高等数学第三章

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s 与时间变量t 之间的函数关系为

)(t s s =，当t 从t 变化到t t ∆+时，在间隔t ∆内的平均速度为

t

t s t t s ∆-∆+)

()(，此式只反

映了在t 点附近速度变化的快慢程度，即为t 时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使0→∆t ，即t 时刻瞬时速度为t

t s t t s t v t ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(0，也即瞬时速度反映函数

)(t s s =在t 时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线)(x f y =的切线斜率x

y

d d 是纵坐标y 对横坐标x 的变化率，这是导数的几何 意义；

⑵ 电流强度

t Q

d d 是电荷Q 对时间t 的变化率； ⑶ 线密度l m

d d 是质量m 对长度l 的变化率；

⑷ 比热容θ

Q

d d 是热量Q 对温度θ的变化率，

以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．

问题2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？

解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件． 函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数)('0x f -与右导数)('0x f +存在并且相等，即

)(')(')('000x f x f x f +-==

因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：

⑴ 直接用定义；

⑵ 求左、右导数看其是否存在而且相等．

当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往

往比较方便．

2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则． 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：

还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题． 例如，有一定义于),(+∞-∞的函数

⎩⎨

⎧+∞<<ψ≤<∞-ϕ=,

),(,

),()(x a x a x x x f 其中)(x ϕ与)(x ψ分别在区间a x ≤<∞-与+∞<

)('x f ．

⑴ a x <<∞-时，由于)()(x x f ϕ=，所以)(')('x x f ϕ=； ⑵ +∞<

⑶ 在a x =的左、右邻域，由于)(x f 要从两个不同的表达式)(x ϕ与)(x ψ去计值，所以求)('a f 必须先用左、右导数的定义求)('a f -与)('a f +．如果它们都存在而且相等，那么)('a f +=)('a f -=)('a f ．在这里特别注意求左、右导数要按照定义

x

a x a x a f x a f a f x x ∆-∆+=∆-∆+=--

→∆→∆-)

()(lim )()(lim )('00ϕϕ，

x

a x a x a f x a f a f x x ∆-∆+=∆-∆+=++→∆→∆+)

()(lim )()(lim )('00ψψ．

我们不要因为当a x ≤<∞-时，)()(x x f ϕ=而认为)(')('a a f ϕ=. 在a

x <<∞-

时，)(')('x x f ϕ=是对的，这在上面已经说过但不能误认为)('a ϕ就是)('a f ，有时)('a f 可能不存在，如下例所示：

证明函数

⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1

,1,1

)(2x x x x x f ，

在1=x 处的导数不存在．

因为

2)2(l i m 1

)1(l i m )1()1(l i m )1('0200=∆+=∆-∆+=∆-∆+=-

--→∆→∆→∆-x x

x x f x f f x x x ， 1)11

(lim 1

11

lim )1()1(lim )1('000-=∆+-=∆-∆+=∆-∆+=+++→∆→∆→∆+x

x x x f x f f x x x ，

所以)1('f 不存在．

问题3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什

么？

解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．

复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导． 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．

例1

设)1(sin ln 2

x y =，求'y .

解 令u y ln =，2

v u =，w v sin =，x w 1=，由复合函数求导法则有

x w v u x w v u x w v u w v u y y )'1()'(sin )'()'(ln '''''2⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

x x x x x x

x

w v u 1

c o t 2)1(1c o s 1s i n 21s i n

1

)1(c o s 212222-=-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=

， 如果不写中间变量，可简写成 x x x x x x x x x

x

y )'1(sin 1sin 21sin )'1(sin 1sin 1

)'1sin

(ln '222

2

⋅⋅=⋅==