2018年全国初中数学联合竞赛初一组试题(A卷)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018-2019学年度七年级下数学竞赛试卷
第1页，共4页 第2页，共4页平罗四中2018-2019学年度七年级下数学竞赛试卷学号：_______ 姓名:_____ 班级: 分数：_____A 组基础题60分一、选择题：（每题4分，共32分）1、在平面直角坐标系中，点P （－5，8）位于( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、导火线的燃烧速度为0.8cm /s ，爆破员点燃后跑开的速度为5m /s ，为了点火后 能够跑到150m 外的安全地带，导火线的长度至少是( )A 、22cmB 、23cmC 、24cmD 、25cm3、不等式组⎩⎨⎧+-ax x x ＜＜5335的解集为4＜x ，则a 满足的条件是( )A 、4＜aB 、4=aC 、4≤aD 、4≥a4、下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相 平 行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等。
其中 真命题的个数是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、下列运动属于平移的是( )A 、荡秋千B 、急刹车时，汽车在地面上的滑动C 、风筝在空中随风飘动D 、地球绕着太阳转 6、一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )A 、2与3之间B 、3与4之间C 、4与5之间D 、5与6之间 7、已知实数x ,y 满足()0122=++-y x ，则y x -等于( )A 、3B 、－3C 、1D 、－18、要使两点()111,y x P 、()222,y x P 都在平行于y 轴的某一直线上，那么必须满足 （ ）A.21x x =B.21y y =C.21y x =D.21y y =二、填空题（每小题4分，共20分)9、已知a 、b 为两个连续的整数，且=+b a 。
10、若()0232=++-n m ，则n m 2+的值是______。
11、如图，已知a ∥b ，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上；若∠1=40°，则∠2的度数为 。
2018年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2018年初中数学联赛试题（北京）2018年初中数学联赛试题及答案详解说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第 二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相 应的分数．第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.设二次函数2222a y x ax =++的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当ABC △为等边三角形时，其边长为()A ．．D ．【答】C.由题设知2(,)2a A a --，设(,0),(,0)B x C x ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则12||BC x x =-=又AD =，则2||2a -=26a =或20a =（舍去）所以△ABC 的边长BC ==. 2.如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，115AB CAE =∠=︒，，则BE =()A ．C 1D 1 【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得∠BAF = ∠F AD = ∠AFB = ∠HEF =45︒，BF =AB =1，∠EBH = ∠ACB =30︒.设BE =x ，则HF =HE =2x，BH因为BF=BH+HF ,所以12x=，解得1BE x ==. 3.设p q ，均为大于3的素数，则使2254p pq q ++为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B设22254p pq q m ++=（m 为自然数），则22(2)p q pq m ++=，即(2)(2)m p q m p p pq --++= 由于p ,q 为素数，且2,2m q p p m q p q ++>++>，所以21m q p --=，2m q p pq ++=，从而2410pq p p ---=，即(4)(2)9p q --=，所以(p ,q )=(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p ,q )的个数为2. 4.若实数a ，b 满足2a b -=，()()22114a b ba-+-=，则55a b -=()A ．46B ．64C ．82D ．128【答】C.由条件()()22114a b ba-+-=得22332240a b a b ab a b ----+-=，即22()2[()4]()[()3]0a b a b ab a b a b ab ---++--+=又2a b -=，所以22[44]2[43]0ab ab -+++=，解得1ab =，所以222()26a b a b ab +=-+=33255223322()[()3]14,()()()82a b a b a b ab a b a b a b a b a b -=--+=-=+---=. 5.对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()@@@@x y z y z x ++()@@0z x y =的整数组(x ，y ，z )的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D()()()(@@@)x y z x y xy z x y xy z x y xy z x y z xy yz zx xyz =+-=+-+-+-=++---+，由对称性，同样可得()()@@@@.y z x x y z xy yz zx xyz z x y x y z xy yz zx xyz =++---+=++---+，所以，由已知可得0111 1.()()()x y z xy yz zx xyz x y z ++---+=---=-，即所以，x,y,z 为整数时，只能有以下几种情况：111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩所以，(x ,y ,z )=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组. 6.设11112018201920202050M =++++，则1M的整数部分是() A ．60B ．61C ．62D ．