反证法解答题专项练习30题(有答案)ok

反证法解答题专项练习30题（有答案）
1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．
2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：
①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；
②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；
③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．
试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．
3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°，
则∠A+∠B+∠C＞_________ ．
这与_________ 相矛盾．
∴_________ 不成立．
∴_________ ．
4．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1_________ l2
证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________
所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立．
所以_________ ．
5．完形填空：
已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2，
求证：a不平行b．
证明：假设_________ ，
则_________ ，（两直线平行，同位角相等）
这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立，
故a不平行b．
6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）
7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）10．证明已知△ABC中不能有两个钝角．
11．举反例说明下列命题是假命题．
（1）一个角的补角大于这个角；
（2）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
12．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．13．用反例证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．14．用反证法证明：在同一平面内，a，b，c互不重合，若a∥b，b∥c，则a∥c．15．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．
16．用反证法证明：
（1）已知：a＜|a|，求证：a必为负数．
（2）求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
17．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．
18．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
19．用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．
20．在线段AB上依次取C、D、E三点，将AB分为四段，试说明至少有一段不小于AB，同时，至少有一段不大于AB．21．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．
22．已知a，b，c，d四个数满足a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．
求证：这四个数中至少有一个是负数．
23．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ac，z=c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．24．用反证法证明：一条线段只有一个中点．
25．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证：CD、BE不可能互相平分．
26．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．
27．将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于
33．
28．已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．
29．已知：△ABC的三个外角为∠1，∠2，∠3．求证：∠1，∠2，∠3中至多有一个锐角．
30．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．
参考答案：
1．证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，
则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°
2．解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．
若b=1，c=，可以证明命题③不正确．
命题②正确，证明如下
由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．
则c ＞＞，c ＞＞0
故a2+ab+c=+（c ﹣）＞0
3．解：证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
则∠A+∠B+∠C＞180°．
这与内角和为180°相矛盾．
则假设不成立．
则求证的命题正确．
故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确
4．证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2
5．证明：假设a∥b，∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等．），与已知∠1≠∠2相矛盾，
∴假设不成立，
∴a不平行b
6．证明：假设AB=AC，
则，∠B=∠C，
与已知矛盾，
所以AB≠AC 假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角
8．证明：假设如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a≠0且b≠0，
∵a≠0，b≠0，
∴a2＞0，b2＞0，
∴a2+b2＞0，
∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9．证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC
10．证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°；
所以∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾；
所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角
11．解：（1）如果设∠A=100°，那么∠A的补角=80°＜100°，所以命题：“一个角的补角大于这个角”是假
∵a⊥b，∴∠1=90°，
∵b⊥c，∴∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∴a∥c．
故命题：“已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是假命题
12．证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
∴∠ABP=∠ACP；
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC；
与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC
13．解：设一个锐角为30°，一个钝角为200°；则它们的度数和为230°≠180°，因此不是平角；故原命题是假命题
14．解：假设a∥c不成立，则a，c一定相交，假设交点是P；
则过点P，与已知直线b平行的直线有两条：a、c；
与经过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾；因而假设错误．
故a∥c
15．证明：假设c∥b；
∵a∥b，
∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；
所以c与b也相交
16．证明：（1）假设a≥0，则|a|=a，这与已知|a|＞a 相矛盾，
因此假设不成立，
所以a必为负数；
（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，β，
则4n+3=α2+β2，
因为（n+2）2+（﹣n2﹣1）≠α2+β2，
所以假设不成立，
故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和
17．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角
18．已知：AB=A′B′，BC=B′C′，∠B≠∠B′，
求证：AC≠A′C′．
证明：假设AC=A′C′，
在△ABC和△A′B′C′中
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），
∴∠B=∠B′，
∴与已知，∠B≠∠B′矛盾，则假设不成立，
∴AC≠A′C′．
19．证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分
20．解：假设每一段都小于AB，则四段之和小于AB，这与已知四段之和等于AB相矛盾，假设错误，
所以至少有一段不小于AB ，同时，至少有一段不大于
AB
21．解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．
延长AM到N，使AM=MN，连接BN；
在△AMC和△NMB中，
BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，
∴△AMC≌△NMB（SAS）；
∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；
∴BN＞AB，
即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．
因而M在线段CD上是错误的．
所以点M不在线段CD上
22．证明：假设a、b、c、d都是非负数，
∵a+b=c+d=1，
∴（a+b）（c+d）=1．
∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．
这与ac+bd＞1矛盾．
所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数23．证明：假设x，y，z都小于0，
∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，
∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣
2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＜0，
∴这与（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0矛盾，
故假设不成立，
∴x，y，z中至少有一个大于零
24．已知：一条线段AB，M为AB的中点．
求证：线段AB只有一个中点M．
证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，
则AM＜AN，
又因为AM=AB=AN=AB，
这与AM＜AN矛盾，
所以线段AB只有一个中点M
25．证明：假设CD、BE可以互相平分．则连接DE．则四边形BCED是平行四边形．
∴BD∥CE
与△ABC相矛盾
所以：CD、BE不可能互相平分
26．解：不能．
理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．
将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．所以，
与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!
所以不存在满足题设要求的7个整数
27．解：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于33，则它们的和小于等于32．
∴这21个数的和的最大值小于等于：32×21÷3=224，但是实际上，1+2+3+…+21=（1+21）×21÷2=231＞224，所以假设不成立，则命题得证，
∴将自然数1，2，3…21这21个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于33
28．证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：
（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是
a2+b2=9m2+9n2±6n+1
=3（3m2+3n2±2n）+1，
不是3的倍数，矛盾；
（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则
a2+b2=（3m±1）2+（3n±1）2，
=9m2±6m+1+9n2±6n+1
=3（3m2+3n2±2m±2n）+2，
不能被3整除，矛盾；
同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或
a=3m±2，b=3n±2，代入a2+b2会得到相同的结论．
由此可知，a，b都是3的倍数
29．证明：因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，
因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，
又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，
所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角
30．证明：能．
（1）如图a，若四点A，B，C，D构成凸四边形．则必有一个内角≤90°．不妨设为∠A．
这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．
则∠BAC+∠CAD≤90°．
则∠BAC与∠CAD 中必有一个≤×90°=45°．
故结论成立．
（2）如图b．若四点A，B，C，D构成四边形．则△ABC 中必有一个内角≤×180°=60°．
不防设∠A≤60°．
又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．
则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°＜45°．
故结论成立。