逆矩阵的计算

§3 逆 阵
★逆矩阵的概念 ★矩阵可逆的条件 ★逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运 算，引入逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
定义7 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使 AB = BA = E，
则说方阵 A 是可逆的，并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。 注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。
A11= 2，A21= 6，A31=－4， A12=－3，A22=－6，A32=5， A13= 2，A23= 2，A33=－2，
得
2 A* 3
6 6
4
5 , 所以
2 2 2
A1
1
A*
1 3
3 3
2 5
.
A
2 1
1
2 1
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例10 设
1 A 2
3
2 2 4
3 1 3
定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。 这个结论反过来也成立。请看下面的定理2。
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定理2 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且
A1 1 A* , A
其中A*为方阵A的伴随阵.
证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E，
因 A 0,故有
A( 1 A* ) ( 1 A* )A E,
由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B 的 逆矩阵。
例如
设A
3 2
2 1
0 2,
1 B 2
2 3
4 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB = BA = E，所以B是A的逆矩阵，同样A
也是B 的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C 都是 A的逆矩阵， 则有
B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，
所以 A 的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A -1。 即若AB = BA = E，则 B = A -1 。
例如
设A
3 2
2 1
0 2,
1 B 2
2 3
4 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即 A -1 = B
A
A
所以, 有A1 1 A* . A
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由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。
当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 奇异阵。
推论 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 证 因为|A| |B| = |E| ＝1，故|A| ≠ 0， 因而 A -1存在， 于是 B = E B =（A -1 A）B = A -1 （AB）= A -1 E = A -1 。
2 1
1
X A1CB1Байду номын сангаас
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
★以下运算都只有方阵才有： (1). 逆矩阵； (2). 方幂； (3). 矩阵的行列式。
★矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。
★两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。 即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推 出其中必有一个为零矩阵。
★用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列 式是不同的。
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Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
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12 0 0
所以A* 0
8 0,
于是
0 0 6
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二、不允许出现的“运算”：
★矩阵与数的加、减法； ★矩阵与矩阵相除； ★数除以矩阵。
矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与 行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个 数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可 以出现在分母中。
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三、矩阵运算中要注意的地方
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当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
3 4 3
解 |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得：
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矩阵可逆的条件
定理1 若方阵 A 可逆，则 A 的行列式不等于 0 。
证 A 可逆，即有 A -1 ，使 AA -1 = E，
故
|A||A -1 |=|E| = 1，
所以|A| ≠ 0 。
例如
设A
3 2
75 ,
B
5 2
37, 易见AB=BA=E，
即A可逆。 此时|A| = 1≠ 0。
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方阵的逆阵满足下述运算规律：
(1).若A可逆,则A1也可逆,且( A1 )1 A. (2).若A可逆,数 0,则A也可逆,并且
(A)1 1 A1 .
(3).若A, B是同阶可逆方阵,则AB也可逆,且 ( AB)1 B1 A1.
证 ( AB)(B1 A1 ) A(BB1 )A1 AEA1 E. (4).若A可逆,则AT也可逆,且( AT )1 ( A1 )T . 证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
,
B
2 5
13 ,
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足AXB = C。
分析：
若A-1 ，B -1 存在，则由A-1左乘AXB = C，
又用B-1右乘AXB = C，
有
A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ，
即
X = A-1 CB-1 。
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解 于是
A1
1 3
3 3
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注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。
例如
设A
1 2
2 3
,
则|
A
|
1
0
故A可逆。
因为A*
3 2
12 ,
所以A1
|
1 A|
A*
1 1
3 2
2 1
3 2
21.
需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。
对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换 的方法来求逆矩阵。