材料力学第六章静不定

l2 sin 45
2l1
②
l
l
l
FN1 2l
2
FN2 l
EAsin cos EAsin b cos b
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1

FN1 EA
( 2l
cos
)，l2

FN 2 EA
( l
cos b
)
材料力学
2、列平衡方程
FN2 sin FN3 sin 0
B
C
E1A1 l1
E2A2 l2
D E3A3 l3=E2A2 l2
FN2 FN3
FN1 FN2 cos FN3 cos F 0
3、列几何(变形协调)方程
l3 l1cos
4、列物理方程

y
l3
A FN2
第六章 简单超静定问题
§6.1～§6.2 概述及拉压静不定问题
一、静定静不定概念
1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部
未知
力，这类问题称
为静定问题.
实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数
目。
2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全
部未
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知力。又称 1
3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。
5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得
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4
拉压静不定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
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5
图示结构，求各杆轴力。 解：1、判断：一次静不定。
FN1 FN3
F

l1
x
l1

FN1l1 E1 A1
，l2

l3

FN 2l2 E2 A2
F
5、列补充方程
将物理方程代入几何方程得补充方程
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6
FN 2l2 FN3l3 FN1l1 cos
E 2 A2 E3 A3 E1A1
解得
FN1

1
F 2E2 A2l1
cos2
E 1 A1l2
FN 2
FN3
2 cos

F
E1 A1l2
E2 A2l1 cos
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7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
静不定结构 ？——产生装配应力
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15
已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，
求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形，
因此产生装配内力。 一次静不定问题。
刚体
F
∆l1
∆l2
2(Dl2+Dl3 ) =Dl1 +Dl3
（c）
∆l3
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12
还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。
FN1
FN2
FN3
∆l1
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2
（b）
对应受力图
∆l3
∆l1 ∆l2
（c）
∆l3
（a） F
FN1
FN2
FN3
（b） F
FN1
FN2
FN3
（c） F
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13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大

A
F
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C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
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3
二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数；
2、列静力平衡方程；
3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题
需
具体分析。一般通过“变
形几何图”列方程。
特别注意：力与变形相对应！！
（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对
应）
4、列物理方程：变形与力的关系；
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未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
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2
4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这
形状。(静定)
些约束结构也能保持一定的几何
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。
= 多余约束力数目
静不定次数
2

l2 l2

2l1 2l1

l1 l1

1
2 E2 1 1 E1
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9
图示支架承受力F 作用，①杆的抗拉刚度 为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的
B
①
抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。 解：平衡方程为
C
②
300
300
A
FN1 cos 300 FN2 FN3 cos 300 0 FN1 sin 300 FN3 sin 300 F 0
③
F
D
l
变形协调方程
l3 sin 300

l2
cot 300
l3 A l2
FN1
300
l1 FN2
A
300
FN3

(l1

l2 cos 300
sin 300
)

l2
tan
300
F
300
化简得 3l2 l1 l3
300 300
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物理关系为
内力假设与变形假设应一致。 内力假设受拉，变形只能假设伸长。 内力假设受压，变形只能假设缩短。
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图示静不定结构， 可列如右变形图。 ∆l1
a
a
∆l1
1
2
3
∆l2 （a）
∆l2 （b）
几何方程
∆l3
2Dl2=Dl1 +Dl3
∆l3 2(Dl2+Dl1 ) = Dl3 +Dl1
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OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
源自文库
O
l2 sin 450

2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1

FN1
2 3
EA
l ，l2

1F.5NE2lA，l3

FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()