数学高效课堂导学案-函数的概念
高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》集体备课导学案
【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
一、预习导入阅读课本60-65页，填写。
1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( ) 2．函数y ＝1x ＋1的定义域是 ( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2＋1，则f ( f (－1))＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√xx ,g(x)=√x ;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域:(1)y=(x+2)|x |-x ; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x . 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x 的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x； ④y ＝2x －√x −1.跟踪训练五1.求下列函数的值域： (1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2.1．对于集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤3}，由下列图形给出的对应f 中，不能构成从A 到B 的函数有（ ）个A.1个B.2个C.3个D.4个2．函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <13．函数f （x ）=√x−1x+3的定义域为 A ．{x|1≤x <3或x >3} B ．{x|x >1} C ．{x|1≤x <2} D ．{x|x ≥1}4．已知函数f (2x +1)的定义域为(−2,0)，则f (x )的定义域为（ ） A.(−2,0)B.(−4,0)C.(−3,1)D.(−12,1)5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）A ．()()2,2f x x g x x =-=-B ．()()32,f x x g x ==C ．()()22,2x f x g x x x=+=+D ．()()22,1x x x f x g x x x-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．7．已知函数8()2f x x =-（1）求函数()f x 的定义域； （2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域： （1）f （x ）=211x x -+；（2）f （x ）=x ．答案小试牛刀1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究 例1 【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 跟踪训练四【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−√2-x+1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32.∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 例5【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测1-5．CADCD 6．(,1)(1,5]-∞7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞. （2）()8223122f -=+-+=---，()8663562f =+=-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–54，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=()2131x x +-+=2–31x +，所以f （x ）≠2， 所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（21x +（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）． 因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=12∈[0，+∞），所以当t=12时，y取得最小值为–54，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–54，+∞）．。
《函数的概念》导学案
第1课时函数的概念1.通过具体实例,理解函数是从一个数集到另一个数集上的对应,理解函数的概念和数学符号表示,了解构成函数的三要素.2.理解函数定义域、值域的概念,会求一些简单的函数的定义域、函数值.我们知道高速路上匀速行驶的车辆行驶的路程与时间成正比,每天的气温也随时间的变化而变化.现实生活中存在着许多相互依赖的两个变量之间的关系的数学模型,我们称之为函数关系.你学习过哪些函数?问题1:我们在初中学习过函数.函数的定义是一个变量随着另一个变量的变化而发生变化,具体我们学习过函数、函数和函数.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应法则f,使对于集合A中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素: 、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.问题4:如何求函数的定义域?函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示.求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为;②偶次根式的被开方数;③0次幂的底数不能为;④实际问题中定义域要由确定.对函数概念的理解(1)下列式子:①x2+y2=2;②-+-=1;③y=-+-.能确定y是x的函数的是.(2)与函数y=x+1相等的函数是.①y=(x+1)0; ②y=t+1;③y=()2; ④y=|x+1|.函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:;(1)f(x)=-(2)f(x)=-(a为不等于0的常数).(2014年·上海卷)设常数a∈R,函数f(x)=-+-,若f(2)=1,则f(1)= .考题变式(我来改编):参考答案知识体系梳理问题1:一次二次反比例问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A 自变量定义域函数值值域问题3:(1)①非空数集②唯一确定定义域对应法则值域(2)定义城对应法则定义域对应法则问题4:①0②非负③0④实际意义重点难点探究探究一:【解析】(1)①由x2+y2=2,得y=±-,每给一个定义域内的x值可能有两个y 值与之对应,因此它不能确定y是x的函数.②由-+-=1,得y=(1--)2+1,所以当x在{x|x≥1}中任取一个数时,有唯一确定的y值与之对应,故由它可确定y是x的函数.③由--得x∈⌀,故由它不能确定y是x的函数.(2)①、③选项中定义域与y=x+1不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)②(2)②【小结】(1)紧扣函数的定义知函数的定义域非空,对于定义域内的任意一个x有唯一的元素y与x对应;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有①分式的分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.全新视角拓展【解析】由题意f(2)=1+-=1,则a=4,f(x)=-+-,所以f(1)=-+-=3.【答案】3思维导图构建唯一定义域、值域、对应法则定义域对应法则。
函数的概念-导学案
1.2.1函数的概念（第一课时）[预习内容]:认真阅读教材 P 15—18页。
深入理解本节的学习目标及重难点，认真独立完成本节的题目。
