有限维向量空间
有限空间的标准
有限空间的标准
有限空间是指空间中的元素数量是有限的，例如有限集合、有限维向量空间等。
在研究有限空间时，我们需要定义一些标准来衡量它们的性质和特征。
首先，我们定义有限空间的维度。
对于有限维向量空间，它的维度是指它的基向量的数量。
对于有限集合，它的维度是指集合中元素的数量。
其次，我们定义有限空间的度量。
度量是一种衡量空间中元素之间距离的方式。
对于有限向量空间，通常采用欧几里得距离作为度量。
对于有限集合，可以定义哈密顿距离或曼哈顿距离等度量方式。
最后，我们定义有限空间的均匀性。
均匀性是指空间中元素的分布是否均匀。
对于有限集合，可以通过计算每个元素在集合中出现的次数来评估它的均匀性。
对于有限向量空间，可以通过计算每个向量的长度和方向来评估它的均匀性。
在研究有限空间时，我们需要根据具体的应用场景选择合适的度量和均匀性标准。
这些标准可以帮助我们更好地理解和分析有限空间的性质和特征。
- 1 -。
维向量空间讲解
§3-2 n 维向量空间定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组 ),,,(21n a a a 其中i a 称为向量(1)的分量.用小写希腊字母 ,,,γβα来代表向量.定义 3 如果n 维向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα的对应分量都相等，即),,2,1(n i b a i i ==.就称这两个向量是相等的，记作βα=.n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.定义4 向量),,,(2211n n b a b a b a +++= γ称为向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα的和，记为βαγ+= 由定义立即推出：交换律： αββα+=+. (2) 结合律： γβαγβα++=++)()(. (3) 定义 5 分量全为零的向量)0,,0,0( 称为零向量，记为0;向量),,,(21n a a a --- 称为向量),,,(21n a a a =α的负向量，记为α-.显然对于所有的α，都有αα=+0.(4) 0)(=-+αα. (5)(2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.定义6 )(βαβα-+=-定义7 设k 为数域P 中的数，向量),,,(21n ka ka ka称为向量),,,(21n a a a =α与数k 的数量乘积，记为αk由定义立即推出：βαβαk k k +=+)(, αααl k l k +=+)(, αα)()(kl l k =, αα=1.以上四式是关于数量乘法的四条基本运算规则.由此及定义不难推出：00=α, αα-=-)1(, 00=k . 如果0,0≠≠αk ，那么 0≠αk . 定义8 以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n 维向量空间.在3=n 时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域P 上全体n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P 上n 维向量空间.向量通常是写成一行： ),,,(21n a a a =α.有时也可以写成一列： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α.为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。
有限维向量空间中向量的线性相关的判别法
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二 有 限 维 向 最空 间中 向 t 组 的 线性关 系 的 判 别 法
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向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
第六章向量空间
第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础. 二 教学目的使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力. 三 重点、难点教材重点：向量空间的定义、性质 教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来. 二 内容和要求1．内容：定义、例子及简单性质2．要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法. 三 教学过程1． 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2． 定义及例子定义 1 令F 是一个数域,F 中的元素用小写拉丁字母 ,,b a 表示；令V 是一个非空集合,V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα表示.我们把V 中的元素叫做向量,F 中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称V 是F 上的一个向量空间.1）在V 中定义了一个叫加法,对V 中任意两个向量βα,都有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,记为βα+.2）有一个纯量乘法,对于F 中的每一个数a 和V 中每一个向量α,有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做a 与α的积,记为αa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：F b a V ∈∈∀,;,,γβα有 （1）αββα+=+； （2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中存在一个向量叫零向量,积作ο；它满足对V ∈∀α 有ααο=+； （4）对V ∈∀α,V ∈'∃α使得οαα=+'；这样的α'叫做α的负向量；（负向量的定义） （5）βαβαa a a +=+)(； （6）αααb a b a +=+)(； （7）)()(ααb a ab =； （8）αα=1. 3． 向量空间的简单性质1）由于向量的加法满足结合律,所以任意n 个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式；再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2）命题6.1.1（零向量、负向量的唯一性）在一个向量空间V 中,零向量是唯一的；对V ∈∀α,α的负向量是由α唯一确定的.（同一法,略） 3）命题6.1.2 对V ∈∀α,F a ∈∀有οα=0,οο=a ； αααa a a -=-=-)()(； 0=⇒=a a οα或οα=.4． 介绍一种写法-——（向量矩阵的记法）设V n ∈ααα,,,21 ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的n ⨯1矩阵（n ααα,,,21 ）,设)()(F M a A m n m n ij ⨯⨯∈=；定义（n ααα,,,21 ）),,,(21m A βββ =,其中)1(,1m j a ni i ij j ≤≤=∑=αβ.即按照数域F 上矩阵的乘法定义（n ααα,,,21 ）右乘以A （这里约定对V ∈∀α,F a ∈∀有a a αα=）.并且设)(F M A m n ⨯∈,)(F M B P m ⨯∈,由向量与纯量乘法所满足的算律有：（n ααα,,,21 ）B A AB n )),,,(()(21ααα = ,即结合律成立.6.2 子空间一 教学思考1．向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身（基、维数等）或其子结构（子空间）来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念（子空间）和结论在理论上与方法上是重要的.2．