横截面上的内力

2.弯曲时的应力 取一矩形截面纯弯曲梁段进行研究。加载前，在梁表面 画上纵横直线。梁受弯变形后，可观察到如下现象: ① 横向直线变形后仍为直线， 只是各横向线间存在相对转动， 但仍与变形后的纵向线正交。 ② 纵向线都变为弧线，位于 中间位置的纵向线长度不变， 靠底面的纵向线伸长，而靠 顶面的纵向线却缩短。
M


l
一.轴类零件的扭转内力和应力
转动轴的受力特点是：作用于其上的外力是一对转向 相反、作用面与杆件横截面平行的外力偶矩。 杆件变形的特点是：杆的任意两个横截面围绕轴线作 相对转动。杆件的这种变形称为扭转。
现在以受两外扭矩M作用的圆轴为例，分析扭转时的内力和应力.
取左边部分
外力偶
外力偶
内力偶
平衡 由平衡方程
d d M n G dA G A dx dx


A
2dA
I

A
2 dA
Mn I
Mn I
式中 ——横截面上距轴心为处的切应力；
M n ——圆轴横截面上的扭矩；
——横截面上所求切应力的点到轴心的距离；
I ——横截面的极惯性矩。
各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中 查得。 对精密机器的轴 [θ]=(0.25～0.50)0/m； 一般传动轴 [θ] =(0.5～1.0)0/m； 精度要求不高的轴[θ] =(1.0～2.5)0/m。
df T dx GI

§5
梁类零件的平面弯曲
与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的 基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。
d G G dx
max Mn
上式说明，当圆轴材料一定时，剪切应力沿着截面半径 按线性规律变化，即τ与 ρ成正比，其方向垂直于半径， 并与扭矩方向相符合。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
3、静力学关系
dA ， 在截面上距圆心处取微面积dA，其上的微内力为 因 与半径垂直，该微内力对圆心的矩为 dA ，截面 上所有微力矩的合力矩，即微力矩在整个横截面上的积分， 应该是截面上的扭矩Mn，即:
可作出如下假设: ① 平面假设: 梁变形后的横截面仍保持平面，且与 变形后的梁轴线正交。 ② 纵向纤维无挤压假设: 纵向纤维的变形只是简单的 拉伸或压缩变形。
平面弯曲变形特征 粱横截面绕中性轴转动，中性层以上纤维缩短，中性 层以下纤维伸长。横截面上应力中性层以上为压应 力，中性层以下为拉应力。
总之，梁在纯弯曲时各横截面仍保持为平面并绕中性 轴作相对转动，各纵向纤维处于拉压受力状态。
根据单向受力状态的胡克定律，当应力不超 过材料的比例极限时，横截面上距中性轴y处的 y 正应力： E E

M 研究梁弯曲变形的基本公式： EI z
1
由此可见，在相同弯矩下，EIz值越大，梁的弯 曲程度就越小，所以EIz称为梁的抗弯刚度。 式中 M——横截面上的弯矩； Iz——横截面对中性轴z的惯性矩； y——所求应力的点到中性轴z的距离。
静载荷
按外力随时间变化分类：
动载荷 如交变载荷 、冲击载荷
四.变形
物体受力后发生尺寸和形状的改变
外力撤去后可完全消失的变形称弹性变形； 外力解除后不能消失的变形成塑性变形; 绝大多数物体的变形被限制在弹性范围内，这时的物体 被成为弹性体。 对弹性体假设: ① 连续性假设。认为组成弹性体的物质毫无空隙地充 满了弹性体的整个几何空间。弹性体中的力学量和变形 量都可以表示成坐标的连续函数。 ② 均匀性假设。认为弹性体内各点处的力学性能是相 同的。从弹性体内部任何部位所切取的微单元体，都具 有完全相同的力学性能。 ③ 各向同性假设。认为弹性体沿着不同方向具有相同 的力学性能。
§2
一.内力与应力
杆件的拉伸与压缩
内力：杆件受外力作用发生变形时，其内部分子间 同时产生一种力图恢复到变形前的形状和尺寸 的抵抗力。 内力与外力互相对立，互相依存，同时出现， 同时消失。 内力求取方法—截面法 应力()：横截面单位面积上的内力。 >0，拉应力； <0，压应力 ;
沿轴线方向的内力FN称为轴力，使杆件产生轴向伸长或缩短； 与横截面相切的内力FSy和FSz称为剪力，使相邻横截面产生相对 错动； 绕x轴的力偶Mx称为扭矩，使各横截面产生绕轴线的相对转动； 绕y轴和z轴的力偶My和Mz称为弯矩，使杆件分别产生xz平面内和 xy平面内的弯曲变形。
N A
式中
N——横截面上的内力，N； A——横截面面积，m2;
由于内力总是与外力平衡，所以计算应力时，可直接 用外力大小来计算，即 P