一．教学目标:1. 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；2. 了解构成函数的要素；3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
重点：函数的概念；难点：对抽象符号()x f 的理解。
二．自学引入;1、初中学过函数的概念----你能叙述吗？函数有哪几种表示方法?初中学过哪些具体函数?例如：思考(1)1=y 是函数吗？(2)函数x y =与xx y 2=是同一个函数吗? 现在从集合的对应关系进一步学习函数及其构成。
2、阅读教材15-16页三个函数实例完成填空由实例一可知：对于数集 任一时间t 按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的高度h 和它对应.由实例二可知：对于数集 每一时刻t 按照对应关系 在数集 中都有唯一确定的臭氧洞面积s 和它对应.由实例三可知：对于数集 每一时刻按照按对应关系 在 数集 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应.以上三个实例有什么不同点 其共同点是：3、从集合的观点叙述函数的概念。
一般地，设A ，B 是__________数集，如果按照__________________________，使对于集合中A __________________，在集合B 中都有________________________，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的 .显然，值域是集合B 的子集.4、概念理解概念巩固(1)1=y 是函数吗？(2)函数x y =与xx y 2=是同一个函数吗? （3）一次函数的定义域 值域反比例的定义域 值域 值域(4)要使函数y ，∴此函数的定义域为________． (5)还要有实际意义；一种练习本的单价为0.6元，买本子的个数x 与应付钱数y 之间的函数关系为________，其中x 的允许取值范围是________． 5、函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么就称这两个函数相等．(1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就 故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则．如y ＝1与y ＝x x不是相等函数，因为 y ＝3t ＋4与y ＝3x ＋4是相等函数，因为(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．6．阅读教材P17填表.上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，如{x |a ＜x ≤b }＝(a ，b ]，{x |x ≤b }＝(－∞，b ]．（1）实数a ，b 都叫相应区间的 。
高中数学《函数的概念》导学案
第一章 集合与函数概集合 1.2.1 函数的概念一、学习目标1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素；2.会判断给出的两个函数是否是同一函数；3.能正确使用区间表示数集，会求函数定义域、值域及函数相等的判断。
【重点、难点】重点：理解函数的概念，用区间符号正确表示数的集合；难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解，求函数定义域和值域。
二、学习过程【情景创设】初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
【导入新课】问题1：对教科书中第15页的实例(1)，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 的范围)解:h(1)= ，h(5)= ， h(10)= ， h(20)= 炮弹飞行时间t 的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系21305h t t =- （*）。
从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。
问题2：对教科书中第15页的实例(2)，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为2000万平方千米？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用图像刻画变量之间的对应关系)。
例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。
3.1.1 函数的概念第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§3．1．1 函数的概念导学目标：1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．（预习教材P59~ P66，回答下列问题）回忆：初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数；其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数的值域。
情景：请同学们考虑以下两个问题：①1y=是函数吗？②y x=和2xyx=是同一个函数吗？为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：问题一：某“复兴号”高速列车加速到350km后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为350S t=．①思考1：有人说：“根据对应关系350S t=，这趟列车加速到50/km t后，运行1h就前进了350km．”你认为这个说法正确吗?本题中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。
显然，工人一周的工资w （元）和他一周工作天数d （天）的关系可表示为350w d ．②思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t 的空气质量指数的值I ？思考3：本题中变量I 是变量t 的函数吗？问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。
北师大版必修一数学2.1函数的概念导学案
数学 学科导学稿 执笔人：王广青 总第
学生：
课时
包级领导签字： 集体备课
上课时间：2013.9 个人空间
一、课题：2.1
函数的概念
二、学习目标 1. 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础 上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应关系在刻画函数概念中的 作用； 2. 了解构成函数的要素； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合 三、教学过程 【温故知新】 问题 1、你初中学习过哪些函数，试着写在下面。 问题 2．什么是函数？从集合的观点叙述函数的概念。 问题 3．什么叫定义域，值域？
{ f ( x ) x A} 叫做函数的
2、 函数的本质： f : A B (在对应关系 f 下，集合 A 到集合 B 的一种对应). 3、函数的构成要素：_________________________________ 4.区间的概念(看课本理解填空) 定义 名称 符号 几何表示 {x|a≤x≤b} {x|a＜x＜b} {x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b}
反 思 栏
2
x - 3 1 x
【检测反馈】 1.求下列函数的值； （1） f x 5x 3 ，求 f 3 ；
3 2
（2） g t 4t 2t 7 ，求 g 2
（3） F u u ， M u 6u u 3 ，求 F(3)+M(2) 2.求下列函数的定义域； （1） y
1 5 ;（2） y x 2 ;（3） y . x3 1 x 2
3、 某山海拔 7500m，海平面温度为 25℃，气温是海拔高度的函数，而且 高度每升高 100m,气温下降 0.6℃.请你用解析表达式表示出气温 T 随海拔高 度 x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域.