由于本章与以后内容的（抽象）特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3．内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算. 二 内容要求1．内容：子空间的定义、子空间的交与和.2．要求：理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三 教学过程1．子空间的概念及判定 （1）定义定义1 设V 是数域F 上的向量空间,W 是V 的非空子集,若对V ∈∀βα,都有W ∈+βα,则称W 对V 的加法封闭.若对F a V ∈∀∈∀,α都有W a ∈α,则称W 对纯量乘法封闭.定义2 令W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则称W 是V 的一个子空间.TH6.2.1设W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则W 本身也作成F 上一个向量空间.（2）子空间的判定TH6.2.2向量空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间的充要条件是对W F b a ∈∀∈∀βα,,,都有W b a ∈+βα.2．子空间的交与和定义3 设21,W W 都是V 的子空间,则21W W 称为两个子空间的交. 命题 21W W 也是V 的子空间.定义 4 设21,W W 都是V 的子空间,由所有能表示为),(221121W W ∈∈+αααα的向量组成的集合成为1W 与2W 的和,记为21W W +；即21W W +={}221121,|W W ∈∈+αααα. 命题 21W W +也是V 的子空间.6.3 向量的线性相关性一 教学思考1．向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2．本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断. 二 内容要求内容：向量的线性相关性定义、性质；替换定理；极大无关组.要求：正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法. 三．教学过程1．线性相关与线性无关（1）线性组合、线性表示及其性质定义 1 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,r a a a ,,,21 是数域F 中任意r 个数,我们把和r r a a a ααα ++2211叫做向量r ααα,,,21 的一个线性组合.定义 2 若V 中向量α可以表示成r ααα,,,21 的线性组合,即∃F a a a r ∈,,,21 使得r r a a a αααα ++=2211,则称α可以由r ααα,,,21 线性表示.（例略）性质 命题6.3.1向量组r ααα,,,21 中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2若向量γ可以由r βββ,,,21 线性表示,而每个i β可由s ααα,,,21 线性表示,则γ可以由s ααα,,,21 线性表示.（2）线性相关、线性无关及有关性质定义3 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,若存在数域F 中r 个不全为0的数ra a a ,,,21 使得οααα=++r r a a a 2211,则称r ααα,,,21 线性相关,否则称r ααα,,,21 线性无关. 例1 若r ααα,,,21 中有一个零向量,则r ααα,,,21 一定线性相关. 例2 判断3F 中向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα是否线性相关 例3 在][x F 中对任意非负整数n ,证明nx x x ,,,,12线性无关.（解略）性质命题 6.3.3 若向量组{r ααα,,,21 }线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关；等价地：若{r ααα,,,21 }有一部分组线性相关,则整个向量组{r ααα,,,21 }也线性相关.（证略）命题 6.3.4 设{r ααα,,,21 }线性无关,而{βααα,,,,21r }线性相关,则β一定可以由r ααα,,,21 线性表示,且表示法唯一.命题6.3.5 向量r ααα,,,21 （2≥r ）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.（证略）2．向量组的等价、替换定理定义 4 设{}r ααα,,,21 和{}s βββ,,,21 是V 中的两个向量组,若每个),2,1(r i i =α都可以由s βββ,,,21 线性表示,而每个),2,1(s j j =β也可以由r ααα,,,21 线性表示,则称这两个向量组等价.定理6.3.6（替换定理）设向量组{}r ααα,,,21 （1）线性无关,且每个),2,1(r i i =α都可以由{}s βββ,,,21 （2）线性表示.则A ）s r ≤；B ）必要时对（2）中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后得向量组{}s r r ββααα,,,,,,121 +（3）与（2）等价.推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 3．极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义 5 向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{}n ααα,,,21 的一个部分组（n r ≤）,若满足：1）ri i i ααα,,,21线性无关；2）每个),,1(n j j =α都可由ri i i ααα,,,21线性表示.则称rii i ααα,,,21是向量组{}n ααα,,,21 的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）. 极大无关组的求法：1）一般方法——设给定{}n ααα,,,21 ,求其一个极大无关组.先从1α考虑,若οα≠1,保留；考虑21,αα看其是否线性无关.无关,保留；相关舍去2α,考虑31,αα看其是否线性无关.依次类推直至n α,便得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4 求向量组{}32,2,,12+++x x x x 的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法——对n F 中向量组{}n ααα,,,21 ,求极大无关组. 首先：可以证明“命题”：“设)(F M m n ⨯的矩阵A 经过行的初等变换得到)(F M m n ⨯的矩阵B ,则A 与B 的列向量有相同的线性关系.”（证略）这样可得：A ）求nm F ∈ααα,,,21 的线性关系,可以以m ααα,,,21 列作矩阵A ,通过对A 作行初等变换化为标准形B ,由B 的列向量的线性关系可得A 的列向量的线性关系.进而B ）用上述方法可求n F 中向量组{}n ααα,,,21 的极大无关组. 例5 求3R 中向量组)6,1,5(),4,0,3(),3,1,2(),1,2,1(4321====αααα的一个极大无关组. 解：以4321,,,αααα为列作矩阵B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010101001643110125321.设B 的列向量为4321,,,ββββ,这样4321,,,αααα与4321,,,ββββ有相同的线性关系.容易看出321,,βββ线性无关,且=4β3212βββ+-；因此321,,ααα线性无关且=4α3212ααα+-.于是321,,ααα是4321,,,αααα的一个极大无关组.6.4 基与维数一 教学思考1．向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2．从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3．