二次函数解析式及图形变换学而思培优

第五讲

二次函数解析式及图形变换

一、二次函数解析式

四种形式：①一般式：()20y ax bx c a =++≠；

②顶点式：()2

y a x h k =-+或()2

24024b ac b y a x a a a -⎛

⎫=++

≠ ⎪⎝

⎭； ③交点式：()()12y a x x x x =--()0a ≠其中12x x ，是方程20ax bx c ++=的两个实根。

④对称点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)＋b (a ≠0)，其中x 1，x 2是两个对称点的横坐标，b 是对称

点纵坐标。

二、抛物线的平移、对称与旋转

①平移：“左加右减，上加下减”。

②对称：关于x 轴对称：2y ax bx c =++的图象x 轴对称后得到图象的解析式是

2y ax bx c =---。

关于y 轴对称：2y ax bx c =++的图象y 轴对称后得到

图象的解析式是2y ax bx c =-+。

关于原点对称：2y ax bx c =++的图象原点对称后得

到图象的解析式是2y ax bx c =-+-。

三、二次函数与一元二次方程

1．求二次函数2

y ax bx c =++与直线y kx m =+的交点，联立方程组2y ax bx c

y kx m ⎧=++⎨=+⎩

求解。

2．求二次函数2

111y a x b x c =++与2

222y a x b x c =++的交点，联立方程组2

111

2

222

y a x b x c y a x b x c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩求解。 板块一 二次函数解析式

【例1】 ⑴ 下列说法不正确的是（ ）

A ．抛物线23y ax bx =+-与y 轴的交点为()03-，

B ．抛物线2221y ax ax a =-+-的对称轴为1x =

C ．抛物线()21y ax a m x ma =-++与x 轴的交点为()0m ，

和()10， D ．抛物线()2

y a x x π=+-的顶点坐标为()x π--，

⑵（2009三帆单元测试）已知抛物线2y ax bx c =++经过点()10A -，

，且经过直线3y x =-与 x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ，则抛物线的解析式为 。

⑶（2007朝阳二模）已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠的顶点在直线1

12

y x =--上，当且仅当

04x <<时，0y <，则抛物线的解析式为 。

【例2】 （2008年湖州市）对于二次函数2y ax bx c =++，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，

那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：222y x x =++）。

⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式 。（不必证明）

⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1

2

的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线

的解析式；若不存在，请说明理由。

【例3】 已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线

2x =，且它的最高点在直线1

12

y x =

+上。 ⑴求此二次函数的解析式；

⑵若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线1

12

y x =

+上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM S ∆=，求这时的二次函数的解析式。

板块二 抛物线的平移、对称与旋转

【例4】 ⑴（2007浙江台州）在同一坐标平面内，图象不可能．．．

由函数2

21y x =+的图象通过平移变换、 轴对称变换得到的函数是（ ） A ．22(1)1y x =+-

B ．223y x =+

C ．221y x =--

D ．2

112

y x =

- ⑵（2010桂林）将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180︒，所得抛物线的解析式是（ ）

A ．221216y x x =--+

B ．221216y x x =-+-

C ．221219y x x =-+-

D ．221220y x x =-+-

⑶（2010年兰州）抛物线2y x bx c =++图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图

象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ） A ．22b c ==， B ．20b c ==，

C ．21b c ==-，

D ．32b c =-=，

⑷（2010陕西省）将抛物线C ：2310y x x =+-，将抛物线C 平移到C '。若两条抛物线C ，

C '关于直线1x =对称，则下列平移方法中正确的是（ ）

A ．将抛物线C 向右平移5

2

个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位

C ．将抛物线C 向右平移5个单位

D ．将抛物线C 向右平移6个单位

【例5】 （2009石景山二模）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(03，，以点C 为顶点的抛物

线2y ax bx c =++恰经过x 轴上的点A 、B 。

⑴求点C 的坐标；

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式。

y x

O D

C

B

A