【新导学案】高中数学人教版必修一：121《函数的概念》(1)(2).doc
2. 已知 y = f ⑴ =&- 2 , t （ 1） 求 r（ 0） 的值 ; （ 2） 求/ ⑴的定义域； （ 3） 试用 x 表示 y.
A.
-2 B. -1 C. 1
D. 2
4. 函数 y = x 2 ,XG {-2,-1,0,1,2} 的值域是 __________.
2
5. 函数 y =-- 的定义域是 __________________________, 值域是 _______________
( 用区间表示 )
心…丄拓展提升】
关系？三个实例
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集力屮的每一个
定的 y 和它对应，记作： ￡ATB.
x,按照某种对应关系在 数集〃屮都与唯一确
新知：函数定义 . 设儿〃是非空数集，如果按照某种确定的对应关系使对于集合 / 中的任意一个数兀，在集 合 B中都有唯一确定
的数 /（ x） 和它对应，那么称 f ATB 为从集合 A到集合 B的一个函数 （ /unction） ,记作： y = /'（ x）, XG A. 其中， x 叫自变量，无的取值范围力叫作定义域 （ domain） ,与兀的值对应的 y 值叫函数值，函数 值的集合
(2) { 无| 兀 vO 弧>1}= __________.
(3) 函数 y=旅的定义域 _____________,
值域是 ___________ .( 观察法 ) 探典型例题
例 1 已知函数 f ( X ) = Vx + 1 . (1) 求于⑶的值 ; (2) 求函数的定义域 ( 用区间表示 ) ； (3) 求 f(a 2-}) 的值 .
导数的四则运算法则高效课堂导学案
导数的四则运算法则高效课堂导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 三大段一中心五环节高效课堂—导学案制作人：张平安修改人：审核人：班级：姓名：组名：课题第十课时导数的加法与减法法则学习目标、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线学习重点函数和、差导数公式的应用学习难点函数和、差导数公式的应用学法指导探析归纳，讲练结合学习过程一自主学习复习：导函数的概念和导数公式表。
.导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为3.导函数:如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，4.求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝5.常见函数的导数公式：；探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即证明：令，，∴，即．二师生互动例1：求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。
例2：求曲线上点（1，0）处的切线方程。
三、自我检测课本练习：1、2.补充题：1、求y＝x3＋sinx的导数．2、求y＝x4－x2－x＋3的导数．四、课堂反思、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？五、拓展提高课本习题2-4：A组2、3B组2www.5ykj.com。
高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.4 函数的表示方法课堂导学案
2.1.4 函数的表示方法课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】 已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥+.012,012x x x x(1)求f(1),f(-2),f(a 2+1),f ［f(0)］的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a 2+1)=(a 2+1)2+1=a 4+2a 2+2,f ［f(0)］=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.（2）f ［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f ”这个对应法则，求f ［f(x 0)］的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】 （1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(x +4）=x+8x ,求f(x 2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x 2).解析：（1）∵f(x)是二次函数，设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).由f(0)=1得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.由恒等式原理知⎩⎨⎧=+=,0,22b a a ∴⎩⎨⎧-==.1,1b a ∴f(x)=x 2-x+1.(2)设t=x +4.∴x =t-4(t ≥4).由f(x +4)=x+8x 可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t 2-16(t ≥4）.∴f(x)=x 2-16(x ≥4）.∴f(x 2)=x 4-16(x ≥2或x ≤-2）.