从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维数n 求基的话,即求一组n 个线性无关的向量.4．本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5．基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳. 二 内容要求内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求：正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法. 三 教学过程1．引言我们知道当{}ο≠V 时,V 有无穷多向量,那么它们之间的结构如何？具体地,我们能否用V 中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2．一类特殊子空间——由一组向量生成的子空间定义1设V r ∈ααα,,,21 ,那么由r ααα,,,21 的线性组合组成的集合{}F a a a a W i r r ∈+++=|2211ααα 称为由这一组向量r ααα,,,21 生成的子空间.记为L （r ααα,,,21 ）,其中r ααα,,,21 叫做生成元.例1 n F 中)1,,0,0(,),0,,,0,1(1 ==n εε,则nn F L =),,(1εε . 例2 ][x F 中n n x x ===+121,,,1ααα ,则][),,,1(x F x x L n n= .关于生成子空间有：定理 6.4.1设V n ∈ααα,,,21 ,且不全为零向量,r i i i ααα,,,21 为其一个极大无关组,则L （n ααα,,,21 ）=L （r i i i ααα,,,21 ）.3．基与维数1）定义2 设V n ∈ααα,,,21 ,若1）n ααα,,,21 线性无关；2）V ∈∀α都可由n ααα,,,21 线性表示.则称n ααα,,,21 为V 的一个基.定义 3 一个向量空间V 的一个基所含向量的个数叫做V 的维数；记为V dim .规定零空间的维数为0.2）定理定理6.4.2（基的作用）设n ααα,,,21 为V 的一个基,则V ∈∀α都可唯一地由n ααα,,,21 线性表示.定理6.4.3n 维向量空间V 任意多于n 个向量的向量组一定线性相关.定理 6.4.4设n V =dim ,V r ∈ααα,,,21 线性无关（易知n r ≤）,则总可以添加r n -个向量n r r ααα,,,21 ++,使得n ααα,,,21 作为V 的一个基.特别V 的任意n 个线性无关向量都可以取作基.例3 将)1,2,3,1(),1,0,2,1(21-==αα扩充为4R 的一个基.解：（法一）思想方法：由定理的证明过程,取4R 的一个基（如标准基4321,,,εεεε）,然后用21,αα代替其中某两个如21,εε,使得21,αα,43,εε线性无关；而代替哪两个,可用逐步添加法使添在21,αα上后线性无关.（法二）思想方法：可以从21,αα出发,利用21,αα为列再添上两个作成一个4阶方阵A ,使得0≠A ,如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011012000320011,取)1,0,0,0(),0,1,0,0(23==αα,则4321,,,αααα为4R 的一个基. 定理6.4.5设21,W W 是F 上向量空间V 的两个有限维子空间,则21W W +也是V 的一个有限维子空间,且：)dim (dim dim )dim (212121W W W W W W ⋂-+=+.推论 对n 维向量空间V 的子空间21,W W 有：}{dim dim dim 2121ο=⋂⇔=+W W V W W .4．余子空间（1） 定义：设W 是V 的子空间,若存在V 的子空间W '满足：1）V W W ='+,2）){ο='⋂W W ；则称W '是W 的一个余子空间,且称V 是W 与W '的直和,记为W W V '⊕=. （2）定理定理 6.4.6设W W V '⊕=,则对V ∈∀α有α可以唯一地表示成ββα'+=,其中W W '∈'∈ββ,.定理 6.4.7n 维向量空间V 的任一子空间W 都有余子空间.若W '是W 的一个余子空间,则V W W dim dim dim ='+.（3）上述概念及结论可扩充至有限设t W W W ,,,21 是V 的子空间,若1）t W W V ++= 1；2）{}),,2,1(,)(111t i W W W W W t i i i ==+++++⋂+-ο,则称V 是t W W W ,,,21 的直和,记为t W W V ⊕⊕= 1.且有类似于定理6、7的结论.6.5 坐标一 教学思考1．对n 维向量空间V 取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式（nF中的向量）表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立n V 与nF 的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2．注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立n V 与nF 的同构的基础.3．具体方法有：1）坐标的求法（定义法、坐标变换法）；2）过渡矩阵的求法；3）过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义. 二 内容要求1． 内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2． 要求：掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质. 三 教学过程（一） 坐标的概念1．定义 设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,对V ∈∀ξ有n n a a ααξ++= 11,则称n 元有序数组),,(1n a a 为向量ξ关于基{}n αα,,1 的坐标；其中i a 叫做向量ξ关于基{}n αα,,1 的第i 个坐标.2．定理6.5.1设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,V ∈ηξ,关于此基的坐标分别为),,(1n x x 和),,(1n y y ,则ξηξk ,+关于此基的坐标分别为: ),,(11n n y x y x ++ ,),,(1n ax ax .（二）坐标变换 1．基变换设,dim n V ={}n αα,,1 和{}n ββ,,1 是V 的两个基,则每个j β),,2,1(n j =可由{}n αα,,1 线性表示,设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nn n n nn nn a a a a a a ααβααβααβ1112112211111 （1）,以j β关于基{}n αα,,1 的坐标为列构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211称为由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵. （1）式可以写成矩阵等式),,(1n ββ =T n ),,(1αα （2）；称（1）或（2）为（由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的）基变换. 设V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标为),,(1n x x ,关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y ,则一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x 11),,(αα （3）；另一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y 11),,(ββ （4）；（2）代入（4）得=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y T 11)),,((αα=))(,,(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y T αα （5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1 （6）；于是得 定理 6.5.2设,dim n V =T 由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵,则V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标与关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y 由等式（6）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1联系着.3．