A
根据低碳钢拉伸实验，材料在弹性限度内，应力σ与 应变ε成正比，即胡克定律 E
l / l
胡克定律也可以写为另一种形式
；
P/ A
要求零件在受力时所产生的弹性变形在允许的限度内。
三.受力
按载荷特征分类 集中载荷 分布载荷（均布载荷、非均布载荷） 按载荷性质分类 静载荷 动载荷
外力及其分类
外界对构件的作用力称为外力。
载荷
按外力作用的来源分类：
约束反力
体积力 按外力作用的方式分类： 表面力 作用于容器壁上的液体压力、两物体间的接触压力 物体的自重、惯性力等是体积力
I ( D4 d 4 ) 32
WT
D3 WT 16
d D
2．扭转刚度条件
工程上，对受扭圆轴的刚度要求，通常是限制轴的单 位长度扭转角的最大值，所谓单位长度扭转角度就是：
max 则轴的扭转刚度条件为 ： 工程上习惯采用°/m为单位长度扭转角的单位，刚度 条件可表示成 ： Tmax 180 max GI
三．梁类零件弯曲的强度计算
对于受弯曲的梁类零件，为了保证其安全工作， 危险截面上的最大弯曲应力应小于等于材料的 许用弯曲应力，故弯曲强度条件为：
max
M max ≤ Wz
对于抗拉与抗压强度不同的材料，则应按照抗拉和 抗压分别建立强度条件，即：
c max
M max yc max ≤ c Ic
脆性材料: 极限应力取强度极限σb ； 塑性材料：极限应力取屈服极限σs ；
一般钢材s = 2.0～2.5，对脆性材料s = 2.0～3.5。
强度条件在设计中可用于解决三类问题： P A≥ 1. 截面积的计算
[ ]
Biblioteka Baidu2. 强度校核
lim N [ ] A s
P ≤ A
3.
横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大
圆轴扭转时横截面上切应力的计算公式，最大切应力 发生在距轴心最远的圆截面的边缘．即：
max
max
Mn R I
Mn WT
WT
I R
WT 称为圆轴的抗扭截面模量，与极惯性矩 I 一样，
也是仅与截面形状、尺寸有关的几何量。 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截面模量成反比
由于杆件是平衡的，它的任一部分也是平衡的。内力 和内力偶与作用在该杆段上的外力构成平衡力系。 由平衡方程
Fx 0
Mx 0
Fy 0
My 0
Fz 0
Mz 0
，
，
，
，
为了区别内力的拉、压性质，规定 拉力取“+”号，压力取“-”号。 垂直于截面的应力称为正应力，用符号“σ”表示， 直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力公式
铆钉联接： 剪应力的大小可用下式求出：
Q A
式中 A——受剪面面积 通常认为剪应力沿受剪面均匀分布。
为了使联接件不被剪断，应使其工作时的剪切应力小于 或等于材料的许用剪切应力，故剪切强度条件为：
Q [ ] AQ
[ ]
lim
s
二.剪切的强度计算
例:
Q
P 2
Q 15 103 23.9 106 ( Pa) 23.9 (MPa) AQ 2 (20 103 )2 4
第二章 精密机械零件 受力变形与应力分析
主要内容 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 精密机械零件的强度与刚度 杆件的拉伸与压缩 机械零件的剪切 圆轴扭转 梁类零件的平面弯曲
§1
精密机械零件的强度与刚度
一.强度 零件抵抗破坏的能力。
破坏形式：断裂、过大的塑性变形。
二.刚度 零件抵抗变形的能力。
Mn M
Mn是横截面上的内力偶矩，称为扭矩。
圆轴扭转时的剪应力 1、变形几何方程
d dx
r
o o' d
dx
d dx
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。 推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
２．物理方程
在弹性范围内，剪应力与剪应变之间的关系 符合虎克定律 G
许用负荷的确定
①从安全的角度考虑，应加大安全系数，降低许用应 力，就要增加材料的消耗和机器的重量，造成浪费。 ②从经济角度考虑，应减小安全系数，提高许用应力， 这样可以少用材料，减轻自重，但又有损于安全。
§3
机械零件的剪切
一．内力与应力
工程中常用螺栓，销钉联接其他构件，螺栓，销钉为 联接件，构件为被联接件。 一对大小相等、方向相反，且距离很近的横向力 作用于物体两侧，物体受力后受剪面（横截面）发生 相对错动，称为剪切变形。作用力P称为剪切力，发生 相对错动的面称为剪切面。
梁处于横力弯曲状态时，其最大正应力将发生在 内力弯矩绝对值最大的截面上下边缘处，其值为 ： M max ymax max Iz 令 Wz I z / ymax ， 则上式写成 ：
max
M max Wz
其中，Wz称为梁的抗弯截面模量，单位为m3或mm3， 与横截面尺寸、形状有关的几何量。
Pl l AE
材料在弹性限度内，杆件的绝对伸长（或缩短）与外力 P及杆长l成正比，与杆件横截面面积A及材料的弹性模 量E成反比。
二.强度计算
要保证构件工作时不至于被破坏，必须使工作应力 小于材料的极限应力。杆中的最大工作应力必须满足 如下条件：
lim N [ ] A s
§4
机械零件的扭转
汽车中的转向轴
外力作用特点
在杆端垂直于轴线的平面内作用有外力偶M0
变形特点
杆件扭转时，任意两横截面间相对转过的角度，称为两截面 的相对扭转角，用fAB 表示。
圆轴扭转变形特征
1. 各圆周线的形状和大小不变，间距不变。 2. 各圆周线（横截面）都绕轴心线相对转动 了某一角度。 3. 各纵线都转动了（倾斜）同一微小角度 （剪切角或剪应变），小方格发生歪斜。
二．扭转强度和刚度计算
1.扭转强度条件 圆轴扭转时，要保证其正常工作，必须使最大剪切应力 不超过许用剪切应力，即扭转强度条件为 ： T
max
max
WT

塑性材料 脆性材料
[ ] (0.6～ 0.8)[ ]
[ ] (0.8～1.0)[ ]
圆轴 空心轴
D 4 I 32
一．梁类零件的类型
平面弯曲梁的条件： 梁的横截面至少有一个对称轴； 全梁有纵向对称面，所有的外力都作用在纵向对称内。 平面弯曲的特点： 梁的轴线在纵向对称面内弯曲成为一条平面曲线 。
梁类零件的类型
简支梁、外伸梁和悬臂梁
二．梁类零件弯曲时的内力与应力 1.弯曲时的内力 以吊车横梁为例分析梁弯曲时的内力如图所示：