63 答案：B 因为1120185336120183333M M <⨯⇒>= 又111111()()201820192030203120322050M =+++++++11134513202030205083230>⨯+⨯=所以18323011856113451345M <=，故的整数部分为61.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB CE AB =⊥，于E ，F 为AD 的中点，若AEF ∠48=︒，则B ∠=． 【答】84°.设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形由AB ∥FG ∥DC 及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又CE ⊥AB ，所以CE ⊥FG ，所以FH 垂直平分CE ，故∠DF =∠GFC =∠EFG =∠AEF =48°.所以∠B =∠FGC =180248=84-⋅8.若实数x y ，满足()3311542x y x y+++=，则x y +的最大值为．【答】3.由3115()42x y x y 3+++=可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即22115()()42x y x xy y +-++= 令x y k +=，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0x y k +=> 又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以3115423k k xy k+==于是，x ,y 可看作关于t 的一元二次方程321154203k k t kt k+=-+=的两根，所以 化简得3211542()403k k k k+=∆=--⋅≥，化简得3300k k +-≤，即2(3)(310)003k k k k -++≤⇒<≤ 故x + y 的最大值为3.思路：从目标出发，判别式法，因式分解 9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为87876⨯⨯⨯⨯=18816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8876⨯⨯⨯=2688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504（个）.10. 已知实数a b c ，，满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则555a b c abc++=．答案：52由已知条件可得222233311[()()],322ab bc ac a b c a b c a b c abc ++=++-++=-++=，所以555222333233233233()()[()()()]a b c a b c a b c a b c b a c c a b ++=++++-+++++ 2222222222223[()()()]3()abc a b a b a c a c b c b c abc a b c a c b b c a =-+++++=+++3()abc abc ab bc ca =+++.所以55552a b c abc ++=第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分) 1.满足()2211x x x ++-=的整数x 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C当20x +=且210x x +-≠时，2x =- 当211x x +-=时，2x =-或1x = 当211x x +-=-且2x +为偶数时0x = 所以，满足条件的整数x 有3个 2.已知123x x x ，，(123x x x <<)为关于x 的方程()32320x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=() A ．5B ．6C ．7D ．8解析：方程即2(1)(2)0x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2131,2x x x =+=，故222112331311314()()412()15x x x x x x x x x x x -++=+-++=++=3. 已知点E F ，分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE EFB FBC =∠=∠，，则t a n ABF ∠=() A ．12B ．35C ．D解析：不妨设4CD =，则1,3CE DE ==设DF x =，则4,AF x EF =-作BH EF ⊥与点H ，因为,90,EFB FBC AFB BAF BHF BF ∠=∠=∠∠==∠公共，所以BAF BHF ∆≅∆，所以4BH BA ==由ABF BEF DEF BCE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++四边形得2111144(4)43412222x x =⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅，解得85x =所以1245AF x =-=，3tan 5AF ABF AB ∠==.4.方程()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令y 0y ≥，且29x y =- 解得1,6y or y ==，从而8x =-或27x =检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5.设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ，b ，c )的个数为() A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由已知得， 201720182017201820172018a bc b ac c ab +=+=+=，，，两两作差，可得12017012()()()(0170120170)(.)()a b c b c a c a b --=--=--=，， 由120()()170a b c --=，可得1,2017a b or c ==（1）当a b c ==时，有2201720180a a +-=，解得a =1，或20182017a =- （2）当 abc =≠时，解得12017a b ==，120182017c =- （3）当a b ≠时，12017c =，此时有：12017a =，120182017b =-，或120182017a =-，12017b = 故这样的三元数组(a ,b ,c )共有5个. 6.已知实数a ，b 满足3232351355a a a b b b -+=-+=，，则a b +=()A ．2B ．3C ．4D ．5【答】A.