过渡矩阵的性质 （1）基变换的传递性设,dim n V ={}n αα,,1 、{}n ββ,,1 、{}n γγ,,1 都是V 的基,且由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,基{}n ββ,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为B ,即),,(1n ββ =A n ),,(1αα 、),,(1n γγ =),,(1n ββ B ,则),,(1n γγ =A n ),,(1αα B ,即由基{}n αα,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为AB .（2）定理6.5.3设,dim n V =由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,那么A 是一个可逆矩阵.反过来,任意一个n 阶可逆矩阵A 都可以作为n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,则由基{}n ββ,,1 到基{}n αα,,1 的过渡矩阵为1-A .6.6 向量空间的同构一 教学思考1．向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2．“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F 上有限维向量空间的唯一本质特征.3．注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定. 二 内容要求1、内容：同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定. 三 教学过程1．同构的概念和性质 （1）概念1）同构映射 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射； 若A ）f 是V 到W 的一个双射；B ）对)()()(,ηξηξηξf f f V +=+⇒∈∀；C ）对)()(,,ξξξaf a f V F a =∈∀∈∀.（2）定理6.6.1数域F 上任一n 维向量空间V 都与nF 同构. （3）性质 1）同构映射的性质定理6.6.2设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射,则: A);)(οο=f B)对ααα-=-∈∀)(,f V ;C))()()(1111n n n n f a f a a a f αααα++=++ ,其中V F a i i ∈∈α,; D))(,,1V n ∈αα 线性相关))((,),(1W f f n ∈⇔αα 线性相关; E) f 的逆映射1-f是W 到V 的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系）A ） 反身性：V V ≅；B ） B ）对称性：若W V ≅,则V W ≅；C) 传递性：若W V ≅,U W ≅,则U V ≅.（由双射性质及定义易证） 2．有限维向量空间同构的充要条件定理6.6.3数域F 上两个有限维维向量空间V 和W 有：W V ≅W V dim dim =⇔.6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考1．矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2．注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成nF 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3．注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系. 二 内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法. 三 教学过程1．矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作nF 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的nF 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间.类似地,A 的每一列看作mF 的一个元素,叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的mF 的子空间叫做矩阵A 的列空间.引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1）若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间.定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义 矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数,叫做矩阵A 的秩.2．线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组,令A 为其系数矩阵,则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量,叫做（3）的一个解向量.令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο,所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ,有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(,即S b a ∈+ηξ.因此S 作成nF 的一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间.重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <,则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r r C I ,,,οο,与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ,这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号.（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +,依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ,可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη.下面证其是（5）的解空间的一个基. 首先：n r ηη,,1 +线性无关.事实上设οηη=++++n n r r k k 11,由下面r n -个分量易得01===+n r k k .其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解,代入（5）得：n rn r rr r nn r r nn r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式：nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111,即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示,故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基.