4.1n维向量及其线性组合

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向量组及其线性组合

向量组及其线性组合

★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点: 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…,码所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量 的n 个分量,第i 个数a j 称为第i 个分量.注:在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序 实数),此即上面定义的 3维向量.因此,当n 岂3时,n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时,n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组 •例如,一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷,>2,…,〉n 称为矩阵A 的列向量组,而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽,…,十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论,矩阵 A 记为pu A % A =(G I ,C (2,…,U n )或 A= 1 •"J这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r (A ) ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…,a .)与]=(b,,b 2,…,*)的各对应分量之和组成的向 量,称为向量爲与:的和,记为x 亠1:,,即由加法和负向量的定义,可定义向量的减法:(a1 _b 1, a2 "2, ,a n - bn ) •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…,a .)的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量,称为数 k 与向量二的乘积(又简称为数乘),记为k _:i ,即k : =(ka i ,ka 2, ,ka n ).向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注:向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:(1)?■■-■:■; (2) (、• I') (: ^ );(3) 小0-:;(4): (:) 0;★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合(5)1:=■';(6)k(l:)=(kl):;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ,对于任何一组实数 k i ,k 2,…,k s ,表达式A 的一个线性组合,k i ,k 2,…,k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A::1,:2,…,:s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、;、卜)=k :;亠 kl ,; (8) (k I): =k ::£ T :. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ::「八::「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2,…,n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式:込X 2亠.亠::皿--线性方程组(i)是否有解,就相当于是否存在一组数成立:定义4给定向量组A q ,。

哈尔滨工业大学数学系 第四章 N维向量

哈尔滨工业大学数学系 第四章 N维向量

(β1, β2 ,L, βt )=(α1,α2 ,L,αm )Km×t 则 β1, β2 ,L, βt线性无关 R(K)=t (K列满秩 列满秩) 列满秩
即 β1, β2 ,L, βt线性相关 特别地,当m=t时 线性无关 β1, β2 ,L, βm R(K)<t (K不列满秩 不列满秩) 不列满秩 |K|≠0 (K可逆 可逆) 可逆 |K|=0 (K不可逆 不可逆) 不可逆
哈尔滨工业大学数学系
第四章 n 维 向 量
n维向量
n维向量的概念及其线性运算 向量组线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间 欧式空间
维向量的概念及其线性运算 概念及其 4.1 n维向量的概念及其线性运算
1.定义:数域F内的n个数a 1.定义:数域F内的n个数a1,a2,…,an组成的 定义 , 有序数组—称为数域 上的( 称为数域F 有序数组 称为数域F上的(n维)向量 a1 列 , α 记作: 记作: =(a1,a2,…,an ) 或 α= a2 向 行向量 an 量 几个名词: 复向量、实向量、 几个名词: 复向量、实向量、Rn、 负向量( )、 负向量( −α)、零向量 相等 α = β
0
1
2
m
km
(充分 充分性)假设 α1,α2 ,L,αm 线性相关 充分 假设 则存在不全为零的数k 不全为零的数 则存在不全为零的数 1, k2 , …,km使 k1 α1,α2 ,L,αm k2 = 0 即 AK = 0 且 K ≠ 0 ( ) km R(A) ≤m-1 矛盾. R(A)+R(K) ≤m 注: 1.矩阵An×m的列向量组 α1,α2 ,L,αm线性相关 矩阵A 矩阵 R(A)<m (A不列满秩 列满秩) 列满秩 2.矩阵 n×m的行向量组线性无关 矩阵A 矩阵 R(A)=n (A行满秩 行满秩) 行满秩 3.n阶方阵 的列(行)向量组线性无关 的列( 阶方阵A的列 (A满秩 满秩) 满秩 |A|≠0

高等代数第六章1

高等代数第六章1

第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵,因而它们的运算也即为矩阵运算,列向量与行向量统称为向量。

注 为方便起见,除特别说明外,本书所称向量均指列向量,从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α,[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。

(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念 向量的范数:αααααT ==,单位向量:若1=α,则称α为单位向量。

向量的标准化(规范化);0≠α称αα1为α的标准化向量。

两向量的正交:若0,=βα,则称βα与正交。

4.1.3 线性组合,线性相关,线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合:设β是一个n 维向量,若存在一组数m t t t ,,,21 ,使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合,或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。

注 设两组向量(I )m ααα,,,21 ,(II )m βββ,,,21 ,若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出,则称向量组(I )可由向量组(II )线性表出;当向量组(I )与(II )可互相表出时,称向量组(I )与(II )等价。

(2) 线性相关:若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ,02211=+++m m t t t ααα ,则称向量组m ααα,,,21 线性相关。

(3) 线性无关:若当且仅当021====m t t t 时,02211=+++m m t t t ααα 才成 立,则称m ααα,,,21 线性无关。

10 线性代数 n维向量的线性组合

10 线性代数  n维向量的线性组合
第四将 向量组的秩与极大无关组
一、 n维向量及其线性运算
1. n维向量 n 维 向 量 本 质 几何背景
分量
定义1
n个数a1, a2, …, an 构成的有序数组
向量/点的坐标 行矩阵 列矩阵
表现形式
行向量
列向量
第四章 n维列向量
§4.1 n维向量及其线性运算
2. n维列向量:
=
a1 a2 an …
解 设线性方程组为: x11 x2 2 x3 3 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
1 0 2 1 1 0 0 1 (1 , 2 , 3 , ) 2 1 3 1 0 1 0 2 3 4 6 5 0 0 1 1
解 将 1 ,2 ,3 , 以列向量构成矩阵,对其
进行初等行变换:
2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 0 5 0 0 (1 , 2 , 3 , ) 4 3 2 5 0 5 6 9 1 4 5 4 0 2 4 5
, m 线性表示的
矩阵A (1 , 2 , B (1 , 2 ,

