例析三个二次的关系

例析三个“二次”的关系

055350 河北隆尧一中 焦景会 一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：

基础知识点：

1、二次函数的三种表示形式

（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)；

（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2

+h(a ≠0)；

（3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。 2、二次函数的性质

设f(x)=ax 2

+bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭

，对称轴为2b x a =-，在,2b a ⎛

⎤-∞-

⎥⎝⎦

是减函数，在,2b

a ⎡

⎫

-

+∞⎪⎢

⎣

⎭

是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则 （1）若

a

b 2＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－

a

b 2≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ；

（3）若p ≤－

a

b 2＜x 0，则f(－

a

b 2)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤

a

b 2＜q ，则f(－

a

b 2)=m ，f(p)=M 。

3、二次方程f(x)=0的实根分布

一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－

a

b 2与区间端

点的关系。设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：

（1）120()02x x k f k b k a ⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪-<⎩ ； (2) 120()02k x x f k b k a

⎧

⎪∆>⎪

<<⇔>⎨⎪⎪->⎩；

(3) 12()0x k x f k <<⇔< (4)

112122

120

()0,(,)()0

2f k x x k k f k b k k a ∆≥⎧⎪

>⎪⎪

∈⇔>⎨⎪

⎪<-<⎪⎩

；

(5) 12,x x 有且仅有一个在12(,)k k 内12()()0f k f k ⇔⋅<或12

11()0,22

k k b f k k a

+=<-

<

或

12

22()0,

2

2k k b f k k a

+=<-

<。

3、二次不等式的转化策略

（1）f(x)>0的解集为(,)(,)0a αβ-∞⋃+∞⇔>且()()0f f αβ==

（2）当0a <时，()()22b b f f a a αβαβ<⇔+>+（点与对称轴越近，则函数值越小）；

当0a >时，()()22b b f f a

a

αβαβ<⇔+<+（点与对称轴越近，则函数值越小）。

（3）()0f x >在(,)p q 上恒成立m in

[()]02()0b p f x a

f p ⎧-<⎪⇔>⇔⎨⎪>⎩或2()0

b q a f q ⎧-≥⎪

⎨⎪≥⎩

或202b p q

a

b f a ⎧≤-

<⎪⎪⎨⎛⎫

⎪-> ⎪⎪⎝⎭

⎩

；

（4）()0f x >恒成立00a >⎧⎨∆<⎩

或0

0a b c ==⎧⎨>⎩。

典型问题分析：

例1：（2007广东）已知a 是实数，函数f(x)=2ax 2

+2x －3－a ，如果函数y=f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。

解：若0a =，则()23f x x =-在区间[1,1]-上没有零点。下面就0a ≠分三种情形讨论：

（1）

方程()0f x =在区间[1,1]-上有重根，此时24(261)0a a ∆=++=

，解得32a -±

=

。

当2a =

时，()0f x =

的重根3[1,1]2

x -=

∈-。

当2

a =时，()0f x =的

重根[1,1]2

x =

-。故当方程()0f x =在区间[1,1]-

上有重根时2

a =

。

（2）

()f x 在区间[1,1]-只有一个零点且不是重根，此时有(1)(1)0f f -≤。

(1)5f a -=- ，(1)1f a =-，(5)(1)0a a ∴--≤15a ⇒≤≤，

当5a =时，方程()0f x =在区间[1,1]-上有两个异根，故15a ≤<。

（3） 方程()0f x =在区间[1,1]-上有两个异根，因为 2

11()2()322f x a x a a

a

=+

-

--，

对称轴为12x a

=-

，应满足0

(1)01

12(1)00

a f a f >⎧⎪

≥⎪

⎪-<⎨⎪

⎪-≥⎪

∆>⎩（I ），0(1)01

12(1)00

a f a f <⎧⎪

≤⎪

⎪-<⎨⎪

⎪-≤⎪

∆>⎩（II ），