注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解,所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基,从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量的次序便得.上述讨论得：定理 6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间,称之为这个线性方程组的解空间.若所给方程组的系数矩阵的秩为r ,则解空间的维数为r n -.定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3）非齐次线性方程组的解的结构 设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组.问题当（6）有无穷解时,解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7）,齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组.定理6.7.4若（6）有解,则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和.。
向量基本定理公式
向量基本定理公式
向量基本定理是指任意向量空间V中的任意一组基所组成的行列式的值都相等。
具体地，设V是一个n维向量空间，B={b1,b2,...,bn}是V的一组基，那么对于V中任意一组向量v1,v2,...,vn，它们可以唯一地表示为：
v1 = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
v2 = b1b1 + b2b2 + ... + bnb n
其中a1,a2,...,an是标量。
则有：
det(B) * [v1, v2, ..., vn] = [a1, a2, ..., an]
其中det(B)表示B的行列式，[a1, a2, ..., an]表示由向量a1,a2,...,an构成的行列式，[v1, v2, ..., vn]表示由向量v1,v2,...,vn构成的行列式。
这个公式的意义在于，如果我们知道了一个向量空间的一组基，那么就可以通过计算任意一组向量的行列式值来判断它们是否线性无关。
如果它们线性无关，那么它们就可以作为这个向量空间的一组基。
另外，这个公式也可以用来计算向量空间的体积或面积等几何量。
需要注意的是，这个公式只适用于有限维向量空间，对于无限维向量空间没有意
义。
另外，当一个向量空间的基不唯一时，它们所组成的行列式值可能不同。
矩阵的TR迹及其相关性质
矩阵的TR迹及其相关性质相关概念：(1)设有N阶A，那么矩阵A的迹（⽤表⽰）就等于A的的总和，也即矩阵A的主对⾓线元素的总和。
1.迹是所有对⾓元的和2.迹是所有的和3.某些时候也利⽤tr(AB)=tr(BA)来求迹4.trace（mA+nB）=m trace（A）+n trace（B）(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）⾮常有⽤，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对⾓阵与增⼴⾏或列组成），满⾜A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，⽽B是A的。
AA'的组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。
因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了⼀些关于A的信息，例如⾮零奇异值的数⽬（B的）和A的阶数相同，⼀旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
(3)在中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及，零奇异值通常显⽰为很⼩的数⽬。
在中，n乘n“A”的迹，是指“A”的各元素的总和（从左上⽅⾄右下⽅的对⾓线），例如：tr(A) = A1,1 + A2,2 + ... + A n,n其中 Aij 代表在 i ⾏ j 栏中的数值。
同样的，元素的迹是其的总和，使其不变量根据选择的基本准则⽽定。
迹的为“trace”，是来⾃中的“Spur”这个单字（与英⽂中的“Spoor”是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”。
性质迹是⼀种。
亦即，对于任两个⽅阵A、B和r，会有下列关系：tr(A + B) = tr(A) + tr(B)tr(rA) = r tr(A)因为主对⾓线不会在中被换掉，所以所有的矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹：tr(A) = tr(A T)设A是⼀个n×m矩阵，B是个m×n矩阵，则：tr(AB) = tr(BA)其中AB是n×n矩阵，⽽BA是m×m矩阵。
第三讲 有限维空间的特性 凸性及Brouwer和Schauder不动点定理
定理 3（到有限维子空间的最佳逼近投影）设 是 空间， 是 的
有限维子空间，则
，存在
，使得
。
若 严格凸，则
是唯一的。
称
为 在 Y 上的最佳逼近投影。
证明：取极小化序列
，
，证明
有界， 是有限维的，从而可以取出收敛子列。
定理 4 若 空间的有界集列紧，则该空间是有限维的。
证明：用定理 3 反证。
定理 5（F.Riesz 引在
，使得
。若 严格凸，则
是唯一的。
证明，直接用下确界的定义。
Problem 1 利用现有概念研究例 1‐例 8 的空间 Exe P39 ，2，3，4，6，11，12，17
5 凸集与不动点
凸的几何概念
凸集，凸包，闭凸集，闭凸包，吸收凸集，对称凸集，平衡凸集，半
连续
，则称
在
下半连续，若 在 的每一点都下半连续，则称 在 中下半
（1）
且是次线性的，即
凸，则
（2） 吸收 （3） 对称（平衡） （4） 是 空间， 闭
是半范数。 下半连续； 有界
则；
，则 吸收且 一致连续；
且 有界对称（平衡），
则 是与 等价的范数。
推论 若 是 的紧凸子集，则必存在正整数
使得 同胚于
的单位球。
证明 (1) 取 是包含 的最小线性流行，设其维数为
。
证明 由 列紧知道
， 有 ‐网 ，由 凸知道
含
于 ，做
，使
有不动点 ，且 收敛到 的不动点。
推论 1 设 是 空间 中的紧凸集，
连续，则 必有一个
不动点
。
紧映射： 空间 中的子集 上的映射
连续且映有界集为
有限维线性空间的基
必i存i在1 中V 中任一何个n个无向穷量的都向是量V序的列一组i基i.1使得
证明：采用构造法. 取n维线性空间的一组基
1 1,0,,0,2 0,1,0,,0,,n 0,,0,1
（2）Pmn A aij aij P,i 1,2,L ,m; j 1,2,L ,n
Eij ,i 1,2,L ,m; j 1,2,L ,n
（3） Pn (a1,a2,L ,an ) ai P
i (0,L ,0,1,0,L ,0), i 1,2,L , n
一、数域 P 上有限维线性空间Vn(P)的三要素： 1．基 2．维数 3．坐标
维数是 Vn(P)的唯一的本质特征，在同构意义下 Vn(P) 的研究可归结为 Pn 的讨论。
基一般是不唯一的，在线性运算下，对具体的 线性空间 Vn(P) 来说，可由一组基来把握。
正如[1，P171]所说：“给定有限维的向量空间， 要求其维数，首先要抓‘基’”。
（3） V (P)都可经 1,2,L ,n唯一地线性表示； （4）V (P) L1,2,L ,n ，且(V (P))
经1,2,L ,n线性表示的表法唯一； （5）dimV (P) n ，且1,2,L ,n 线性无关； （6）dimV (P) n 且V (P) L1,2,L ,n ;
取另一向量 n1 1 L n ,
则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维 线性空间的一组基.
