凹凸渐近线

则 x2 x0 h, x1 x0 h,
对 f x 在 x0 , x0 h及x0 h, x0 上用拉格朗日中值定理，得
f x0 h f x0 f x0 1hh, 0 1 1; f x0 f x0 h f x0 2hh, 0 2 1.
上面两式相减，得
f x0 h f x0 h 2 f x0 f x0 1h f x0 2hh,
第五节 曲线的凹凸与函数作图
一.曲线的凹凸性及拐点
用描点法作函数的图形，仅知道函数的增减性和极值还是不够的
例如y = f ( x) = x2在[0,1]单调增加，
1
y = g( x) = x 2在[0,1]也是单调增加， 1
y 向上凸 B（1,1）
并 且 它 们 都 通 过O(0,0)点 和B(1,1)点. 怎么画出它们的图形呢？ 曲线的 0
点0,0是y x3的拐点.
若x (a,b)时，f （x） 0，f ( x)在[a,b]上向上凹，f ( x)在[a,b]单增。 若x (a,b)时，f （x） 0，f ( x)在[a,b]上向上凸，f ( x)在[a,b]单减。
若( x0 , f ( x0 ))是 其 拐 点 ， 则x0必 是f ( x)增 减 区 间 的 分 界 的
即定理1的结论可推广
6
3、拐点：一条连续曲线上凸弧和凹弧（或由凹变凸）的分界点。
例3 判 断y x 3的 凹 凸 性.
解 定 义 域 ： ,, 且y 3 x2 , y 6x,
当x 0时，y 0.
x 0 时，y 0,曲线在 ,0上是向上凸的； • x 0 时，y 0,曲线在0， 上是向上凹的.
8
例4 求曲线 y 3 x 的拐点。
解 定义域： ,,
当x0
时，
y'
1 33 x2
, y" 2 9x3 x2
,
当 x 0 时，y'，y" 都不存在 。
所以， y" 在 (,) 不连续且不具有零点。
但 x 0 把 (,) 分成两个部分区间： ,0、 0， .
x (,0), y" 0, 曲线在 ,0 上是向上凹的。
x (0,), y" 0, 曲线在［0， ) 上是向上凸的。
则 (0,0) 点是曲线的拐点。
下面的点可能对应着曲线的拐点：
（1）使y" 0的点;
（2）使y"不存在的点。
9
5、定理 3 设f ( x)在(a, b)内有二阶导数，若x0是(a, b)内一点
（1）当f （x）在x0处左右两则不同号时，点（x0，f ( x0 )） 是y f ( x)的一个拐点。
f x1 x2 2
例1. 判断y ln x的凹凸性.
解
定义域0， , y 1 ,
x
y 1 0. x2
曲 线 是 凸 的.
5
例2 讨 论 曲 线y x4凹 凸 性
解 定 义 域 ： ,, y' 4 x3 ,
y" 12x2 . 显然当x 0时，y 0,
即 曲线y x4在（ ， ）内是向上凹的。 一般而言，若f ( x)在(a, b)内连续，除个别点外， f ( x)不变号，则f ( x)在(a, b)内凹凸性不变。
（2）当f ( x)在x0处左右两则同号时，点( x0 , f ( x0 )) 不是y f ( x)的拐点。
6、判定函数曲线凹凸性及拐点的步骤:
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点xi ； （3）用xi把定义域划分成若干个小区间，列表讨论二阶导数在 每个小区间上的符号，由定理1判断凹凸性。
1
x2 x2
向上凹
弯曲方向是由曲线的凹凸性来刻划
1
1
x
y′′= ( x2 )′′= 2 > 0
1 1 f (0) + f (1) 1Βιβλιοθήκη f( )= <=
2
24
2
2
g′′( x)
=
1
(x2
)′′=
1
-1
-3
x2
<
0
x ∈[0,1]
1 1 g(0) + g(1) 1
g( ) = >
=
22
22
2
21
1.凹凸性的定义 （定义1）
设f x在a, b上连续，在a, b内具有一阶和二阶导数,
1若在a, b内，f x 0,则f x在a, b上的图形是凹的；
2若在a, b内，f x 0,则f x在a, b上的图形是凸的。
证明 对于（1），设 x1, x2 a, b, 且 x1 x2 ,
记 x0
x1
2
x2
,
并记
x2 x0 x0 x1 h,
P-114
•
f x1 f x2
2
•
f x1 • • f x1 x2
2 f x2
f x1 x2 2
••
•
•
f x1 f x2
f x1 2 f x2
x1
x2
设f x在区间I上连续,
x1
x2
设f x在区间I上连续,
若x1 , x2 I ,恒有
若x1 , x2 I ,恒有
x1 x2
x3
tan 1 tan 2 tan 3
f '( x1 ) f '( x2 ) f '( x3 ),
f x单调增加 f x 0
x1 x2
x3
tan 1 tan 2 tan 3
f '( x1 ) f '( x2 ) f '( x3 ),
f x单调减少
f x 0
3
2.定理1
7
因 而 ， 若f ( x)二 阶 可 导(，x0 , f ( x0 ))是 拐 点,则x0必 是f ( x)的 驻 点 。 4、定理 2 设f ( x)在 点x0处 二 阶 可 导 ， 则 点( x0 , f ( x0 ))是 曲 线 的 拐 点 的 必 要 条 件 是f ( x0 ) 0 注 若f ( x0 ) 0, ( x0 , f ( x0 ))不 一 定 是 拐 点 。 例 如f ( x) x4 f (0) 0， (0,0)不是拐点。
4
对 f x 在x0 2h, x0 1h用拉格朗日中值定理，得
f x0 1h f x0 2hh f 1 2 h2 , x0 2h x0 1h
由假设 f 0, 因此 f x0 h f x0 h 2 f x0 0.
即
f x0 h
2
f x0 h
f x0
f x1
2
f x2
f x1 x2 f x1 f x2
2
2
f x1 x2 f x1 f x2
2
2
则称f x在I上的图形是凹的则 ；称f x在I上的图形是凸的；
2
若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的下上方方， 则称曲线在这区间内是凸凹的；
在直有观些观教察材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“上凸”。