§5.3 绝对连续函数与不定积分

0 ≤ f (b) − f (a) ≤ ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 )
i =1
n
≤∑
(1)
f ( xi ) − f ( xi −1 ) + ∑
( 2)
( 2)
f ( xi ) − f ( xi −1 )
< ε + ε∑
其中
xi − xi −1 ≤ ε + ε (b − a).
∑
(1)
i =1 xi −1
b
k
xi
的有界变差函数. ■ 推论 3 设 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数 . 则 f 在 [a, b] 上几乎处处可导 , 并且 f ′ 是 Lebesgue 可积的. 证明 利用推论 4 即知推论成立. 定理 4 若 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数, 则 f 的变差函数 V ( f ) 也是绝对连续的.
x
F ( x) = ∫ f (t )dt + C
a
(其中 C 是任意常数)是 [a, b] 上的绝对连续函数. 证明 由积分的绝对连续性(§4.2 定理 9), 的任意可测集 A , 当 m( A) < δ 时, 交 的 开 区 间 {( ai , bi )}i =1 ,
n
n
对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对 [a, b] 中
, (a k , bk ), ( y1 − h1 , y1 + h1 ), , a k , bk , y1 ,
, ( y l − hl , y l + hl ) , y l 之外再加上一些分点 , 构成
仍然覆盖 [a, b] . 我们可以在点 a1 , b1 ,
[a, b] 的一个分点组 a = x0 < x1 <
≤ 2∫
由
b a
f ( x) − g ( x) dx < 2ε. ∫ ∫
a b
ε >0 的 任 意 性 我 们 得 到

x a
′ f (t )dt − f ( x) dx = 0.
因 此
′ x − f ( x) = 0 a.e.. 此即 F ′( x) = f ( x) a.e.. ■. f ( t ) dt ∫a
{( ai , bi )}, 使得 G = ∪ i (ai , bi ).
另一方面, 由于当 [a, b] − G ⊂ E 0 , 故对任意 y ∈ [ a, b] − G , 应 的 h > 0, 使 得 当 y ′ ∈ ( y − h, y + h) 时 ,
f ′( y ) = 0. 于是存在相
∑ (t
i =1
m
i
− t i −1 ) = xi − xi −1 < δ , 因此 , t m ) = ∑ f (t i ) − f ( f i −1 ) ≤ 1.
i =1 m
V f (t 0 ,
xi
于是 V ( f ) ≤ 1, i = 1,
xi −1
, k . 利用§5.2 定理 2, 得到 V ( f ) = ∑ V ( f ) ≤ k . 因此 f 是 [a, b] 上 a
a x
证明 设 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数. 由定理 2, f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 因此 函 数 V ( f ) 有 意 义 . 对 任 意 ε > 0, 设 δ 是 绝 对 连 续 函 数 定 义 中 相 应 的 正 数 . 现 在 设
a x
{( ai , bi )}in=1 是 [a, b] 上的互不相交的开区间使得 ∑ (bi − ai ) < δ . 对每个 i = 1,
F ( x) = ∫ f (t )dt + C
a
x
在 [a, b] 上几乎处处可导并且 F ′( x) = f ( x) a.e.. 证明 由例 1 知道 F ( x) 是 [a, b] 上的绝对连续函数. 因而由推论 3 知道 F ( x) 在 [a, b] 上 几乎处处可导. 往证 F ′( x) = f ( x) a.e.. 先证明若 ϕ 是 [a, b] 上的 Lebesgue 可积函数, 则
i =1
n
∫
bi ai
f (t )dt ≤ ∑ ∫
i =1
n
bi ai
f (t ) dt = ∫ f (t ) dt < ε .
A
因此 F 是 [a, b] 上的绝对连续函数.
143
例 2 若 f 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件, 则 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数. 证明 对任意 ε > 0, 令 δ =
∫
A
f (t ) dt < ε . 于是对 [a, b] 上的任意有限个互不相
当
∑ (bi − ai ) < δ 时 , 令 A = ∪ (ai , bi ),
i =1 i =1
n
n
则
m( A) = ∑ (bi − ai ) < δ . 于是
i =1
n
∑
i =1
F (bi ) − F (ai ) = ∑
n
ni
对 ( ai , bi ) ( i = 1,
, n. )的所有分割取上确界得到
∑ V ( f ) − V ( f ) = ∑V ( f ) ≤ ε .
i =1 a a i =1 ai
n
bi
ai
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n
bi
这表明 V ( f ) 是 [a, b] 上的绝对连续函数.■
a
x
定理 5 设 f 是 [a, b] 上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分
表示对出现情况(1)的 ( xi −1 , xi ) 求和,
∑
( 2)
表示对出现情况(2)的 ( xi −1 , xi ) 求和.
由 ε > 0 的任意性得到 f (a ) = f (b). 对任意 x ∈ [a, b], 用 [a, x] 代替 [a, b] , 同样可以得 到 f ( x) = f (a ). 因此 f 在 [a, b] 上恒为常数.■ 定理 7 (微积分基本定理)设 f ( x) 是定义在 [a, b] 上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼兹 公式
§5.3 绝对连续函数与不定积分
教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质 , 证明联系微分与积分的牛 顿-莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式.
定义 1 设 f ( x) 是定义在 [a, b] 上的实值函数. 若对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对
[a, b] 上的任意有限个互不相交的开区间 {(ai , bi )}in=1 , 当 ∑ (bi − ai ) < δ 时, 成立
∑ ∑ ( x (ji ) − x (ji−)1 ) = ∑ (bi − ai ) < δ .
i =1 j =1 i =1
n
ki
n
由 f 的绝对连续性得到
∑V f ( x0(i ) , x1(i ) ,
i =1
n
(i ) xn ) = ∑∑ f ( x (ji ) ) − f ( x (ji−)1 ) < ε . i i =1 j =1
定理 6 设 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数, 并且在 [a, b] 上 f ′( x) = 0 a.e. 则 f 在 [a, b] 上恒为常数. 证明 先证明 f (a ) = f (b). 对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使得对 [a, b] 上的任意有限个 互不相交的开区间 {( ai , bi )}i =1 , 当
∫
事实上, 由于
b a
b ′ x ϕ ( t ) dt dx ≤ ∫a ∫a ϕ ( x) dx.
(1)
∫
x
a
ϕ + (t )dt 和 ∫ ϕ − (t )dt 都是单调增加的函数, §5.1 定理 5, 我们有
a
x
∫
b a
b ′ x + + ≤ ϕ ( t ) dt dx ∫a ϕ ( x)dx. ∫a b ′ x − − ≤ ϕ ( t ) dt dx ∫a ∫a ϕ ( x)dx.
n
∑
n
n i =1
(bi − ai ) < δ 时, 成立
∑
i =1
f (bi ) − f (ai ) < ε .
设 E 0 = {x ∈ [ a, b] : f ′( x) = 0}, E = [ a, b] − E 0 , 则 mE = 0. 对于上面的 δ , 由§2.3 定理 6(i), 存 在 开 集 G ⊃ E , 使 得 mG < δ . 由 直 线 使 开 集 的 构 造 定 理 , 存 在 一 列 开 区 间
∫
因此
b a
∫
b a
b x b x ′ ′ x ′ + ≤ + ϕ ( t ) dt dx ϕ ( t ) dt dx ϕ −+ (t )dt dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a a a a a
≤ ∫ ϕ + ( x)dx + ∫ ϕ − ( x)dx = ∫ ϕ ( x) dx.
f ( y ′) − f ( y ) < ε y ′ − y . 这 样 开 区 间 族
{( ai , bi )} ∪ { ( y − h, y + h), y ∈ [a, b] − G } 构成了 [a, b] 的一个开覆盖 . 由有限覆盖定理 ,
可以从中选出有限个区间, 不放设为
(a1 , b1 ),
a a a
b
b
b
145
即 (1) 成 立 . 由 §4.5 定 理 2, 对 任 意 ε > 0, 存 在 [a, b] 上 的 一 个 连 续 函 数 g , 使 得
b a
∫
x ′ ∫ g (t )dt f − g dt < ε . 由数学分析中熟知的定理知道 = g ( x). 对函数 f − g 应 a
用(2)式, 我们有
∫ ∫
a
b

