4.1n维向量及其线性组合

1 1 (1,2 ,3 | b) 2 2 1 1 2 1 1 4 3 0 1 r2 r1 0r 2r 3 1 3 r4 2r1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1
b k k k j 1 j 1 2 j2 mj m k1 j k2 j （ 1 , 2 , , m ) , k mj
从而

k11 k12 k1l k21 k22 k2l （ 1,2, ,m) （ b , b , , b 1 2 l) k k k ml m1 m2
R (1 , 2 , ..., s ) R (1 , 2 , ..., s , b) 无解。
定理1
向量 b 能由向量组 : , , , 线性表 1 2 s
矩A 阵 ( , , , 的秩等于 1 2 s) 矩B 阵 ( , , , ,b ) 的. 秩 1 2 s
若 , 1
只要令 b k11 k2 2 ... ks s ，
..., , b 为 m 维列向量 , 且 s b1 a1 j b2 a2 j j (1, 2 ,..., s ) b : : a b mj m b a a 1 11 1 s b a a 2 21 2s 即 k k 1 s : : : b a a m m ms 1
第一节 n维向量及其 线性组合
一、向量的定义
二、线性组合
三、小结、思考题
一、向量的定义
在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概 念，即用二、三元数组描述了一系列物理现象， 如力所作的功，刚体旋转运动中的线速度问题 等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二 三维空间就不够了。如研究卫星在太空中的运 行状态时，不仅要关注它的几何位置，还需知 道它的表面温度、压力等物理参数，即至少要 用六数组（t, x, y, z, τ, p）。因此有必要拓广向 量的概念，引入由n元数组构成的n维向量，并 抽象出向量空间的概念。
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
( 1 , 2 , 3 , , n )
( 1 2 i , 2 3 i , , n ( n 1 ) i )
n维向量 n维向量
第2个分量
第n个分量
第1个分量
例
矩阵
a11 ... A ai1 ... a m1
... a1 j ... ... ... a ij ... ... ... a mj
... a1 n ... ... ... a in ... ... ... a mn
的每一行
( a , a ,..., a )i 1 , 2 ,..., m 都是n维行向量 i 1 i 2 in
a1 j a2 j : a mj
每一列
j 1 , 2 ,..., n
都是m维列向量
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
向量空间 向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
(n3 )
坐 标 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
T a ( a , a , , a ) 1 2 n
空
解析几何
点空间：点的集合
间
(n 3)
坐
向量空间：向量的集合
线性代数

2
证明向量 b相能由向量组 1, 2, 3 线性表示，
并求出表示式。
解 设b k k k ，则 1 1 2 2 3 3
1031 k 1122 1 T T k 1 2 1 3 k 1 1 4 0 2 3
T T
1 k 1 k 2 k 3 0 k 1 2 k 2 k 3 利用矩阵的初等变 3 2 k 1 k 2 4 k 3 换方法，求解线性 方程组 1 2 k 3 k 1 2

T

二、线性组合
A : , , , ，对于任 定义１ 给定向量组 1 2 m 向量 组实数 k ， k ， , k ， 1 2 m
k k k 1 1 2 2 m m
线性组合， k ， k ， , k 称为 称为向量组的一个 1 2 m
个线性组合的系数 .
标
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
r ax by cz d ( x , y , z ) ( x , y , z ) ax by cz d
T
P (x ,y ,z )
一
一
对
应
r(x ,y ,z )
T
n n 3 时， 维向量没有直观的几何形象．
1 0 0 0
1 1 1 1
1 2 2 2
1 1 1 1
r3 r2
r4 r2
1 0 0 0
1 1 0 0பைடு நூலகம்
1 2 0 0
1 1 0 0
1 r1 r2 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
一组数 ， ， , ，使 1 2 m b 1 1 2 2 m m
给定向量组 A : , , , 和向量 b , 如果 1 2 m