有已知条件可得331212()()()(1212)a a b b -+-=--+-=，，两式相加得33121121()()()()0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22211()[()()()2()11]0a b a a b b +-----+-+=因为2222()()()()[13111121(1)(1)4(202)a a b b a b b ----+-+=---+-+>所以20a b +-=，因此2a b +=.二、填空题：(本题满分28分，每小题7分) 7.已知p q r ，，为素数，且pqr 整除1pq qr rp ++-，则p q r ++=．【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr ++-==++-，由题意知k 是正整数，又,,2p q r ≥，所以32k < 而1k =，即有1pq qr rp pqr ++-=，于是可知,,p q r 互不相等.当2p q r ≤<<时，13pqr pq qr rp qr =++-<，所以3q <，故 2q =.于是2221qr qr q r =++-故2)23()(q r --=，所以21,23q r -=-=，即 3,5q r ==，所以，()(),,2,3,5p q r =. 再由 ,,p q r 的对称性知，所有可能的数组( ,,p q r )共有6组，即()()()()()() 2,3,5?2,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2.，，，，， 于是10p q r ++=. 8.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为22),(m n m n >，则221000m n m n +=-，即2()110(101)m n --= 又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以()21,1()1001,1m n --＝或(143,7)或 (91,11)(77,13)，验证可知只有()21,(1143,)7m n --=满足条件，此时2144,8m n ==. .9.已知D 是ABC △内一点，E 是AC 的中点，610AB BC BAD BCD ==∠=∠，，，EDC ∠=ABD ∠，则DE =．【答】4.1//2CD F DF DC DE AF DE AF ==延长至，使，则且 ,,,AFD EDC ABD A F B D ∠=∠=∠所以，故四点共圆，于是 10BFD BAD BCD BF BC BD FC ∠=∠=∠==，所以，且⊥，90.FAB FDB ∠=∠=︒故6AB AF =又，故，所以14.2DE AF ==已知二次函数()()222221450y x m n x m n =++++++的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m ，n)的个数为． 解析：16.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以222[()](22)144500m n m n ∆=++-++<，整理得 42449mn m n ++<，即()(5122)11m n ++<.因为,m n 为正整数，所以()(122.)15m n <++ 又12m +≥，所以25212n +<，故5n ≤. 当n=1时，1m +253≤，故223m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有8个；当n=2时，1m +5≤，故m ≤4，符合条件的正整数对(m,n)有4个； 当n=3时，1m +257≤，故187m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=4时，1m +259≤，故179m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个；当n=5时，1m +2511≤，故1411m ≤，符合条件的正整数对(m,n)有1个综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有8421116＋＋＋＋＝个第二试(A)一、(本题满分20分)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程210110x cx d --=的根， c ，d 为方程2100x ax b --=的根，求a b c d +++的值．解由韦达定理得1010a b c c d a +=+=，，两式相加得1)0(a b c d a c +++=+.因为a 是方程210110x cx d --=的根，所以210110a ac d --=，又10d a c =-，所以 211011100.a a c ac -+-=①类似可得211011100.c c a ac -+-=②①－②得)((1210)a c a c -+-=因为a c ≠，所以121a c +=，所以(11210)0a b c d a c +++=+=.二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB 中，9012AOB OA ∠=︒=，，点C 在OA 上，4AC =， 点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ． (1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ； (2)求2CE DE +的最小值．解 (1)分别过O ,E 作CD 的垂线，垂足为M ,N . 由6,8OD OC ==，得10CD =.所以(111101260222)DOCD DECD S S S CD OM EN CD OE =+=⨯+≤⨯=⋅⋅=当OE DC ⊥时，S 取得最大值60.683612=105EF OE OF ⋅=-=-此时，212,.OB G BG OB GC GE ==（）延长至点，使，连结 因为1,2OD OE DOE EOG OE OG ==∠=∠，所以ODE OEG ∽，所以12DE EG =故2EG DE =，所以2CE DE CE EG CG +=+≥C ,E ,G 三点共线时等号成立2CE DE +故的最小值为.三、(本题满分25分)求所有的正整数m ，n ，使得()33222m n m n m n +-+是非负整数．解：记()33222m n m n S m n +-=+，则()2222332222()[()3]3()()m n m n mn m n m n m n mn mn S m n m n m n m n m n ++--+-⎛⎫===+-- ⎪+++⎝⎭+,,(,?,,1).mnm n p q p q p q m n==+因为为正整数，故可令为正整数，且 于是222233()()q q pq q S m n m n p p p +=+--=+-因为S 是非负整数，所以2|p q ,11()() .|p q p m n mn ==+，又，故，即①所以2n mn n m n m n=-++是整数，所以2()|m n n +，故2n m n ≥+，即2n m n -≥ 332200.S m n m n +-≥≥又由，知②3223222³(.)n m n m m n m m n n m --≥≥=≥所以，所以³m n m n =由对称性，同理可得，故34|2 2.20 2.m n m m m n m m m =≥=≥-≤把代入①，得，则把代入②，得，即 2.m =故,2 2.m n m n ==所以，满足条件的正整数为，第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a ，b ，c 满足()11195555a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++= ⎪+-+-+-⎝⎭，求()111a b c a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭的值． 解：a b c x ab bc ca y abc z ++=++==记，，，则()111111555666a b c x a b c b c a c a b x a x b x c ⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪+-+-+----⎝⎭⎝⎭22323[312()36()](936)6()36()216536216x x a b x ab bc ca x x y x a b c x ab bc ca x abc x xy z -+++++-+==++++++--+- 结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得272xy z = 所以()111272xy a b c a b c z ⎛⎫++++==⎪⎝⎭.二、(本题满分25分)如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC △和CDE △都是等腰直角三 角形，AB AC DE DC ==，． (1)证明：AD BC ∥；(2)设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE．145,,ACB DCE BC EC ∠=∠=︒==解（）由题意知，所以,AC DCDCA ECB BC EC∠=∠=，所以ADC BEC ∆∆∽，故45DAC EBC ∠=∠=，所以DAC ACB ∠=∠，所以AD BC ∥（2）设AE x =，因为30ACE ∠=，可得,2,AC CE x DE DC === 因为90,EAP CDP EPA CPD ∠=∠=∠=∠，所以APE DPC ∆∆∽，故可得12APE DPC S S ∆∆=又22,=EPC APE AEC EPC DPC CDE S S S S S S x ∆∆∆∆∆∆+==+=，于是可得2(2DPC S x ∆=，21)EPC S x ∆=所以DPC EPC S DP PE S ∆∆==三、(本题满分25分)设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为1m x +，的各位数字之和为n ，并 且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数．求x ．( ,.) 2x abcd m n m n =解设，由题设知与的最大公约数为大于的素数 91,19(.)d n m m n d ≠=+==若，则，所以，矛盾，故()(9198,,829.)c n m m m n m c ≠=+-=-==若，则，故，它不可能是大于的素数，矛盾，故991()(99926,, 2613)b a n m m m n m =≠=+---=-==若，显然，所以，故，但此时可得13263936.n m n ≥=+≥>，，矛盾若9199()()17,,171717,34b n m m m n m n m ≠=+--=-====，则，故，只可能88999799.x =于是可得或。
2018年七年级(上)数学竞赛试题(含答案)
2018年七年级（上）数学竞赛试题（考试时间：70分钟 满分：100分）一、 选择题：（3分×15=45分）1. 2的相反数是 ( ) A. -2 B. 2 C.21 D.- 212．下列说法中，正确的是 （ ） （A ）a -是正数 （B ）a -不是负数 （C ）－a 是负数 （D ）－a 不是正数3. 在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是 （ ） A.－1 B.3 C.±2 D.－1或34.已知2ax =-的解为正整数，则整数a 的值有 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个5.计算：-25 ×（-4）-（-2.5）÷(-0.1)= ( ) (A)-125 (B) -75 (C) 125 (D) 75 6．一种零件的直径尺寸在图纸上是3002.003.0-+（单位：mm ），它表示这 种零件的标准尺寸是30mm ，加工要求尺寸最大不超过（ ） A.0.03 B.0.02 C.30.03 D.29.98 7．根据等式变形正确的是 （ ）． A ．由-13x=23y ，得x=2y B ．由3x-2=2x+2，得x=4 C ．由2x-3=3x ，得x=3 D ．由3x-5=7，得3x=7-58.a 是三位数,b 是一位数,如果把b 放到a 的右边,那么所成的四位数( ) A. ab B.1000a+b C. 10a+b D.a+b9．下列计算中，正确的是 （ ） （A ）(－1)2×(－1)5=1 （B ）－(－3)2=9（C ）31÷(－31)3=9 （D ）－3÷(－31)=9 10、如图,小明从家到学校有①②③三条路可走，每条路的长分别为c b a ,,，则（ ）A 、a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、a =b ＞cD 、a =b ＜c 11.下列四个式子中，是方程的是（ ）.（A ）3＋2 = 5 （B ）1x = （C ）23x - （D ）222a ab b ++12．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班人数x ，可列方程 （ ） A ． B ．C ．D ．13．在代数式2xy 中，x 与y 的值各增加1倍，则该代数式的值是原来的几倍( ) (A) 1． (B) 2 (C) 4 (D) 8 14、下列推理错误的是 （ ） A 、若a=b ，则a-3=b-3 B 、若a=b,则2211a bc c =++ C 、若x=2,则x 2=2x D 、若ax=bx ，则a=b15．如果某一年的5月份中，有5个星期五，它们的日期之和为80，那么这个月的4日是星期( )(A)日 (B)一 (C)三 (D) 五二、填空题（每小题3分，共30分）1.早春二月的某一天，大连市南部地区的平均气温为-30C ，北部地区的平均气温是-60C ，则当天南部地区比北部地区的平均气温高_________0C. 2．如果m,n 互为相反数，则：1m n -+= . 3.按照某中规律填写适当的数字在横线上:1,12-，13+，14-，_______,______.412.构造一个以为解的一元一次方程x5、120名学生去推车运土，规定每3名女生推一辆车，每2名男生推一辆车，共48辆车.设女生共推车x 辆，则所列方程为________________________。
2018年全国初中数学竞赛试题
2018年全国初中数学竞赛试题、选择题A 、3;B 、.13 ;C 、1 一 13 ;D 、4- J32二、填空题：6、如图所示，在△ ABC 中，AB=AC AD=AE / BAD=60,则/ EDC= ______________ （度）。
7、 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人口数 m n （单位：万 人）以及两个城市间的距离 d （单位：km ）有T=辱的关系（k 为常数）。
现测得A 、B 、C 三个城d市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知 A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t ，那么B C 两个城市间每天的电话次数为 ___________ 次（用t 表示）。
8、 已知实数 a 、b 、x 、y 满足 a+b=x+y=2 , ax+by=5，贝U （a +b ）xy+ab （x +y ）= ____。
9、 如图所示，在梯形 ABCD 中, AD// BC （ BO AD ） , / D=90°,BC=CD=12 / ABE=45 若 AE=10,贝U CE 的长度为 __________ 。
10、 实数 x 、y 、z 满足 x+y+z=5 , xy+yz+zx=3，贝U z 的最大值是 _.三、解答题:11、 通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化 的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数 y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集 中）。
当0W x w 10时，图象是抛物线的一部分，当 10W x <20和20W x <40时，图象是线段。
（1）当0w x < 10时，求注意力指标数 y 与时间x 的函数关系式；1、已知实数 a z b ,且满足（a+1） =3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2。
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
若关于 m 的方程有正整数解，则
9 4n(n 1) 8 (2 n 1)2 l 2 （ l 为正整数），
即 l 2 (2n 1)2 8,[ l (2n 1)][( l (2 n 1)] 8
４
l (2n 1) 8 l (2n 1) 4
所以
,或
，
l (2n 1) 1 l (2n 1) 2
解得： n
5 4
所以 PQ＝ yp
yQ
( a2
3a
4)
(a2
3a
4) ＝
2
2a
8
即当 a＝ 0（属于 -2≤ a≤2）时， PQ 的最大值为 8。
12．已知 a ， b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x 2 abx 1 ( a b) 2
把它们求出来；如果没有，请给出证明．
-4
Q
-6
B
-8
-10
0 是否有两个整数解？如果有，请
但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（
）
（ A ）14
（ B） 16
（C） 18
（D ）20
解：选（ B ）。只用考虑红球与黑球各有 4 种选择：红球（ 2,3,4,5 ），黑球（ 0,1,2,3 ）共 4× 4＝ 16 种
3．已知 a 、 b 、 c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ，
综上，存在正整数 a＝ 1， b=3 或 a=3， b=1，使得
方程 x 2 abx 1 (a b) 0 有两个整数解为 x1 1, x2 2 。 2
DE
13．如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的延长线上，且满足
人教版2018-2019学年七年级数学竞赛试卷A(含答案)
绝密★启用前2018-2019学年人教版七年级数学竞赛试卷A注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共6小题，4*6=24）1．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．62．如图，∠1=65°，∠2=85°，∠3=60°，∠4=40°，则∠5=（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．n个连续自然数按规律排成下表这样，从2003到2005，箭头的方向应为（）A．↑→B．→↑C．↓→D．→↓4．平面上六条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，则它们彼此截得不重叠线段有（）条．A．36 B．33 C．24 D．215．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+F=1D，则A×B=（）A．B0 B．1A C．5F D．6E6．将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（）A．只有一种B．恰有两种C．多于三种D．不存在第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共6小题，4*6=24）7．设p，q均为质数，且p+q=99，则p、q的积pq=．8．计算：[（11++）﹣（12++）]÷[（11﹣﹣）﹣（12﹣﹣）]=．9．某文具店只有8元一支和9元一支两种规律的钢笔，甲、乙两人到该店购买钢笔，已知两人购买的支数相同，且一共花费了172元，则每人在该店购买了支钢笔．10．假设a，b，c，d都是不等于0的数，对于四个数ac，﹣bd，﹣cd，﹣ab，考察下述说法：①这4个数全是正数；②这4个数全是负数；③这4个数中至少有一个为正数；④这4个数中至少有一个为负数；⑤这4个数的和必不为0其中正确说法的序号是．（把你认为正确说法的序号都填上）11．一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行12个单位长度后，向左爬行22个单位长度；再向右爬行32个单位长度后，向左爬行42个单位长度．这样一直爬下去，最后向右爬行92个单位长度后，向左爬行102个单位长度，到达A点则A点表示的数是．12．在密码学中，称直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25，现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为x1，x2，x3，x4，已知：整数x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是．三．解答题（共4小题，52分）13．