同样，依次取向量 n2 , n3 , 使得
nm m1 m2 L nm
这样得到一个无穷的向量序列
i
i 1
向量空间的基
向量空间的基在实际问题中有着广泛的应用，例如在机器学习、图像处理、信 号处理等领域中，经常需要用到向量空间的基来表示和处理数据。
报告范围
向量空间基的定义和性质
报告将首先给出向量空间基的定义，并探讨基的一些基本 性质，例如线性无关性、生成性等。
向量空间基的求解方法
报告将介绍如何求解一个向量空间的基，包括通过高斯消 元法、施密特正交化等方法来求解基。
03
基的定义
线性无关性
基向量组中的向量线性无关，即 不存在不全为零的标量使得基向 量的线性组合为零向量。
生成空间
基向量组能够生成整个向量空间 ，即空间中的任意向量都可以表 示为基向量的线性组合。
基的性质
唯一性
对于给定的向量空间，其基不是 唯一的，但不同的基所含向量的
个数相同，称为空间的维数。
线性表示
对未来研究的展望
高维向量空间的基
随着数据维度的增加，如何有效地构造和处理高维向量空间的基是一个值得研究的问题。
非线性基函数
目前对基的研究主要集中在线性空间，如何扩展到非线性空间，构造非线性基函数是一 个具有挑战性的研究方向。
基与深度学习结合
深度学习中的神经网络可以看作是一种特殊的基函数，研究如何将传统的基理论与深度 学习相结合，提高模型的性能和可解释性，是一个有意义的研究课题。
空间中的任意向量都可以唯一地 表示为基向量的线性组合。
坐标表示
若选定一组基，则空间中的每个 向量都可以对应一个坐标向量， 使得该向量可以表示为基向量的 线性组合，且组合系数即为坐标
向量的分量。
基的判定方法
观察法
通过观察向量组是否线性无关且能生成整个空间来判断是否为基。
判定定理
数学上线的分类
数学上线的分类数学，作为研究数量、结构、空间以及变化等概念的抽象科学，其中“线”的概念具有基础而深远的意义。
在不同的数学分支和理论体系中，线呈现出多样化的形态和属性，从而衍生出丰富的分类。
本文旨在深入探讨数学中线的不同分类，并分析其各自的特性和应用。
一、几何学中的线分类在几何学中，线是最基本的元素之一，其分类主要依据线的形态和性质。
1. 直线：直线是几何学中最为基础和常见的线，它在平面或空间中无限延伸，没有端点。
直线的基本性质包括两点确定一条直线、直线上的任意两点间线段最短等。
2. 射线：射线是直线上一点和它一侧的所有点的集合，有一个固定端点和一个延伸方向。
射线常用于表示光线、物体运动轨迹等。
3. 线段：线段是直线上两点间的所有点的集合，有两个端点。
线段具有长度、中点等性质，是几何学中研究距离、长度等概念的基础。
4. 曲线：与直线不同，曲线在平面或空间中呈现出弯曲的形态。
曲线可以分为简单曲线和复杂曲线，其中简单曲线不与自己相交，而复杂曲线可能存在自交现象。
曲线在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如描述物体的运动轨迹、分析函数的图像等。
二、线性代数中的线分类在线性代数中，线主要指向量空间中的元素，其分类依据向量的性质和运算规则。
1. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以表示空间中的一个点或一个位移。
向量空间是由向量构成的集合，满足一定的运算规则。
在向量空间中，线可以表示为向量的线性组合，即一组向量的加权和。
2. 线性相关与线性无关：在向量空间中，一组向量如果其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示，则称这组向量线性相关；否则称为线性无关。
线性相关和线性无关的概念在解决线性方程组、矩阵的秩等问题中具有重要意义。
3. 基与维数：向量空间的基是一组线性无关的向量，可以生成整个向量空间。
向量空间的维数是其基中所含向量的个数。
在有限维向量空间中，任意一组线性无关的向量都可以扩充为基，而任意一组生成向量空间的向量组都可以缩减为基。
李代数与有限w代数的whittaker型表示和有限维表示
李代数与有限w代数的whittaker型表示和有限维表示李代数与有限维代数的Whittaker型表示和有限维表示一、介绍在数学和物理学中，李代数和有限维代数是重要的研究对象。
李代数是一种重要的数学结构，它在表示论和群论中有着广泛的应用。
有限维代数是指维数有限的代数结构，它们在表示论和代数几何中也起着关键的作用。
本文将从Whittaker型表示和有限维表示的角度，探讨李代数和有限维代数的一些重要性质和应用。
二、Whittaker型表示1. Whittaker函数及其性质Whittaker函数是一类特殊的特殊函数，它在数学分析和数学物理中有着重要的应用。
Whittaker函数具有一些独特的性质，如对称性、变换性等，这使得它在表示论中具有重要的地位。
2. Whittaker型表示的定义Whittaker型表示是指一类特殊的表示，它与Whittaker函数密切相关。
在李代数和有限维代数的研究中，Whittaker型表示是一种重要的表示形式，它可以帮助我们理解代数结构的性质和表示的结构。
3. Whittaker型表示的性质与应用Whittaker型表示具有一些特殊的性质，如对称性、变换性等。
这些性质使得Whittaker型表示在数学物理中有着广泛的应用，特别是在量子场论和弦论中具有重要的地位。
三、有限维表示1. 有限维表示的概念与性质有限维表示是指李代数或有限维代数在有限维向量空间上的表示形式。
有限维表示具有一些重要的性质，如可约表示和不可约表示等，这些性质对于理解代数结构和物理现象具有重要的意义。
2. 有限维表示的分类与结构有限维表示可以根据其结构和性质进行分类，如可约表示和不可约表示、完全可约表示和非完全可约表示等。
这些分类对于代数结构和表示论的研究具有重要的指导意义，也对物理学中的对称性和守恒量有着重要的应用。
3. 有限维表示在物理学中的应用有限维表示在量子力学、粒子物理学和场论中有着广泛的应用。
在量子力学中，对称性和守恒量的研究往往涉及到有限维表示的理论，而在场论中，对称性和规范场的研究也离不开有限维表示的应用。
有限维向量空间同构的充要条件
有限维向量空间同构的充要条件在线性代数中，向量空间是研究向量及其线性组合和运算的一种数学结构。
而向量空间的同构是指两个向量空间之间存在一种一一对应关系，使得这两个向量空间之间的线性结构保持不变。
本文将探讨有限维向量空间同构的充要条件，并给出相应的解释和例子。
