第四章 机械的振动

第四章 机械振动

§4-1简谐振动

一．弹性力与准弹性力

１． 弹性力：x k f -= ２． 准弹性力:θθmg sin mg f -≈-=

二． 谐振动的特征

１． 动力学特征： x k f

-=

２． 运动学特征：

特征方程： 02

=+x x ..

ω

解： )t cos(A x ϕω+=

三． 描述谐振动的物理量 １． 振幅：A ２． 角频率：m k

=ω，l

g =ω ３． 频率：πων2=

４． 周期：ω

π2=T

５． 周相：ϕω+t ６． 初周相：ϕ

四．

谐振动中的速度和加速度

)t cos(v )t sin(A dt dx v m 2

πϕωϕωω++=+-==

)t cos(a )t cos(A dt

x d dt dv a m πϕωϕωω±+=+-===222

五．

决定ϕω,A ,的因素

1．ω 决定于振动系统，与振动方式无关； 2．ϕ,A 决定于初始条件： 公式法: 22

02

ω

v x A +=，)x v (arctg 00

ωϕ-=

分析法：

ϕcos A x =0 ⇒ →=A

x cos 0

ϕ21ϕϕ,

⇒-=ϕsin A v 0象限）

象限）4302100,(,({A v sin <>-=ωϕ 六．谐振动的能量

)t (sin A m mv E k ϕωω+==222221

21 )t (cos A m )t (cos kA kx E p ϕωωϕω+=+==2222222

1

2121

m A kA E E E p k 2

222

121ω==+=

222022241

41211kA mA dt )t (sin A m T E T k ==+=⎰ωϕωω

k p E E =

例１． 已知0=t 时20A

x =,00

例２． 已知0=t 时00=x ,00>v ,求ϕ

例３． 如图，质量为10克的子弹以s /m 1000的速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作谐振动，若木块质量为Kg .994，弹簧的倔强系数m /N k 3108⨯=，求振动方程。

例４． 质量为m ，长为Ｌ的均质细棒，可绕其一端的固定轴Ａ自由转动，在离轴3

L

处有一倔

强系数为k 的轻弹簧与其连接，弹簧的另一端固定于Ｂ，开始时，棒处于水平位置并静止，现将棒沿顺时针方向绕Ａ轴转过一微小角度θ，然后放手，证明其作谐振动，并求其周期。

例５． 某谐振动如图所示，求振动方程； 思考：

１． 地球，R ,M 已知，中间开一遂道；小球m ，从离表面h 处掉入隧道，问，小球是否作谐振动？

２． 复摆问题（c l ,m ,I 已知）

02

2=+θθI mgl dt

d c

)

s

３． 弹簧串、并联

串联：2

11

11k k k +=

并联：21k k k

+=

４． 二体问题：2

1111m m m +=

§4-2 谐振动的旋转矢量表示法

一． 幅矢量法

1. 作x 轴，O 为平衡位置；

2.

A

在x 轴上的投影点P 作谐振动：

)t cos(A x ϕω+= 3.

A

以角速度ω旋转一周，P 正好来回一次：

ω

π

2=

T

二． 参考圆法 1. 以O 为原点，A 为半径作圆，x 轴； 2. 在图上根据已知求未知

三． 相位差 1. 同频率、同方向的两谐振动的相位差就是它们的初相差，即：12ϕϕϕ-=∆

2. 超前与落后

例1. 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅cm A 12=，周期s T 2=，0=t 时，位移为cm 6且向x 正方向运动，求： 1) 初位相及振动方程；

2) s .t 50=时，物体的位置、速度和加速度； 3) cm x 60-=处，向x 轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡

位置所需的最短时间；

例2. 设有一音叉的振动为谐振动，角频率为1210286-⨯=s .ω

，音叉尖端的振幅mm A 1=。

试用参考圆法求出以下三种情况下的初相，并给出振动方程；

1) 0=t 时，00=x ，00

>v ；

O

P 0

P

2) 0=t 时，20A

x =，00

0A x -=，00>v 。

思考：

1. 如图，已知一振动系统的k ,A ,M 0；求： 1) m 在A x m =处掉到Ｍ上，

2) m 在0=m

x 处掉到Ｍ上，

弹簧振子的?E ,,v ,A max =ω

2.已知k ,m ,m 21，如图，求剪断绳的瞬时两球的加速度？系统的振动频率？

§4-3阻尼振动、受迫振动、共振*

一． 阻尼振动：系统在阻力作用下能量或振幅随时间减小的振动。 弱阻尼、临界阻尼、过阻尼振动 二． 受迫振动

系统在周期性外力持续作用下的振动 三． 共振： 2

2

2βωω-=时，2

2

02β

ωβ-=

h A 为最大。

§4-4谐振动的合成

一．同频率同方向谐振动的合成 1.解析法：

)t cos(A x 111ϕω+= )t cos(A x 222ϕω+= )t cos(A x x x ϕω+=+=21 )cos(A A A A A 122122212ϕϕ-++=

2

2112

211ϕϕϕϕϕcos A cos A sin A sin A tg ++=

2.振幅矢量法：结果同上。

3.讨论： ① πϕϕϕ

k 212±=-=∆， ,,,k 210=