双曲线焦点三角形的几个性质

文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22

22x y 1a b

-=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=；特别地，当12F PF 90∠=时，有122F PF S b =。

222121212221212121222

1212221222

1222PF PF cos |PF ||PF ||FF |

2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF |

2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )

b b PF PF 21cos sin 2

θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ

-θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θ 22

b 2sin cos 222sin 2

θθ=⋅θ2b cot 2θ= 易得90θ=时，有122F PF S b =

性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22

22x y 1a b

-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |

-=-=-

12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=,

1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，

是双曲线与轴的交点即点

性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则|BA|

e |AP|

证明：由角平分线性质得

12121212|F B ||F B ||F B ||F B ||BA |2c e |AP ||F P ||F P ||F P ||F P |2a

-=====- 性质4、双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，12

21PFF ,PF F ,∠=α∠=β 当点P 在双曲线右支上时，有e 1tan cot ;22e 1

αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1

αβ-⋅=+

证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()

==αβα+β 由等比定理，上式转化为

2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2c sin sin sin()

2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒

=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅- 分子分母同除以cos sin 22

αβ，得

tan cot 1e 122e tan cot 22e 1tan cot 122αβ+αβ-=⇒=αβ++