温馨提示在（2）中求f(x 2)，千万不能直接代入f(x +4)=x+8x ，得f(x 2)=x 2+8|x|，这是没明白x 2与x +4有同等地位，都执行“f ”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x 克（0<x ≤100)的信应付多少分邮资？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解析：设每封信的邮资为y ，则y 是信件重量x 的函数.这个函数关系的表达式为f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈],100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x函数值域为{80，160，240，320，400}.在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.温馨提示用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x 和函数y 的取值是否具有实际意义.各个击破类题演练 1已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N *时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；变式提升 1已知x∈N *,f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5x x f x x 则f(3)=__________. 解析:∵f(x)= ⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5x x f x x∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练 2(2004湖北卷高考理，3)已知f(x x +-11)=2211xx +-，则f(x)的解析式可取为（ ） A.21x x + B.-212x x + C.212x x + D.-21xx + 解析：设x x +-11=t ，则x=tt +-11. ∴f(t)=)11(1)11(12tt t t +-++--=2224t t +=212tt + 即f(x)=212x x +，故选C. 答案：C变式提升 2已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ(31)=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式. 解析：设f(x)=k 1x,g(x)=x k 2,则φ(x)=k 1x+xk 2, ∵φ（31）=16，φ(1)=8, ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,8,33162121k k k k 解得⎩⎨⎧==,5,321k k ∴φ（x ）=3x+x5. 类题演练 3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y ，所走千米数设为x ，试写出y=f(x)的表示式.解析：当0<x ≤4，y=10.当4<x ≤20时，y=10+(x-4)×2=2x+2.当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.综上所述，y 与x 的函数关系为y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<).20(22.2),204(22),40(10x x x x x变式提升 3如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BC 、CD 、DA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x,△ABP 的面积为y=f(x).(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值.解析：函数定义域为（0，12）.当0<x ≤4时，S=f(x)=21×4×x=2x ； 当4<x ≤8时，S=f(x)=8； 当8<x<12时，S=f(x)=21×4×(12-x)=24-2x, ∴函数解析式为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈].12,8(224],8,4(8(0,4],x 2x x x x（2）作出f(x)的图象（下图）.由图象看出［f(x)］max =8.。
苏教版数学高一《函数的概念与图像》名师导学案
（4）若 ，则 的大小关系是_______________.
3.画出函数 的图像.
【教学反思】
（1）比较 的大小；
（2）若 （或 ，或
）比较 与 的大小；
（3）分别写出函数 （ ），
（ ）的值域．
例2.已知函数 =
(1)画出函数图象；
(2)求 的值
(3)求当 时，求 的值；
例3作出下列函数的图像;
(1) (2)
【课堂检测】
1.函数 的定义域为 ，则 的图像与直线 的交点个数为.
2.函数 的图象如图所示，填空：
2．函数 的图象与其定义域、值域的对应关系：函数 的图象在 轴上的射影构成的集合对应着函数的，在 轴上的射影构成的集合对应着函数的.
3.函数 与 的图象相同吗？并画出函数 的图像.
4.画出下列函数的图象：
（1） ；（2） ；
（3） ， ；（4） ．
【例题讲解】
例1.画出函数 的图象，并根据图象回答下列问题：
§2.1.1函数的概念与图像（3）
【教学目】
1．理解函数图象的意义；
2．能正确画出一些常见函数的图象；
3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；
4．从“形”的角度加深对函数的理解.
【课前导学】
1．函数的图象：将函数 自变量的一个值 作为坐标，相应的函数值作为坐标，就得到坐标平面上的一个点 ，当自变量，所有这些点组成的图形就是函数 的图象．
1.2.1函数的概念导学案
x ，输入“加工器” f （对 x 实行加工程序 f ）后，生产出来产品 y 。 y f x 的
意义是： y 就是 x 在关系 f 下的对应值，而 f 是“对应”得以实现的方法和途径。 如 f x 2 x 6, f 表示 2 倍的自变量再加上 6，如 f 3 2 3 6 12 。“定义 域”就是一堆待加工的原材料，“对应法则”就是加工的程序（方法）。将每一个 原材料 x 经过加工的到相应的产品， 将所有的原材料经过加工得到的全部产品 收集起来，所形成的集合就是函数的值域，“值域”是产品，是被动生成的。函 数的定义域、对应法则、、值域被称为函数的三要素，其实起决定作用的只是 函数的定义域和对应法则。 对于“原料→加工→产品”的生产流程，显然“原料”是重要的。巧妇难为无 米之炊， “米”一定是要有的， 即函数的定义域不能是空集。 而且有什么样的“米”， 有多少“米”，一般都会影响整个加工过程。由此可见，对于函数而言，“米”是 重要的。故要研究函数先看“米”，有人甚至说：“定义域是函数的灵魂！” 从产品的角度来看，既要有“米”，还要看加工的流程工艺（方法）。不
，与 x 值相对应的 y 值叫做 ．
2. y x ( x 0) 是函数吗？
3. y
x - 3 1 x 是函数吗？
1
4. 问题 1：下列给出的四个图形中，是函数图象的是： （
）
A、①
B、①③④
B、①②③
D、③④
5.下列对应是否是 A 到 B 的函数 A：A=Z，B= N ，f：x→y=|x| B：A={0，1，2，4}，B={0，1，4，9，64}，f：x→y=(x-1) C：A=B=R，f：x→y=
【强调】①值域由_________和______________唯一确定；f(x)是函数符号，f 表示对应 关系，f(x)表示 x 对应的函数值，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.在不同的函数中 f 的具 体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号 f(x)表示外， 还可用 g(x),F(x)等表示． ②常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数 解析式 定义域 值域
函数的概念导学案
课题函数的概念课型新授课课时 1学习目标1．在初中函数概念的基础上，能够通过观察、辨析几个实际的例子，得出“函数的概念”，并能用准确的数学语言进行描述。
2. 通过多个具体函数的例子，弄懂函数的三要素，学会确定一个函数的方法。
3. 通过对实例的自主学习，感受自主学习的乐趣合作探究随堂手记【课前预习区】同学们请先精读一遍教材P15-P16,用红色笔对重点内容及有疑问的地方进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决课前预习区中的问题问题1.阅读教科书第15页实例1后回答：（1）你能得出炮弹飞行1s，5s，10s，20s时距地面多高吗？（2）t和h的范围分别是什么？试把其范围用描述法表示分别记成集合A和B。
A= ,B=（3）集合A和B中的元素存在着什么样的对应关系？试将其描述出来写在下面。
问题2.阅读课本P15实例(2)并观察图1.2-1后思考：（1）你能从图中看出哪一年臭氧层空洞面积最大吗？最大面积是多少？（2）t和s的范围分别是什么？试把其范围用描述法表示分别记成集合A和B。
A= ,B=（3）集合A和B中的元素存在着什么样的对应关系？试将其描述出来写在下面。
问题3.阅读课本P16实例(3)并观察表1-1后思考：恩格尔系数和时间（年）之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何描述这一关系？问题4.以上三个实例的共同特点是什么？概括后写在下面：【新知探究区】一、概念生成函数的概念：问题5.在函数的概念中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念？概念理解: 判断下列对应是否构成函数？二、函数概念的应用例1 下列图象具有函数关系的是_____.A B CD E F变式训练已知A ＝{x|0≤x≤4}，B ＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示从A 到B 的函数的是( )A B C D 思考:以上图形中表示以A 为定义域，以B 为值域的函数的是( )三、函数符号f(x)的理解和应用 2(3) ,()3f f -（1）求的值；的值时，求）当（)1-()(0a 2a f a f >变式训练我的收获：,213)(2+++=x x x f 、已知例(4),0()(1)(-3),(1).(4),0x x x f x f f f a x x x +≥⎧=+⎨-<⎩已知函数（分段函数）求：，的值当堂检测：（1）已知2()23f x x x =-+，求()()()()1,a ,1,0-a f f f f 的值。
函数的概念导学案
函数的概念导学案(总3页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念导学案【使用说明与学法指导】预习教材第44、45页，对比初中所学的函数概念，找出本节新学到函数概念的相同与不同之处，并对新学到的定义与规定仔细分析，并且熟记与掌握。
【学习目标】1、理解函数的概念；2、理解函数的定义域和值域。
3、理解函数的两个要素。
4、了解表示函数的一些记号。
预习案一、知识回顾初中阶段，我们学到的函数概念：_____________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________。
二、函数概念1、学习了集合的定义之后，对函数做出了如下定义：_____________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _______________________________________。
