离散系统的时域分析

f ( k ) f ( k 1) f ( k ) k ( k 1) k
f ( k ) f ( k ) f ( k 1) k k ( k 1)
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定义差分
（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用 后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)
第三章 离散系统的时域分析
学习的主要内容：
掌握根据实际问题建立差分方程的方法； 掌握差分方程的迭代解法和经典解法，以及零输入 响应、零状态响应的解法； 理解单位序列响应和阶跃响应的意义，掌握其求 解方法。
掌握卷积和的定义、性质及求解方法，
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概述： 1.LTI离散系统的时域分析： 建立线性差分方程并 求出响应与激励关系 时域分析法：序列的变量----k 2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换 域分析法的基础 经典法 3.时域分析法主要内容： 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积和
系统的方程 yk 3 yk 1 2 yk 2 f k f k 1
f k 2k k y0 y1 0
求系统的零输入响应。 解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。
yk 3 yk 1 2 yk 2 0
i 1
自由响应
y(0)、y(1)- 起始条件
强迫响应 零输入响应
待定系数代差分 方程
零状态响应
待定系数代差分方程
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起始条件的确定
（4）.起始条件的确定 （1） yzi(k) 起始条件 k<0, 激励没有接入f(k)=0 yzi (-1) = y(-1) yzi (-2) = y(-2) ----------------yzi (-n) = y(-n) （2） yzs(k) 起始条件
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离散与连续对比
注意：离散系统与连续系统的分析方法—并行相似
连续系统 离散系统
系统描述
分析方法
微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
差分方程 卷积和
变换域（离散傅氏、z） 系统函数
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§3.1 LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则 …，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等 称为f(k)的移位序列。
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。
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时域经典解
用时域法求解离散系统的程序
建立系统的差分方程
求特征根li , 确定齐次解 yh(k)的形式(查表3–1)
由e (k) , 确定特解yp(k) 的形式(查表3–2)
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2.特解yp(k):
特解的形式与激励的形式类似
激励f(k) 响应y(k)的特解yp(k)
P (常数)
Pm k m Pm 1k m 1 P1k P0 (特征根均不为0 ）
k r ( Pm k m Pm 1k m 1 P1k P0 )(有r重为0的特征根）
0 3 y 1 2 y 2 1
5 所以y 2 4
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由初始状态确定C1，C2
以y 1, y 2代入方程
1 1 1 yzi 1 C1 2 C2 1 2 y 2 C 2 2 C 1 2 5 zi 1 2 4
j 1
n
其中：Czsj------待定系数
由yzi(k)起始条件
yp(k)----特解
（3）. y(k) 全响应
n k
n k百度文库
由yzs(k)起始条件
n j 1 j 1
y( k ) ci (li ) y p ( k ) c zij (l j ) c zsj (l j )k y p ( k )
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2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差 差分方程本质上是递推关系的代数方程，若已 知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 当差分方程阶次较低时可以使用此法 差分方程的迭代解法 迭代解法：利用前一时刻的 函数值递推得到当前时刻的函数值 总结迭代法特点：概念清楚，方
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三、零输入响应和零状态响应
1.概 述
LTI系统 第1种：自由响应+强迫响应 y(k) = yh(k) + yp(k) 响应 第2种：零输入响应+零状态响应 y(k) = yzi(k) + yzs(k)
yzi(k): 没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应； yzs(k): 不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系
仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。
1. 差分运算
f ( t ) f ( t t ) df ( t ) f ( t ) f ( t t ) f ( t ) lim lim lim t t 0 dt t 0 t t t 0
离散信号的变化率有两种表示形式：
法简单，适于用计算机求解，能 得到方程的数值解。但是不能直 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 接给出一个完整的响应解析式解 第 6页 答（也称闭式解）。
线性常系数差分方程的求解方法
（1）迭代法 ：采用代入初始值逐次求解的
方法
（ 2 ）分别求解零输入响应与零状态响应法： 与连续时间系统求解情况类似，可先利 用求齐次解的方法得出零输入响应，再 利用后面将要介绍的卷积和方法求解零 状态响应。
y zi C zij （l j ) k
j 1 n
Czij-----待定系数
（2）. yzs(k) 零状态响应 差分方程：非齐次 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
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y zs ( t ) C zsj （l j ) k y p ( k )
统外加输入信号所产生的响应。 全响应 y(t) = yzi(k) + yzs(k)的求取方法： 借助经典方法 卷积和方法（后面学）
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y(k) = yzi(k) + yzs (k) 2.借助经典法 （1）. yzi(k) 零输入响应 差分方程：齐次
y(k) + an-1y(k-1) + …+ a0y (k-n)=0
n 1 y1 3 y0 2 y1 2 1 20 0
0 0 2 y 1 2 1 1
1 所以y 1 2
n0
y0 3 y1 2 y 2 20 0 21 1
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差分方程全解举例
例：系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。 求方程的全解。
特征方程 λ2 + 4λ+ 4=0 特征根 λ1=λ2= – 2 齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k 解得 P=1/4 所以特解 yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4 解：
连续系统
yzi(j)(0+)=yzi(j)(0)= y(j)(0-)
为系统的初始状态， 定出齐次解的系数， 便可求出该响应
连续系统
yzs(j)(0-)=0
yzs(-1)=yzs(-2)=------yzs(-n)=0 yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助差分方程
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零输入响应举例
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二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似: 1.齐次解： y(k) = yh(k) + yp(k)
齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，特征方程 即

y(k ) yh (k ) y p (k )
由初始条件确定系数 系统响应y(k)
(含待定系数)
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1、不同特征根对应的齐次解:
特征根 单实根
l
齐次解
yh (k)
Cλ
k
r 重实根
一对共轭复根
Cr 1k r 1l k Cr 2k r 2l k .... C1Kl k C0l k
p k [c cos k D sin k ]
j
l1,2 a jb e
R重共轭复根
或Ap cos( k )
k
Ae j C jD
其中
Ar 1k r 1 k cos( k r 1 ) Ar 2 k r 2 k cos( k r 2 ) ... A0 k cos( k 0 )
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线性常系数差分方程的求解方法
（ 3 ） Z 变换域求解法：应用第 6 章的 Z 变换域 求解，这是实际中求解差分方程最简便而有
效的方法，将在6.4节中进行详细分析。
（ 4 ）时域经典法：首先分别求齐次解与特解， 然后代入初始条件求待定系数，这种方法便 于从物理概念表明各响应分量之间的相互关 系，但具体求解比较麻烦，解决具体问题时 不宜采用。
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差分方程迭代解举例
例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解：方程变形为 y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) k=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 k=3 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= – 3y(3) – 2y(2) + f(4) = – 10 …… 由此可见，迭代法求解差分方程 虽不容易得到 闭式解，但简明易行、思路清楚，便于计算机求解。
l2 3l 2 0 l1 2, l2 1
yzi k C1 2k C2 1k
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求初始状态
yk 3 yk 1 2 yk 2 0
题中y(0)=y(1)=0 ，是激励加上以后的，不能说明状态为 0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。
F (常数)
km
ak
Pa k (a不等于特征根）
（P1k P0 )a k (a等于特征单根）
（Pr k r Pr 1k r 1 P0 )a k (a等于r重特征根）
cos k 或 sin k P1 cos k P2 sin k (特征根不等于 e j )