第四章 一阶逻辑

定义4.8
设A为一公式，若A在任何解释下均为真，
则称A为永真式。若A在任何解释下均为 假则称A为矛盾式。若至少存在一个解释 使A为真则称A是可满足式。
判断公式的类型
判断下列公式的类型 （1）xF(x)xF(x) （2）xyF(x，y)xyF(x，y) （3）x(F(x)G(x))yG(y)
（1）原子公式是合式公式； （2）若A是合式公式，则（﹁A）也是合式公
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式； （3）若A，B是合式公式，则（A∧B）、 （A∨B）、（A→B）、（A↔B）是合式公式； （4）若A是合式公式，则x A、 x A是合式 公式； （5）只有有限次地应用（1）~（4）构成的符 号串才是合式公式。
自由变元的代入规则是：
（1）对于谓词公式中的自由变元，可以
代入，此时需要对公式中出现该自由变元 的每一处进行代入。 （2）用以代入的变元与原公式中所有变 元的名称都不能相同。
定义4.6
设A是任意的公式，若A中不含自由出现
的个体变项，则称A为封闭的公式，简称 闭式。
定义4.4 谓词演算的合式公式定义如下：
小结
个体词：指研究对象中可以独立存在的具
体的或抽象的客体。 谓词 用来刻划个体词性质及个体词之间 相互关系的词。 量词：表示个体常项或变项之间数量关系 的词。
例4.4 将下列命题符号化，并讨论它们的
真值. (1)所有的人都长着黑头发。 (2)有的人登上过月球。 (3)没有人登上过木星。 (4)在美国留学的学生未必是亚洲人。
为假？哪些公式真值不能确定？
解释
（1）F(f(x,y),g(x,y)) （2）F(f(x,a),y)F(g(x,y),z) （3）F(g(x,y),g(y,z)) （4） xF(g(x,y),z) （5） xF(g(x,a),x)F(x,y) （6） xF(g(x,a),x)
定义4.5
在公式xA和xA中，称x为指导变元， A为相应量词辖域。在xA和xA的辖域 中， x的所有出现都称为约束出现，A中 不是约束出现的其它变项均称为自由出现
例4.6指出下列公式中的指导变元，各量
词的辖域，自由出现和約束出现的个体变 项： （1）x(F(x,y) G(x,z)) （2） x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))
凡是偶数都能被2整除。
6是偶数。
所以，6能被2整除。
第四章 一阶逻辑基本概念
一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及解释
(1) 1/3是无理数。 (2)x是有理数。 (3)小王与小李同岁。 (4)x与y具有关系L.
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词
符号化，并讨论它们的真值:
(1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
例4.2 在个体域分别为(a),(b)条件时，将
下列命题符号化 (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 （a）个体域D1为人类集合 （b）个体域D2为全总个体域
例4.3 在个体域限制为(a),(b)条件时，将
下列命题符号化 （1）对于任意的x,均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在x，使得x+5=3 其中:(a)个体域D1=N（N为自然数集合） (b)个体域D2 =R(R为实数集合）
离散数学的应用问题
要求信号指示灯在两人或两人以上按下表 决开关表示同意时亮，否则不亮。
设计一个为三人小组进行秘密表决的电路，
这是著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一
个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助 他经商。有两个人前来应聘，这个商人为了试 一试哪一个聪明些，就把两个人带进一间漆黑 的屋子里。他打开电灯，并告诉他们：“这张 桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑 色的。现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位 置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在 头上，在我开灯后，请你们尽快地说出自己头 上戴的帽子是什么颜色的。”说完之后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头 上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接 着把电灯打开。这时，那两个应试者看到商人 头上戴的是一顶红帽子。过了一会儿，其中一 个人便喊道：“我戴的是黑帽子。”
例4.5将下列命题符号化 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的二只兔子。
注意
分析命题中表示性质和关系的谓词，分别
符号化为一元和n元谓词。 根据命题的实际意义选用全称量词或存在 量词。 一般说来，多个量词出现时，他们的顺序 不能随意调换。 有些命题的符号化形式不仅一种。
一阶逻辑公式的解释
一阶逻辑公式的一个解释I，是由非空区域D
和对G中常项符号、函数符号、谓词符号以 下列规则进行的一组指定组成： （1）对每一个常项符号指定D中一个元素。 （2）对每一个n元函数符号，指定一个函数 （3）对每一个n元谓词符号，指定一个谓词
给定解释I如下 个体域D=N a=0 f(x,y)=x+y,g(x,y)=x•y F(x,y)为x=y 在I下，下列哪些公式为真？哪些公式