态。
例如： W12=P1·△2
7
2. 变形体的虚功原理：
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小
虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段
上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外=W内
或写成
W=Wi
式(6—1）称为虚功方程，式中
AB
x
1 A
I为常数。
A`
L
解：1. 设置虚拟状态 x
选取坐标如图。 C
实际状态
则各杆弯矩方程为:
L
x 虚拟状态
C
AB段：
x, BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—7）得
△Ay=
=
qx2 (-x)(- )
2
dx EI
+
(-L)(-
qL2 2
)
dx EI
()
15
§7—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
（1）杆轴为直线；
（2）EI=常数；
dA=MPdx
A MP
dx
面积A
MP图 B
至少（有3）一个是和直M线P两图个形弯。矩图中O 上述 积分可以得到简化。
M
xA
Bx
1
第七章 结构位移计算
§7—1 概述
§7—2 变形体系的虚功原理
§7—3 位移计算的一般公式
A′
§7—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§7—5 图乘法
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
§7—7 静定结构支座移动时的位移计算
§7—8 线弹性结构的互等定理 2
§7—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
（6—1）
W ——外力虚功
1.给定力状态-虚位移原理
Wi——内力虚功
2.给定位移状态-虚力原理
内力虚功的计算：
微段ds上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+Qds+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（6—2)
虚功方程为
AP
M
RA
q
Q
N
力状态
ds
A
d
q B
ds
RB
N+dN Q+dQ
B ds
W=
（6—3)