x a
b x ′ ′ − f ( x) dx = ∫ f (t )dt ( f (t ) − g (t ))dt ∫ + g ( x) − f ( x) dx a a b x b ′ f t g t dt dx ( ( ) ( )) ≤∫ − + ∫a g ( x) − f ( x) dx ∫a a
n
n
当
∑ (b
i =1
n
i
− ai ) < δ 时 , 成 立
∑
i =1
f (bi ) − f (ai ) < 1. 取自然数 k 使得
b−a < δ . 设 a = x0 < k
< x n = b 是 [a, b] 的一 < t m = xi , 由于
个分割 , 它将区间 [a, b] 分成 k 等分 . 对 [ xi −1 , xi ] 任一分割 xi −1 = t 0 <
n
ε
M
( M 是 Lipschitz 常数). 则当
n
∑ (b
i =1
n
i
− ai ) < δ 时,
∑
i =1
f (bi ) − f (ai ) ≤ M ∑ (bi − ai ) < ε .
i =1
故 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数. ■ 定理 2 绝对连续函数是有界变差函数. 证明 设 f 是 [a, b] 上的绝对连续函数. 则对 ε = 1, 存在 δ > 0, 使得对 [a, b] 上的任 意 有 限 个 互 不 相 交 的 开 区 间 {( ai , bi )}i =1 ,
i =1
n
∑
i =1
n
f (bi ) − f (ai ) < ε ,
则称 f ( x) 是 [a, b] 上的绝对连续函数. 关于绝对连续函数显然成立如下事实:
(i). 绝对连续函数是连续函数.
(ii). 若 f , g 是绝对连续函数, α 是实数. 则 α f 和 f + g 是绝对连续函数.
例 1 设 f 是 [a, b] 上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分
i =1
n
, n, 设
144
(i ) ai = x0 < x1( i ) <
(i ) < xk = bi i
是 ( ai , bi ) 的任一分割 . 则 {( x j , x j −1 ), j = 1,
i i
, k i , i = 1,
, n} 是 [a, b] 上的限个互不相交
的开区间, 并且这些小区间的长度之和
< x n = b, 使得对任何给定的小区间 ( xi −1 , xi ) , 不外
146
乎出现以下两种情况: (1). 对某个 j , ( xi −1 , xi ) ⊂ ( a j , b j ). (2). 对某个 j , ( xi −1 , xi ) ⊂ ( y j − h j , y j ) 或 ( xi −1 , xi ) ⊂ ( y j , y j + h j ) . 于是我们有