一、有限维向量空间的定义一个向量空间是由一组向量组成的集合，这些向量可以进行线性组合和数乘运算。
具体地说，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 向量的加法运算满足结合律和交换律；2. 存在一个零向量，使得任何向量与零向量相加得到其本身；3. 对于每个向量，都存在一个负向量，使得它们的和为零向量；4. 向量的数乘运算满足结合律和分配律；5. 向量的加法和数乘运算都封闭在向量空间内。
二、有限维向量空间的维数有限维向量空间的维数是指该向量空间的基的个数。
基是指一个向量空间中的一组线性无关的向量，通过线性组合可以表示该向量空间中的任意向量。
具体地说，如果一个有限维向量空间的维数为n，那么它的任意一组基就包含n个向量。
三、有限维向量空间同构的充要条件两个有限维向量空间之间的同构是指它们之间存在一个一一对应的线性映射，使得这个映射既是线性的又是双射的。
同构的充要条件如下：1. 维数相等：两个向量空间的维数必须相等，即它们的基的个数相同。
2. 向量空间的结构相同：两个向量空间之间的线性运算（加法和数乘）必须保持不变。
3. 存在一一对应的线性映射：存在一个双射的线性映射，将一个向量空间中的任意向量映射到另一个向量空间中，并且这个映射保持向量空间的线性结构。
四、例子及解释下面通过一个例子来说明有限维向量空间同构的充要条件。
例子1：考虑两个二维向量空间V和W，它们的基分别为{(1, 0), (0, 1)}和{(2, 1), (-1, 3)}。
我们想要判断这两个向量空间是否同构。
解释：首先，我们可以看到这两个向量空间的维数都是2，满足维数相等的条件。
其次，我们可以定义一个线性映射f：V → W，将V 中的向量(1, 0)映射到W中的向量(2, 1)，将V中的向量(0, 1)映射到W中的向量(-1, 3)。
极化恒等式
极化恒等式极化恒等式是数学中的一个公式，可以描述内积的性质。
内积是向量空间中的一个重要概念，它可以衡量两个向量之间的相似程度。
在向量空间中，有两个向量a和b，它们的内积表示为<a, b>，由以下三个性质组成：1.对称性：<a, b>=<b, a>2.线性性：<a, λb+μc>=λ<a, b>+μ<a, c>3.正定性：<a, a>>0，且当且仅当a=0时，<a, a>=0其中第二个性质是指内积与标量的乘积与加法有关系。
接下来，我们来介绍极化恒等式，它可以被描述为：对于一个有限维向量空间V和其上的一个内积<a, b>，则<a, b>=1/2(<a+b, a+b>-<a, a>-<b, b>)其中，a和b代表V中的任意两个向量。
这个公式的意义可以这样理解：它是将任意两个向量a和b通过加法和减法转化为四个内积的和和差之和，从而形成了内积的表示。
这是因为内积在向量的加减法中具有一定的对称性，通过这个公式的转化，可以更充分地利用内积的对称性。
接下来，我们将从正式证明和几何意义两个方面阐述极化恒等式的内容。
一、正式证明基于上述定义，我们可以简单地证明极化恒等式。
具体而言，我们需要利用内积的三个性质来证明。
首先，我们可以将<a, b>表示为<a, b>+<b, a>，即<a, b>=1/2(<a, b>+<b, a>)。
然后根据线性性将a+b代入其中，可以得到：<a, b>=1/2(<a+b, a+b>-<a, a>-<b, b>)因此，我们证明了极化恒等式。
二、几何意义极化恒等式的几何意义非常简洁明了，它可以帮助我们更深入地理解内积的性质。
一组有限维向量的极大无关组的求法
一组有限维向量的极大无关组的求法作者：张丽娟来源：《教育教学论坛》2019年第49期摘要：文章利用向量空间之间的同构关系，将求任意数域F上有限维向量空间中一组向量的极大无关组的问题转化为求; 中一组与之对应的向量组的极大无关组的问题.关键词：极大无关组;同构映射;矩阵的秩;向量空间的基中图分类号：0151.21; ; ;文献标志码：A; ; ;文章编号：1674-9324（2019）49-0194-02设为数域F上n维向量空间V中的一组向量，下面将介绍如何求它的一个极大无关组.一、利用同构映射转化问题，并判断向量组的线性关系首先，我们总可以找到V的一个基（此组向量线性无关，且V中每一个向量都可以由这组向量的线性组合唯一的表示），且令其次，由“任一数域F上n維向量空间V都与同构”可知V与之间必存在一个同构映射，我们可以根据上面表示的唯一性，依向量和它关于某个基的坐标构造一个同构映射f，则最后，依据以下定理可将问题转化.定理1 映射f为数域F上n维向量空间V到F 的一个同构映射，则V中的一组向量线性关系与中的一组向量的线性关系一致.定理2 一个矩阵的秩等于其列向量构成向量组的秩.例1 求实数域上3行2列的实矩阵构成向量空间（R）中一组向量由上述说明可知，任意n维向量空间中一组向量的线性关系问题都可以转换成这些向量关于此空间中某个基的对应坐标在中的线性关系，下面将详细讨论中一组向量的极大无关组的求法.二、中一组向量极大无关组的求法当向量组中有零向量时，我们可以先将此向量组中的所有零向量除去，在剩余的由非零向量构成的向量组中求其极大无关组即为所求.所以，不妨设全不是零向量，又由于定理3 设A= 若A可经过矩阵的行初等变换化为B，则B中线性无关当且仅当A中相应的线性无关.从而可将求向量组的极大无关组的问题转化为求以此组向量为列的矩阵的变换问题，且当A交换两列时只需将B的相应列进行交换，所以最终我们只需考虑将A通过行初等变换和第一类列初等变换所得矩阵是r阶的单位矩阵，本文在求任意有限维向量空间中一组向量的极大无关组时，假设这个向量空间的一个基是已知的，才会有上述做法，而任意有限维的向量空间，从理论上而言其基必是存在的，但它的求法因实际情况而定;除此之外当给出的向量是行向量时再对A进行行变换和第一类列变换，也可令进行列初等变换和第一类行变换求解.参考文献：[1]刘仲奎，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：272-284.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]张禾瑞，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社.。
有限维线性空间的基
V （4） ( P ) = L (α1 ,α 2 ,L,α n ) ，且α (∈ V ( P )) ）
线性表示的表法唯一； 经 {α1 ,α 2 ,L,α n }线性表示的表法唯一；
