第十章 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

[题组自测] 1．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，
若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.
解析：X的取值为0,1,2,3，则 P(X＝0)＝CC313162＝2118；P(X＝1)＝CC212·31C6 14＝3730； P(X＝2)＝CC11213C6 24＝790；P(X＝3)＝CC13346＝1140， ∴E(X)＝0×2118＋1×3730＋2×790＋3×1140＝34.
答案：34
2．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到1个黑 球得0分，取到1个红球得2分，则所得分数X的数学期 望E(X)＝________.
解析：由题得X所取得的值为0或2，其中X＝0表示取得
的球为2个黑球，X＝2表示取得的球为1黑1红，所以
P(X＝0)＝
C23 C42
＝
1 2
，P(X＝2)＝
解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6，
P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝3)＝16，P(ξ＝4)＝16，P(ξ＝6)＝13，
所以ξ的分布列为：
ξ 1 34 6
P
1 3
1 6
1 6
1 3
(2)E(ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．
4．(2010·北京高考)某同学参加3门课程的考试．假设该同
解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.
由题意知P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ
＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概
率是1－P(ξ＝0)＝1－1265＝111295.
(2)由题意知P(ξ＝0)＝P(
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差 的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差， 并能解决一些实际问题．
2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特 点及曲线所表示的意义
[理 要 点] 一、均值 1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 的 平均水平．
三、正态分布 1．我们称φμ，σ(x)＝
1 2π
( x )2
σe
2 2
，x∈(－∞，＋∞)
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足
b
P(a＜X≤b)＝aφμ，σ(x)dx，则称X 的分布为正态分
布，正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布
常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则
[究 疑 点] 1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是
怎样的？ 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均 值，方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样 本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的 均值与方差．
2．正态分布中的3σ原则是指什么？
提示：指正态总体取值在区间(u－σ，u＋σ)，(u－2σ，u ＋2σ)， (u－3σ，u＋3σ)内的概率值，即 P(u－σ<X≤u＋σ)＝0.6826，P(u－2σ<X≤u＋2σ)＝0.9544， P(u－3σ<X≤u＋3σ)＝0.9974，取值落在三个区间以外的 可认定为小概率事件．
n
(xi－E(X))2pi
离程度，而D(X)＝ i＝1
为这些偏离程度的加权平
均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的 平均偏离程度 ．称
D(X)为随机变量X的方差，
其 算术平方根 DX 为随机变量X的标准差．
2．D(aX＋b)＝ a2D(X) ． 3．若X服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p)． 4．若X～B(n，p)，则D(X)＝ np(1－p)．
学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4 5
，第二、第三门
课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课
程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成
绩的课程数，其分布列为
ξ 0 12 3
P
6 125
ab
24 125
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p，q的值； (3)求数学期望E(ξ)．
2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 且E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
3．①若X服从两点分布，则E(X)＝ p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝ np.
二、方差 1．设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则 (xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，……，n)相对于均值E(X)的偏
记为X～N(μ，σ2)．
3．正态曲线的特点： (1)曲线位于x轴 上方 ，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
(3)曲线在
x＝μ
处达到峰值
σ
1 2π
；
(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越 “ 瘦高 ”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线 越“ 矮胖 ”，表示总体的分布越 分散 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C13 C24
＝
1 2
，故E(X)＝0×
1 2
＋
2×12＝1.
答案：1
3．(2010·江西高考)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人 都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即 等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小 时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3 小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开 一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走 出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．
A
1
A
2
A
3)＝
1 5
(1－p)(1－q)＝
6 125
，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝45pq＝12245.
整理得pq＝265，p＋q＝1. 由p>q，可得p＝35，q＝25. (3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2 A 3)＋P( A 1 A 2A3) ＝45(1－p)(1－q)＋15p(1－q)＋15(1－p)q＝13275. b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝15285. E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝95.