（12分）某租赁公司拥有100辆汽车，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月公司需要维护费150元，未租出的车每辆每月公司需要维护费50元．（1）已知1月份每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）已知2月份的维护费开支为12900元，问该月租出了多少辆车？（3）比较1、2两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？（4）试推测，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？（第4问只要求写出结果，不要求写出推算过程）、（注：月收益等于该月的租金与维护费之差）．14．（12分）已知非负实数x，y，z满足，记W=3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．15．（14分）有三堆石子的个数分别为20、10、12，现进行如下操作：每次从三堆的任意两堆中分别取出1粒石子，然后把这2粒石子都加到另一堆上去．问：能否经过若干次这样的操作，使得（1）三堆石子的石子数分别为4、14、24；（2）三堆石子的石子数均为14．如能满足要求，请用最少的操作次数完成；如不能满足，请说明理由．16．（14分）在△ABC中，A（3，0），B（0，4），C（0，0）．（Ⅰ）已知AB的长可能是4，4，5，5，5，5，试通过测量或者估算，写出你认为正确的那个值（只须写出结果）；（Ⅱ）设P是△ABC内一点，且到三边的距离相等，试求点P的坐标（要写出过程）；（Ⅲ）坐标平面上到直线AB，BC，CA等距离的点一共有多少个？它们分别在哪些象限？如果第四象限存在满足条件的点，试求出它的坐标．（前两问只须写出结果，第三问要写出过程）参考答案1．解：根据图1可知，1和4，5点相邻，根据图2可知，1和2，3点相邻，∴图3中的下面为1，∴“？”处的数是6点．故选：D．2．解：如图，连接BC，在△EBC中，∠3+∠ECB+∠EBC=180°，∴∠ECB+∠EBC=180°﹣∠3=180°﹣60°=120°．在四边形ABCD中，∠1+∠2+∠4+∠EBC+∠ECB+∠5=360°，∴∠5=360﹣∠1﹣∠2﹣∠4﹣（∠EBC+∠ECB）=360°﹣65°﹣85°﹣40°﹣120°=50°．故选：B．3．解：从表中的图象可知2003=500×4+3，2004=（500+1）×4，2005=（500+1）×4+1，则2003是一组中的第四个数，2004是下一组中的第一个数，2005是第二个数．所以箭头方向为：→↓．故选：D．4．解：由题意得：有3条直线经过同一点，则每一条直线都被其他5条直线截成4段，此时共有4×6=24条线段，但是因为其中有3条直线经过同一点，那么就少了3条线段，所以它们彼此截得不重叠线段有24﹣3=21条．故选：D．5．解：∵A×B=10×11=110，110÷16=6余14，∴用十六进制表示110为6E．故选：D．6．解：1+2+…+13=91，分为两组，一组的和为x，另一组的和为x﹣10，x+x﹣10=91，x=，∵x为整数，∴没法分，故选：D．7．解：∵p+q=99，∴p，q为一个奇数、一个偶数，∵p，q均为质数，在所有偶数中只有2是质数，∴p=2或q=2，当p=2时，q=99﹣2=97；当q=2时，p=99﹣2=97，∴pq=2×97=194．故答案为：194．8．解：原式=[11++﹣12﹣﹣]÷[11﹣﹣﹣12++]，=（﹣+﹣）÷（﹣﹣﹣），=﹣÷（﹣），=．故此题应该填．9．解：设两人共买了x只8元的钢笔，y只9元的钢笔，每人买了n只（x、y、n均为整数），根据题意得：8x+9y=172①，x+y=2n②，由①②得：x=18﹣172，y=172﹣16n，因为xy均为整数，则x=18﹣172≥0，y=172﹣16n≥0，解得：9≤n≤10，因为n也为整数，则n=10．答：每人在该店购买了10支钢笔．10．解：假设a＞0，b＞0，c＞0，d＞0；则ac＞0，﹣bd＜0，﹣cd＜0，﹣ab＜0可以排除①②⑤．故答案为③④11．解：规定向右为正，向左为负，依题意，得12﹣22+32﹣42+…+92﹣102，=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（9﹣10）（9+10），=﹣（1+2+3+4+…+9+10），=﹣55．故本题答案为﹣55．12．解：（1）从题中知x1，x2，x3，x4是四个英文字母的明码，所以它们只是代码，与数字没有关系，不要被1，2，3，4混淆（2）从题中知a对应0，b对应1，…z对应25．（明码加1得到字母的序号）（3）计算x1，x2，x3，x4的数值．从“整数x1+2x2，3x2，x3+2x4，3x4除以26的余数分别为9，16，23，12”中找答案．首先发现3x4的余数是12这项比较好算，推测3x4可能是12，x4可能是4，x4可能代表“e”．然后根据x3+2x4除以26的余数是23，推测整个式子的数值可能是23，把x4的值代入，得到x3的值为15，代表p．3x2除以26的余数是16，而16无法被3整除，考虑16+26，即42，猜测x2为42除以3，得14，代表o同样方法可以推测x1的值为7，代表h（4）检验单词的正确性，hope合适．故答案为hope．13．解：（1）月租金为3600元时，未租出的车辆数为（3600﹣3000）÷50=12辆，故租出了100﹣12=88辆．（2）设2月份租出了x辆，则150x+50（100﹣x）=12900，解得x=79，因此2月份租出了79辆车．（3）1月份的收益为（3600﹣150）×88﹣50×12=303000元，2月份的月租金为3000+50×21=4050元，所以2月份的月收益为4050×79﹣12900=307050元，故2月份收益多，多4050元．（4）月租金为4050元时，收益最大．14．解：设=k，则x=2k+1，y=﹣3k+2，z=4k+3，∵x，y，z均为非负实数，∴，解得﹣≤k≤，于是W=3x+4y+5z=3（2k+1）﹣4（3k﹣2）+5（4k+3）=14k+26，∴﹣×14+26≤14k+26≤×14+26，即≤W≤．∴W的最大值是35，最小值是．15．解：设20个为A堆，10个为B堆，12个为C堆，（1）为达到用最少的操作次数完成，并且满足从两堆中取出，考虑思路是有两组石子的数目要降低，∴因此需以如下方式调配石子：X=10﹣﹣＞A=4 降6，Y=20﹣﹣＞B=14 降6，Z=12﹣﹣＞C=24 升12，∴需要6次，（2）不能满足，∵为达到三堆石子的石子数均为14，三堆石子需分别满足降6，升4，升2，意味着有两堆石子的数目要升高，这与题目不符，∴不满足．16．解：（Ⅰ）根据A（3，0），B（0，4），可以只计测量得出答案；也可以利用勾股定理求出：AB=5；（Ⅱ）由于点P在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，则设P（a，b），则S△P AB+S△PBC+S△PCA=S△ABC=6，即5a+4a+3a=12，所以a=1，故所求点P的坐标为（1，1）．（Ⅲ）一共有4个点，除上述P点外，还有三点，它们分别在第一象限，第二象限，第四象限．显然，第四象限的点可设为Q（b，﹣b），其中b＞0．由于S△QAB+S△QBC﹣S△QCA=S△ABC=6，所以5b+4b﹣3b=12，b=2，故所求点Q的坐标为（2，﹣2）．。
