二次函数铅垂高演练

二次函数铅垂高

如图12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直

线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度

叫△ABC 的“铅垂高(h )”、我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 2

1=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半、 解答下列问题:

如图12-2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B 、

(1)求抛物线与直线AB 的解析式;

(2)点P 就是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆; (3)就是否存在一点P ,使S △P AB =89

S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由、

例1解:(1)设抛物线的解析式为:4)1(2

1+-=x a y ··············································· 1分

把A (3,0)代入解析式求得1-=a

所以324)1(2

2

1++-=+--=x x x y ············································· 3分

设直线AB 的解析式为:b kx y +=2

由322

1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分 把)0,3(A ,)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得:3,1=-=b k

所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)

所以当x ＝１时,y 1＝4,y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ········································································· 8分

3232

1

=⨯⨯=

∆CAB S (平方单位) ··················································· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为x ,△P AB 的铅垂高为h ,

则x x x x x y y h 3)3()32(2

2

21+-=+--++-=-= ······················ 12分 由S △P AB =8

9

S △CAB 得:

38

9)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 图12-2

x

C

O

y

A

B

D

1 1

化简得:091242

=+-x x 解得,2

3=x 将2

3=

x 代入322

1++-=x x y 中, 解得P 点坐标为)4

15

,23( ······························································ 14分

总结:求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法就是解决问题的关键,要学会用坐标表示线段。

例2(2010广东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中,二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),OB ＝OC ,tan∠ACO＝

3

1

. (1)求这个二次函数的表达式.

(2)经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点E,在该抛物线上就是否存在这样的点F,使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度.

(4)如图11,若点G(2,y)就是该抛物线上一点,点P 就是直线AG 下方的抛物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标与△APG 的最大面积、

－1,0)

-==++=

+-3

030

c b a c b 322

--=x x 方法二:由已知得:C(0,－3),A(－1,0) 设该表达式为:)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得:1=a

所以这个二次函数的表达式为:

322

--=x x y (注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分) (2)方法一:存在,F 点的坐标为(2,－3) 理由:易得D(1,－4),所以直线CD 的解析式为:3--=x y ∴E 点的坐标为(－3,0) 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得:AE ＝CF ＝2,AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F,坐标为(2,－3) 方法二:易得D(1,－4),所以直线CD 的解析式为:3--=x y ∴E 点的坐标为(－3,0) ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为(2,－3)或(―2,―3)或(－4,3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2,－3)符合

∴存在点F,坐标为(2,－3)

(3)如图,①当直线MN 在x 轴上方时,设圆的半径为

代入抛物线的表达式,解得

2171+=

R

②当直线MN 在x 轴下方时,设圆的半径为r(r>0), 则N(r+1,－r),

代入抛物线的表达式,解得

217

1+-=

r

∴圆的半径为217

1+或2171+-.

(4)过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q, 易得G(2,－3),直线AG 为1--=x y .

设P(x,322

--x x ),则Q(x,－x －1),PQ 22

++-=x x .

3)2(21

2⨯++-=

+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG