1.1.1 变化率问题

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念

【学习要求】

1．了解导数概念的实际背景．

2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想. 【了解感知】 1．函数的变化率

2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的____________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________________，即x

y

x f x ∆∆=→∆00'

lim )(＝___________________.

【深入学习】

引言：某市2012年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2012年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一：平均变化率的概念 问题1：气球膨胀率

很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？

问题2：高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2

＋6.5t ＋10.

计算运动员在下列时间段内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？ ①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2.

问题3：什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

问题4：平均变化率也可以用式子

x y ∆∆表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？x

y ∆∆有什么几何意义？

例1：已知函数f (x )＝2x 2

＋3x －5.

(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率x y

∆∆； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率x

y

∆∆；

(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何

跟踪训练1：

(1)计算函数f (x )＝x 2

从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2； ②1； ③0.1； ④0.01.

(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

探究点二：函数在某点处的导数

问题1：物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？

问题2：如何描述物体在某一时刻的运动状态？

问题3：导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用

例2：利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2

＋3x 在x ＝2处的导数．

跟踪训练2：

求函数f (x )＝3x 2

－2x 在x ＝1处的导数．

例3：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果

在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2

－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

跟踪训练3：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2

＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝98

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s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．

【当堂检测】

1．在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足( )

A ．Δx <0

B ．Δx >0

C ．Δx ＝0

D ．Δx ≠0 2．函数f (x )在x 0处可导，则h

x f h x f h )

()(lim

000

-+→( )

A ．与x 0、h 都有关

B ．仅与x 0有关，而与h 无关

C ．仅与h 有关，而与x 0无关

D ．与x 0、h 均无关

3．已知函数f (x )＝2x 2

－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则

x

y

∆∆等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2

4．已知函数f (x )＝

x

1，则f ′(1)＝________.