有限维向量空间

《有限维向量空间》读书报告

1 线性变换

定义：域F上的向量空间A称为线性变换，若A（αx＋βy）=αAx+βAy。

我们再一次较之线性泛函发现更具普遍意义的定义，并把他们命名为线性变换。我们发现A0=0.由于这个原因，变换有时候也被称为齐次线性变换。

在讨论线性变换的性质之，我们给出一些例子，如：

①0,1是线性变换

A=0 A x=0,对任意的x∈V A=1 Ax=A，对任意的x∈V

②任意的x∈V ,任意的y∈V’。记Ax=y。（x）x。。

A(α1,x1+α2x2)=y。(α1x1+α2x2)x。=y。(α1x1)x.+y。(α2x2)x。

=α1A（X1）X。+α2A（X2）X。

③若π是复系数的多项式，X是D中的向量。记A(x)=Y。由Y(t)=X(π(t))

A(αx)=αX（πt）=αA(x)

A(x1+x2)=A(x1)+A(x2)

2 向量变化

定理：对向量组的线性转换空间本身就是一个向量空间

S=A+B Sx=Ax+Bx

最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。

郭怡

2013级数学实验班

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