2018年全国初中数学联赛3(整理好)
2018年全国初中数学联赛试题第一试(A)一、选择题1．设二次函数y ＝x 2＋2ax ＋a 22的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C ．当△ABC 为等边三角形时，其边长为()A ．6B ．22C ．23D ．322．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，AB ＝1，∠CAE ＝15°，则BE ＝()A ．33B ．22C ．2－1D ．3－13．设p ，q 均为大于3的素数，则使p 2＋5pq ＋4q 2为完全平方数的素数对(p ，q )的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．44．若实数a ，b 满足a －b ＝2，(1－a )2b －(1－b )2a ＝4，则a 5－b 5＝()A ．46B ．64C ．82D ．1285．对任意的整数x ，y ，定义x @y ＝x ＋y －xy ，则使得(x @y )@z ＋(y @z )@x ＋(z @x )@y ＝0的整数组(x ，y ，z )的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46．设M ＝12018＋12019＋12020＋…＋12050，则1M 的整数部分是()A ．60B ．61C ．62D ．63二、填空题1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF ＝48°，则∠B ＝________．2．若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋14(x ＋y )＝152，则x ＋y 的最大值为________．3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为________．4．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 5＋b 5＋c 5abc＝________．第一试(B)一、选择题1．满足(x 2＋x －1)x ＋2＝1的整数x 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．42．已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 12＋x 22＋x 32＝()A ．5B ．6C ．7D ．83．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD ＝4CE ，∠EFB ＝∠FBC ，则tan ∠ABF ＝()A ．12B ．35C ．22D ．324．方程3＋9＋x ＝3x 的实数根的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．35．设a ，b ，c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a ，b ，c )的个数为()A ．4B ．5C ．6D ．76．已知实数a ，b 满足a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，则a ＋b ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题1．已知p ，q ，r 为素数，且pqr 整除pq ＋qr ＋rp －1，则p ＋q ＋r ＝________．2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为________．3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB ＝6，BC ＝10，∠BAD ＝∠BCD ，∠EDC ＝∠ABD ，则DE ＝________．4．已知二次函数y ＝x 2＋2(m ＋2n ＋1)x ＋(m 2＋4n 2＋50)的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对(m ，n )的个数为________．第二试(A)一、设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，求a ＋b ＋c ＋d 的值．二、如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝12，点C 在OA 上，AC ＝4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F ．(1)当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；(2)求CE ＋2DE 的最小值．三、求所有的正整数m ，n ，使得m 3＋n 3－m 2n 2(m ＋n )2是非负整数．第二试(B)一、若实数a ，b ，c 满足(a ＋b ＋c )(1a ＋b －5c ＋1b ＋c －5a ＋1c ＋a －5b )＝95，求(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )的值．二、如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB ＝AC ，DE ＝DC ．(1)证明：AD ∥BC ；(2)设AC 与DE 交于点P ，如果∠ACE ＝30°，求DP PE ．三、设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x ＋1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数，求x ．。
2018年七年级第一学期数学竞赛试题(含答案)
2018年七年级第一学期数学竞赛试题姓名一、选择题(每小题4分，共40分；)1、计算(-2)2007+(-2)2008所得结果是( )A. 2B. –2C. 1D. 220072、如果a 是有理数，代数式112++a 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43、已知x 和y 满足2x+3y=5,则x=4时,代数式3x 2+12xy+y 2的值是( ). A.4 B.3 C.2 D.14、如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3:00）开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有 ( ) A. 1次 B. 2次 C. 3次 D.4次5、对所有的数a, b, 把运算a ※b 定义为a ※b ＝ab －a+b. 则方程5※x=17的解是 ( ). A. 352 B.2 C. 332D.3 6、左图是立方体分割后的一部分, 它的另一部分为下列 图形中的 ( ).A. B. C. D.7、甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲连续两次降低10%，乙一次性降低20%，在哪家超市购买此种商品更合算（ ） A ．