二阶非线性常微分方程的打靶法

由此得到F'(γk)=v1(b,γk)
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(4)用牛顿迭代计算γk+1，即
(5)置k+1→k，转(1)直到误差在范围内。 综上，实现了打靶法对非线性方程的拟合。
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∆ 接下来是每一步的代码： ∆ 程序开头各变量的设置 ∆ function ys=ndbf(f,g,a,b,alfa,beta,n,eps,s0) ∆ %f 为二阶导数,y''=f(x,y,y')，g 为f 对y 求偏导后的 ∆ %(a,b)为自变量迭代区间 ∆ %alfa,beta 为给定的边值条件 ∆ %eps 题目规定的精度 ∆ %n 为迭代次数 ∆ %选取适当的s0 的初值
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∆ 谢谢观赏，祝大家期末满绩！
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循环第二步
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∆ 得到F函数的导数 ∆ u0=[0,1]; ∆ u1=NRK4(g,a,b,h,u0,y0); ∆ 通过偏导数求得的F’。
循环第三步
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循环第四步
∆ 用牛顿迭代算出新的初值 ∆ s0=s0-constant/u1(n,1); 之后把所有的步奏放进一个while循环，跳出的条件即是constant小
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再改变迭代方法进行比较
∆ 用二分法迭代γk ∆ 此时不用再求F的导数，所以也不用输入偏导数g ∆ 同样解上面的微分方程：
∆ 图像的拟合度也比较高。 ∆ 数值误差方面和牛顿迭代在同一 数量级，所以相差不大。
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算法总结
∆ 牛顿打靶法精度比较高 ∆ 但是对于初值的选取要求很高，需要在精确值附近 ∆ 而且在开头需要手动输入偏导数
于给定的误差
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∆ 微分方程
∆ 得到图像 ∆ 可以看出精度还是蛮高的
数值实验
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与matlab自带函数的比较
∆ 分别用Bvp4c 函数和打靶法解微分方程：
∆ 得到结论：图像上的拟合度差不多，但是具体做数值误差之后Bvp4c 函数的精确度比较高。Bvp4c大概为1.0e-10，打靶法只有1.0e-4
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循环第一步
∆ x0=[alfa,s0]; ∆ %选取合适的迭代初值 ∆ y0=RK4(f,a,b,h,x0); ∆ %龙格库塔算出u1(γk) ∆ constant=y0(n,1)-beta; ∆ 这里的y0(n,1)即是u1(γk，b)，constant即为F(γk)
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∆ 检验误差以跳出 ∆ if abs(constant)<eps%检验精度是否合题意 ∆ break;
二阶非线性常微分方程的 打靶法
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计算思路
主要分为以下五步：
给定容许误差ε，迭代初始值γ 做：
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Baidu Nhomakorabea
，对k=1,2，...
(1)之F用(γ四后k)阶=u取R1u(nbg,其eγ-Kk在u)t-tβaγ方k法的求解值初值，问，从得而得出到u1
(2)若|F(γk)|＜ε,则u1 即为所求，跳出循环。
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否则： (3)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问题