向量 b能 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 由向量组 A线性表示．
注：
要判断 b 是否可以由 1 , 2 , ..., s 线性表示
对方程组 A的各个方程做线性运算 所得到的 一个方程就称为方程组 A的一个线性组合；若方 程组 B的每个方程都是方程组 A的线性组合，就 称方程组 B能由方程组 A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组 A与方程组 B能相互线性表示，就称 这两个方程组可互推， 可互推的方程组一定同 解.
矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一表示的
同时， C 的行向量组能由 B 的行向量组线性 ,A 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 a12 a1l 1T T T 2 a21 a22 a2l 2 T T a a a ml m m1 m2 l
设矩阵 A经初等行变换变成 B，则 B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性组合 ，即 B的行向量
组能由 A的行向量组线性表示 . 由初等变换可逆性 于是 A的行向量组与 B的行向量组等价 .
可知， A的行向量组能由 B的行向量组线性表示
类似，若矩阵 A 经初等列变换变 B ，则 A 的 列向量组与 B 的列向量组等价 .
无解，则 b 不能由 1 , 2 , ..., s 线性表示
a1s a2s a ms b1 b2 bm
即对于
a 11 a 21 a m1
R(1 , 2 , ..., s ) R(1 , 2 , ..., s , b) 有解；
矩阵 K ( k 称为这一线性表示的系 数矩阵 . m l ij)
若 C ，则矩阵 C 的列向量组能 m n A m lB l n 矩阵：
b 11 b 21 （ c , c , , c ) （ , , , ) 1 2 n 1 2 l b l1 b 12 b 1 n b 22 b 2 n k k l2 ln
能由向量组 A线性表示.若向量组 称向量组 B A 与向
量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价．
若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示，则
若A 记 （ , , , ) 和 B （ b ,b , ,b B 1 2 m 1 2 l). 能A 由 线性表示， 量 即 b j 对 1 , 2 每 , ,l 个 ) 存 向 j( 在k 数 k k ,使 1 j, 2 j, mj
, 2
b1 k1a11 k s a1 s 得到由ki（i=1,…s） b2 k1a 21 k s a 2 s 为s个未知量构成的 m 个线性方程组 bm k1a m 1 k s a ms
求解方程组
有解，则 b 可以由 1 , 2 , ..., s 线性表示
2 1 0 0
3k3 2 k1 (k3为 任 意 数 ） k2 2k3 1
令 k c , 得表示式 3
b ( 3 c 2 ) ( 2 c 1 ) c . 1 2 3
(c可任意取值 )


定义２ 设有两个向量组
A: , 及 B: b ,b 1, 2, m 1,b 2, l.
小结
B ： b ,b , ,b A ： , , , 1 2 l 能由 1 2 m
( b ,b , ,b ( , , , ) K 1 2 l ) 1 2 m 即矩阵方程
线性表示，即 K 存 在矩阵 m l,使
d r 1
( , , , ) X ( b , b , , b ) 1 2 m 1 2 l
1 1 2 2
1 1 2 1 3 4 1 0 3
b 1 0 3 1
例1 设

1

向量定义
a ,a ..., a n个 实 数 构 成 的 一 个 有 序 数 组 n维向量： 1 2 n ( a ,a ,..., a ) 称 为 实 数 集 R上 的 一 个 n 维 向 量 ， 通 1 2 n , ,， 常 用 小 写 黑 体 希 腊 字 母 或 小 写 黑 体 英 文 字 a ,a ..., a x ,y ,z 母 表 示 。 数 称 为 n 维 向 量 的 分 量 。 1 2 n b1 T ( a , a ,..., a ) 1 2 n 称为行向量 b2 称为列向量 : a1 bn a2 T ( a 1 , a 2 ,.., a n ) 行 向 量 和 列 向 量 用 转 置 号 互 相 表 示 : a n
x , , , R ( , , , ) x x x R x x x 1 2 n 1 2 n
n

T

叫做 n 维向量空间．
x b ( , , , ) x a x a x x x x 2 2 n n 1 2 n a 1 1
n n 1 叫做 维向量空间 R 中的 n 维超平面．