3.1.2函数的概念及表示导学案
即墨二中高一数学导学案 时间：2019.10 编写人：大师兄 审核人： 编号： 课题：函数的表示法【学习目标】（1）掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法；（2）会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）（3）会画简单的函数图象；（4）了解分段函数的概念，能画分段函数的图象。
【学习重难点】重点：掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 难点：会求简单的函数解析式，会画简单的函数图象课前预习案函数的表示方法解析法，就是用____________表示两个变量之间的对应关系， 图象法，就是用____________表示两个变量之间的对应关系， 列表法，就是用____________表示两个变量之间的对应关系，课堂探究案例1：某种笔记本的单价是5元，买{}()5,4,3,2,1∈x x 个笔记本需要y 元。
试用函数的三种表示法表示函数()x f y =思考1：结合例4比较函数的三种方法，它们各自的优点是什么？ 解析法：列表法：图象法：例2：作出下列函数的图象并求出函数的定义域、值域（1）x y 8= （2）1+-=x y （3）762+-=x x y变式1：作出下列函数的图象并根据图象求出值域（1）[)+∞∈=,2,2x x y （2）[)2,2,22-∈+=x x x y例3：画出函数x y =的图象分段函数：有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。
思考2：结合例3思考，分段函数是一个函数还是几个函数？思考3：分段函数的定义域、值域是各段函数定义域、值域的并集吗？ 注意：分段函数的书写方式。
变式2：画出函数2-=x y 的图象例4：给定函数()()()R x x x g x x f ∈+=+=,1,12（1）在同一直角坐标系中画出函数()()x g x f ,的图象；（2）R x ∈∀，用()x M 表示()()x g x f ,中的较大者，记为()()(){}x g x f x M ,m ax =，请分别用图象法和解析法表示函数()x M变式3：给定函数()()()R x x x g x x f ∈-=+-=,1,12（1）在同一直角坐标系中画出函数()()x g x f ,的图象；（2）R x ∈∀，用()x m 表示()()x g x f ,中的较小者，记为()()(){}x g x f x x m ,m in =，请分别用图象法和解析法表示函数()x m。
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A B C D ．已知函数一个面积为2
100cm的等腰梯形，上底长为cm
x,下底长为上底长的3倍，则把它的高的函数为( ).
()()()) >>>
50
0；(B) y=100；(C) y=0； (D) y=.
x x x x x
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类型2．由原函数求复合函数，即由()f x 求(())f g x . 例3．已知 2()1f x x =-，求2()f x x + 、1
()f x .
类型3.由复合函数求原函数即由(())f g x 求()f x 例4
．21)f x =+()f x .
类型4．对于变量出现互为相反数，倒数的情况时，常用解方程组法. 例5．()f x 满足．()2()32f x f x x --=+，求()f x . 探究三 图象法
问题1． 图象法的优点有哪些？ 问题2． 说出你对分段函数的理解 例6． 设22, (41)(), (12)2, (24)x x f x x x x x +-≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≤≤⎩
≤
（1）((1))f f -=_______________ ；
（2）若()3f x =则x =_________；
(3)求函数()f x 的定义域，值域，并画出函数图象.
探究四 常见含有绝对值的函数的图象的画法 例7．画出函数()f x x =的图象.
变式1．画出函数()1f x x =-的图象.
变式2．画出函数()12f x x x =-++的图象.
变式3．画出函数2()23f x x x =--的图象. 变式4．画出函数2()23f x x x =--的图象. 探究五 映射
问题1．映射的概念是什么？
问题2．函数与映射有哪些区别与联系？
例8．从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射？
（1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ； 对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应 （2）A ={三角形}，B ={圆}；对应关系f ：每个三角形都有对应它的内切圆；
（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈；对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（4）A ={建始一中高一班级}，B = {建始一中高一学生}.对应关系f ：每个班级都对应班里的学生；
巩固案
A 级
1 某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
2. 已知一次函数)(x f y =满足()46f f x x ⎡⎤⎣⎦＝＋，则()f x ＝________.
3.下列曲线中，能表示函数)(x f y =的有 个
.
B 级
4．已知二次函数()f x 满足(0)=0f ，且对任意x ∈R 总有(+1)=()++1f x f x x ，求()f x ． C
级
5. 动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式.。