2-2 复数域数学模型-传递函数

同样求出
两端进行拉氏反变换，得
1 10 3t 2 t y (t ) 4e e 3 3
三 传递函数的概念和表达形式
1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般形式为：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
1
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
分母 D(s) a0 s a1s
n
n1
an1s an
称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为 系统的阶次。 D(s)=0称为系统的特征方程。
传递函数的三大表达形式：
b 0s m b1s m 1 b m-1s b m G(s) a 0s n a1s n 1 a n-1s a n
例6.已知系统的微分方程式为：
d 2 y (t ) dt 2'
并且设：
y(0) 1, y (0) 2
dy(t ) 5 6 y (t ) 2 dt
，试求微分方程的解。
解：方程两边进行拉氏变换 2 2 ' s Y (s) sy(0) y (0) 5sY (s) 5 y(0) 6Y (s) s 微分性质 代入初始值变换形式可得

s 0
1
3
s 2 7s 2 b 4 s( s 3) s 2
s 2 7s 2 10 c s( s 2) s 3 3
1 4 10 所以： Y ( s) 3s s 2 3( s 3)
两端进行拉氏反变换，得
1 10 y (t ) 4e 2t e 3t 3 3
如果使用比较系数法： 通分后令 (a b c)s2 (5a 3b 2c)s 6a s 2 7s 2
比较系数得
a b c 1 5a 3b 2c 7 6a 2
1 10 解得：a b4 c 3 3 1 4 10 Y ( s) 3s s 2 3( s 3)
m
因式分解
b0 ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) K* a0 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
零极点增益形式
*
(s-z )
i 1 n i i=1
各项提取a0
s (s-pi )
首1形式
根轨迹形式
b0 K 为根轨迹增益 a0
※电气网络的运算阻抗与传递函数 (重要)
（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响 应，反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的 传递函数，两者有一一对应的关系。 （6）同形性： G(s) 虽描述了输出输入间的关系， 但它不提供任何该系统的物理结构。物理性质截然 不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。
（7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。 （ 8）有理性：传递函数为有理真分式函数。即 m 小于等于n。
L[ f (t )] e F (s)
s
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
L[e f (t )] F ( s a)
at
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 1 L 氏反变换。记为 [ F (s)] 。由F(s)可按下式求出
在零初始条件下求系统或环节的传递函 数，只需要将微分方程中变量的各阶导数用 s 的相应幂次代替就行了，因此从微分方程 式求传递函数非常容易。经过变换后，我们 把一个复杂的微分方程式变换成了一个简单 的代数方程。
传递函数的第二种表达形式
各项提取bm
b0s m b1s m 1 b m-1s b m G(s) a 0s n a1s n 1 a n-1s a n ( ais 1) ( s 2 bi bis 1)
四 传递函数的建立
方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法： （1）列写元件或系统的微分方程； （2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；
（3）取输出与输入的拉氏变换之比。
例7 对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。
例9 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动 的力学系统。图中，m为物 体的质量，k为弹簧系数，f 为粘性摩擦系数， F(t) 为物 体受到的外作用力， y(t) 为 物体的位移。试求传递函数
本节内容
• 拉式变换 • 拉式反变换 • 传递函数的概念和表达形式
• 系统传递函数的建立
• 典型环节的传递函数
2-2 传递函数
一 拉氏变换
t 0时有定义，设 • 1.定义：设函数 f(t)当 st F ( s) L f t f ( t ) e dt
2 2 ( ai s 1) ( bi s 2 bi bis 1) i 1 2 2 s (Tci s 1) (Tdi s 2 di Tdis 1) i=1 i=1 u


i 1


b0 ( s z1 )( s z2 ) ( s z m ) a0 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
2-2 复数域数学模型—传递函数
教学目的
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。 教 学 难 点 对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 注重微分方程同传递函数的对比。 意事项
0
原函 数
且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f t L1 F (s)
象函数
• 2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t ) (t ) 的拉氏变换。
F (s) (t )e dt (t )e dt e
。
3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
(t )
1(t )
F(s)
f(t)
sin t
1
1 s
F(s) s2 2
s s2 2

( s a)2 2
cost
t

1 s2
1 sa
e sin t
at
e
at
e cos t
at
sa ( s a)2 2
s 2 7s 2 Y ( s) 2 s( s 5s 6) s( s 2)(s 3) s 2 7s 2
s 2 7s 2 a b c 设 Y ( s) s(s 2)(s 3) s s 2 s 3
s2+7s+2 其中： a (s+2)(s+3)
K*
(s-z )
s (s-pi )
i=1 i 1 n i
m
传递函数的零极点分布图
s 0.5 传函 G(s) 的零极点分布图 ( s 1)( s 2)
2.传递函数的性质
（ 1 ）对应性：传递函数与微分方程一一对应。 d s 如果将 置换，传递函数 微分方程 dt （ 2 ）固有性：传递函数表征了系统本身的动态 特性。传递函数只取决于系统本身的结构参数，而 与输入等外部因素无关，可见传递函数有效地描述 了系统的固有特性。 （ 3 ）局限性：只反映零初始条件下输入信号引 起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。 （4）唯一性。
返回例6
(4)终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
(5)初值定理
lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
(6)时间比例尺(相似)定理
t L[ f ( )] aF (as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟，则其象函数应乘以 e 。
Y(s)/F(s)。
f
解：已求得系统的微分方程形式为
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
两边进行拉氏变换，可得
ms Y (s) fsY (s) kY (s) F (s)
2
取输出与输入的拉氏变换之比
Y ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c (t ) an 1 c (t ) an c (t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
•4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
1 1 1 L[ f (t )dt ] F (s) f (0) s s
(2)积分性质 (3)微分性质
L[ f n (t )] sn F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)