（5）dimV ( P ) = n ，且{α1 ,α 2 ,L,α n } 线性无关； 线性无关； ）
参考文献
[1] 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南 高等代数（上册）， 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数 上册）， 高等代数（ 福建教育出版社， 福建教育出版社，1991，福州 ， [2] 庄瓦金 高等代数教程，国际华文出版社 2002年 高等代数教程， 年 [3] 北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） [4] 白述伟 高等代数选讲，黑龙江教育出版社，1996 高等代数选讲，黑龙江教育出版社， [5] 李师正主编 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 北京, 2004 北京 [6] 南开大学 南开大学2005年硕士研究生入学考试试题 年硕士研究生入学考试试题
有限维线性空间的基
杨忠鹏 晏瑜敏 戴培培 莆田学院数学系
的三要素： 一、数域 P 上有限维线性空间Vn ( P )的三要素： 1．基 ． 2．维数 ． 3．坐标 ． 维数是 Vn ( P )的唯一的本质特征，在同构意义下 的唯一的本质特征，
Vn ( P ) 的研究可归结为 P n 的讨论。 的讨论。
2．常见的线性（子）空间的标准基 ．常见的线性（ （1）Pn [ x ] = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 ai ∈ P ）
向量空间的线性变换理论
向量空间的线性变换理论向量空间的线性变换理论是线性代数的重要分支之一，它研究了向量空间中的线性变换及其性质。
线性变换是一种保持向量加法和标量乘法运算的线性映射，它在许多领域中都有广泛的应用，例如物理学、工程学、计算机科学等。
一、定义与性质在向量空间中，线性变换是指满足两条性质的映射：加法性和齐次性。
具体而言，设V和W是两个向量空间，定义映射T:V->W，若对于任意的向量u和v以及标量k，满足以下两个性质：1. 加法性：T(u+v) = T(u) + T(v)2. 齐次性：T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。
线性变换的定义保证了它对向量的运算具有良好的保持性质。
加法性保证了线性变换对向量的加法运算封闭，齐次性则保证了线性变换对向量的标量乘法运算封闭。
因此，线性变换在向量空间中的运算中起到了重要的作用。
二、矩阵表示线性变换可以通过矩阵来表示，这是线性代数中的一个重要概念。
设V和W是两个有限维向量空间，选择它们的一组基，分别为{v1,v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
对于V中的任意向量u，它可以用基向量的线性组合表示，即u = a1v1 + a2v2 + ... + anvn，其中a1, a2, ..., an为标量。
若线性变换T将V中的向量u映射到W中的向量T(u)，则T(u)可用W的基向量的线性组合表示，即T(u) = b1w1 + b2w2 + ... + bmwm，其中b1, b2, ..., bm为标量。
将上述表示代入线性变换的定义中，我们可以得到一个矩阵关系：设T是一个线性变换，它将向量u = [a1, a2, ..., an]的线性组合映射到向量T(u) = [b1, b2, ..., bm]的线性组合，那么存在一个矩阵A，它的第i列为T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标表示，即[A] = [T(v1), T(v2), ..., T(vn)]。
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《有限维向量空间》读书报告
1 线性变换
定义：域F上的向量空间A称为线性变换，若A（αx＋βy）=αAx+βAy。
我们再一次较之线性泛函发现更具普遍意义的定义，并把他们命名为线性变换。
我们发现A0=0.由于这个原因，变换有时候也被称为齐次线性变换。
在讨论线性变换的性质之，我们给出一些例子，如：
①0,1是线性变换
A=0 A x=0,对任意的x∈V A=1 Ax=A，对任意的x∈V
②任意的x∈V ,任意的y∈V’。
记Ax=y。
（x）x。
A(α1,x1+α2x2)=y。
(α1x1+α2x2)x。
=y。
(α1x1)x.+y。
(α2x2)x。
=α1A（X1）X。
+α2A（X2）X。
③若π是复系数的多项式，X是D中的向量。
记A(x)=Y。
由Y(t)=X(π(t))
A(αx)=αX（πt）=αA(x)
A(x1+x2)=A(x1)+A(x2)
2 向量变化
定理：对向量组的线性转换空间本身就是一个向量空间
S=A+B Sx=Ax+Bx
最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。
如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。
值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。
矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。
在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。
同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。
换一组基，就得到一个不同的矩阵。
所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。
而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。
而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。
线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。
郭怡
2013级数学实验班
105012013077。