甲 B ．乙 C ．同样 D ．与商品价格相关 8、在桌子上放着五个薄圆盘, 如右下图所示. 它们由下到上放置的次序应当是 ( ).A.X, Y, Z, W, VB.X, W, V, Z, YC.Z, V, W, Y, XD.Z, Y, W, V, X 9、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如 图所示的立体图形，然后将露出的表面部分 染成红色．那么红色部分的面积为…( )．A.21B.24C.33D.37第9题10、若方程组142kx y x my -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则k 与m 的值分别为( )A.K=1，m=1B.k=2，m=1C.k=2，m=-2D.k=2，m=2二、填空题(每小题5分，共40分)11、在数轴上，－4与－6之间的距离是_______个长度单位。
2018七年级数学竞赛试卷(含答案)
七年级数学竞赛[总分(150＋20）分］一．选择题（每小题6分，共60分）1、有理数a 等于它的倒数，则a 2012是（ ）A 、最大的负数B 、最小的非负数C 、绝对值最小的整数D 、最小的正整数2、已知a 、b 、c 都是负数,并且│x-a │+│y+b │+│z-c │=0,则xyz 是( ).(A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数3、 (－0.125)2011×(－8)2012的值为（ ）A 、－4B 、4C 、－8D 、84、a 是三位数,b 是一位数,如果把b 放到a 的右边,那么所成的四位数( )A. abB.1000a+bC. 10a+bD.a+b5、当代数式x 2＋3x ＋5的值等于7时，代数式3x 2＋9x －2的值等于（ ）A 、4B 、0C 、－2D 、－46、蜗牛在井里距井口 1米处，它每天白天向上爬行30cm ，但每天晚上又下滑20cm ．蜗牛爬出井口需要的天数是（ ）A 、8天B 、9天C 、10天D 、11天7、据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是 [ ]A ．1B ．3.C ．7D ．98、若a=一20032004，b=-20022003，c=-20012002，则( ) A ．a<b<c B ． c<b<a C ．c<a<b D ．b<a<c9、设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为 ( )A 、5B 、4C 、3D 、210、一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是：（ ）A 、120元；B 、125元；C 、 135元；D 、 140元.二、填空题（每小题4分，共48分）11、—13的倒数的相反数是________； ●● ▲■●■ ▲ ●▲ ? (1) (2)(3)12、若|x+y －1|与|x —y+3|互为相反数．则(x+y)2001=13、如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=__________。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
最新-2018年全国初中数学竞赛试题 精品
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得0分）1. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6,12y x y x 的解的个数为（ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 42. 口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）（A ） 14 （B ） 16 （C ） 18 （D ） 203. 已知△ABC 为一锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与的△ADE 的外接圆的半径相等．则⊙O 一定经过△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ）重心 （D ） 垂心4. 已知关于x 的一元二次方程,02=++c bx ax 02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰好有一个公共实数根．则abc ca b bc a 222++的值为（ ） （A ） 0 （B ） 1（C ） 2 （D ） 35. 方程256323+-=++y y x x x 的整数解（y x ,）的个数是（ ） （A ） 0 （B ）1 （C ）3 （D 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA =4，点半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 则这两部分面积之差的绝对值是 ． 7．如图，点A ，C 都在函数)0(33>=x xy 的图象上， 点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形， 则点D 的坐标为 ．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ． 9．如图，n G F E D C B A =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠.90°， 则n = ． 10．已知对于任意正整数n ，都有++21a a (3)n a n =+则+-+-111132a a ···=-+11100a ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，—1）点P 是抛物线241x y =上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点 为Q ，连接NP ，NQ ．求证：∠PNM =∠QNM ．)12．已知a ，b 都是正整数，试问关于的方程0)(212=++-b a abx x 是否有两个 整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．13．如图，已知AB 为半圆O 的直径．点P 为直径上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ．且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．D C P A B M (第13题图) O ·14. （1）是否存在正整数m，n，使得)1nmm？+n=()2(+（2）设knkmm？+n=()(+ k(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得)1。