高中数学第2章第8节课时分层训练

分层训练(十)函数与方程

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是

() 导学号：51062057

A．0,2B．0，1 2

C．0，－1

2D．2，－

1

2

C[由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.

令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝a

b ＝－1

2.]

2．(2017·台州模拟)已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

B[∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝a x＋x－b，

∴f(－1)＝1

a

－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，

由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．]

3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是()

A．0B．1

C．2D．3

B[由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]

4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计

算，参考数据如下：

A．1.25 B．1.375

C．1.406 25 D．1.5

C[根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，

又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，

故方程的一个近似根可以是1.406 25.]

5．(2017·浙江五校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()

A.1

4 B.

1

8

C．－7

8D．－

3

8

C[令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7

8.故选C.]

二、填空题

6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．

(－∞，1)[设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]

7．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.

－21[∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，

∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.

由此可得⎩⎪⎨⎪⎧

2a ＋b ＝－3，①a 2

＋2ab ＝0，②

a 3＋3a 2＝a 2

b .③

∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]

8．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.

导学号：51062058

(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b . 在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，

则当0

三、解答题

9．已知函数f (x )＝x 3

－x 2

＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. [证明] 令g (x )＝f (x )－x .4分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1

2＝－18，

∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12＜0.10分

又函数g (x )在⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，12上连续，

∴存在x 0∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，

即f (x 0)＝x 0.15分

10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，

(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范

围．

[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.4分

因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.7分

(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，

只需⎩⎨⎧

f (－1)>0，

f (0)<0，

f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12>0，10分 即⎩⎪⎨⎪⎧

3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，

解得12

4.12分

故实数

a 的取值范围为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⎪⎪⎪

12

4

.15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(2017·杭州二中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x －a ，x ≤0，

2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数

f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，－1]

C ．[－1,0)

D ．(0,1]

D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝1

2.