喀兴林高等量子力学习题EX2.算符

EX2.算符

2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： C

B A

C A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCA

ABC BC A ],[],[][][]

,[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明：

B

C A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CAB

ABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=

2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ）

],[],[1B A nB B A n n -=

证明：],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有

],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A

],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A

重复这种递推过程（n-1）次，即得

]

,[],[],)[1(]

,[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=

#

练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美）

（1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111

)(--=A a aA ；

（2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；

（4）⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--=

A a

aA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3)

}

)(1{})())({(}))({(})({)()(111111

1

11111

------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A

(4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ

故(⋅

⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********

11

)1()

1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ

#

2.4 若线性算符A 有逆，{|μ>}（i=1,2,3,…，n ）是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。证明在A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集，从而证明值域的维数与定义域相同。

证明：已知A 为可逆算符得 111==--A A AA

{|μ>}（i=1,2,3,…，n ） 是A 的有限维的定义域中的一组完全集 >μ>=|Ψ|A 定义域 |μ>为n 维的

假设值域|Ψ>不是一组完全集，那么值域中的每一个|Ψ>在定义域中有且只有一个|μ>所以的|Ψ>为数肯定小于n 。 又因为A 算符是可逆的，所以得 >μ>=|Ψ|A -1

定义域|Ψ>维数小于n 的

那么不论|μ>是否为完全集都应该小于或等于n 维的。 这样的话|μ>的维数与题目相矛盾 由此得之

A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集，而值域的维数与定义域相同。

练习 2.5 有逆算符A 的定义域是有限维的，若已知1=AB ,证明 1=BA 。 证明：（何建贤解答 项朋核对）

已知A 是可逆算符，所以11=-AA 和11=-A A 又因为1=AB ，即1-=AA AB 两边同时右乘得 A AA ABA 1-= 两边同时左乘1-A 得 A AA A ABA A 111---= 所以得：1=AB #

练习2.6 证明任何线性算符作用于零矢量ο上，必得零矢量。 证明：（高召习解答 孟祥海核对）

设A 为任意线性算符，由线性算符的性质得：

αϕαϕ)|A ()A(|>=>

令0=α，由于>=>ϕααϕ||， 0|0>=ϕ 所以 )|(0|A >>=ϕA 令>>=φϕ||A ，所以

0|00|0|>==>>=φφA

#

练习 2.7 （2.7）式与（2.8）式还各有一个用()[]

i A B ,型多重对易式表示的式子，试把它们求出来。（高召习解答 孟祥海核对）

解：（1）由于

]

],,[[],[],[],[],[)2()1()0(A A B A B A B A B B A B ===

显然，对于],[)1(A B 型多重对易式有

],[]],,[[)1()(+=i i A B A A B ],[],[],[)1()1()1(+=-i A B A B A A A B

即],[],[],[)1()1()1(A B A A B A A B i -+=+ （2）由于

],[],[)()(i i A B B A -= （1）

且1

)(1

1)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i n

i n i n

i n

A B A i i n n A B A i n B A （2） 把（1）代入（2）得

1

)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i n i n i n

i n

A A

B i i n n A A B i n B A #

练习2.8 试用数学归纳法证明：（陈玉辉解答 项鹏核对）

111],[],[-=-∑=i n

i n n

B B A B B A

证明：用数学归纳法，当n=1时原式成为 ],[],[B A B A =

原式显然成立；现设原式对n 成立，推出它对n+1也成立：

1

1

1

1)1(1

)1()1()1(11

1)1(1111],[],[],[],[],[],[],[],[],[-+=-+-++-+-=-+-=-+∑∑∑=+=+=+=⋅=i n i n n n n i n

i n n

i n

i n n

n n n B B A B B B A B B B A B B B A B B A B B B B A B A B B B A B A