, m )的秩等于增广矩阵
, m , )的秩
第四章 n维列向量
§4.2 向量组的线性组合
T (1,2,3) , 例6 问 (1,1,5) 能否表示成 1
T
2 (0,1, 4)T , 3 (2,3,6)T 的线性组合?
am1 am2 … amn
,每一行均可看成一个列向量,可 得一个m维列向量组称之为A的列向量组. 如
记作:(1, 2, …, n).

j=
a 1j a2j

4.1 向量组的线性组合及线性相关性

4.1 向量组的线性组合及线性相关性
4.1 向量组的线性组合及线性相关性
黄凤英 信息科学与计算学院
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
一、n 维向量与向量组的定义
1. 向量的定义 定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 , · · · , an 所组
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
3. 矩阵与向量组的关系
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
若令
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n , amn
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表
示的充要条件是
R(A) =R(A, b),
其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
进一步,R(A) =R(A, b) = m,则向量 b 能够由 向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表示,且表法唯一; 如果 R(A) =R(A, b) < m,则向量 b 能够由向量
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理的比较
本节的定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am
线性表示的充要条件是 R(A) =R(A, b), 其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).

4.1向量组的线性组合和线性相关性

4.1向量组的线性组合和线性相关性

线性表示的充分必要条件是:
矩阵A=(

)的秩等于矩阵B=(
,b)的秩
2.向量组B:
能由向量组A:
线性表示充要条件是
矩阵A=( (
)的秩等于矩阵(A,B)= )
的秩,即R(A)=R(A,B)
推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是: R(A)=R(B)=R(A,B)
3.设向量组B:
能由向量组A:
R(
一定线性相关,特别的n+1个n维向量也一定线性相关
3. 设向量组A:
线性无关,而向量组B:
线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且唯一表示
对于定理2.1:可以简单记为小的线性相关,大的才线性相关 大的线性无关,小的才线性无关
线性相关性定 义和定理
已知
讨论
及向量组 线性相关性
解:
可见R(
)=2,故向量组
)≤R(

线性表示,则:
3个定理
•设
证明向量 组
与向量组
证明:证出 R(A)=R(B)=R(A,B)即可
等价。
容易看出R(B)≤R(A,B)=2
R(A)=2
所以R(A)=R(B)=R(A,B)
因此证明向量 组
与向量组
等价。
线性组合例题
• 定义:给定向量组A: 使:
如果存在不全为0的数 则称向量组A是线性相关的
• 定理1:向量组A:
线性相关的充分必要条件是它
所构成的矩阵A=(
)的秩小于向量个数m;
向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
线性相关性定义 和定理
• 定理2:
1. 若向量组A:
线性相关,则向量组B:

第10讲向量组的线性相关性

第10讲向量组的线性相关性

第二节 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1.定义:给定向量组 : 1.定义:给定向量组A:a1,a2,…,am,若存在不 定义 全为零的实数x 全为零的1 0 0 0 例 1 设a1 = , a2 = , b = . 因为 = 2a1-a2 , 因为b 2 4 0 −1 1 −3
所以 说 向 量 b能 由 向 量 组 a1 , a 2 线 性 表 示 .
3 例 .设向量a1 = (1 − 1 1 −1)T、a2 = (3 1 1 3)T b1 = (2 0 1 1)T、b2 = (1 1 0 2)T、b3 = (3 − 1 2 0)T, 证明向量组a1、a2与b、b2、b3等价. 1
证明:设A = (a1, a2 ),B = (b , b2 , b3 ) 1 当R( A) = R(B) = R( A| B)时,两向量组等价. 1 3 2 1 3 r4 +r3 1 3 2 1 3 −1 1 0 1 −1 r3+r2 0 4 2 2 2 而( A| B) = r2~r1 0 2 1 1 1 1 110 2 + −1 3 1 2 0 0 4 2 2 2 1 3 2 1 3 r4 −r2 0 2 1 1 1 ~ ,所以R( A) = R(B) = R( A| B) = 2 1 00000 r3 − r2 2 0 0 0 0 0
证明:向量组B被向量组A线性表示,即存在矩阵 C 使得B = AC,即矩阵方程AX = B有解,而该矩 阵方程有解的充要条件是 R( A) = R( A | B ).
1 ... ... 推论 .向量组B b1,b2 , ,bp被向量组A a1,a2, ,am : : 线性表示,则 R(B) ≤ R( A)

W071线性代数-4-1向量组极其线性组合

W071线性代数-4-1向量组极其线性组合
0
c2
7 4 7 0
1
例 4 球的大小和位置 为了刻画一个球的大小和位置,需要知道它 中心的坐标 (三个数) 以及它的半径,也就是说,球 的大小和位置需要 4 个数来刻画.
即球的大小和位置要用 4 元有序数组来表示.
x
y
z
r
定义:若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为
1 1 1 1 1 0 3 2
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
0
1
2
1
2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0 0
P.83 定理1
因为R(A) = R(A, b) = 2, 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示.
1 1 1 1 1 0 3 2
(
A,
b)
1
2
1
0
向量组.例如:a1,a

2
,as (称为有限向量组)
【注意】:向量组中所含向量的个数也可以是无穷多个。
例5: R(A) < n 时,n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有无穷多解,
所以全体解组成的向量组含有无穷多个n 维向量.
x1 x2 x3 x4 0
例如:
齐次线性方程组
2
x1
5 x2
3 x3
x3 x4
0 0
c1
0 0
c2
1 0
c3
0 1
x5 1 0 3 2
(其 c1、c2、c3 为任意常数)
定义:n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向
量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数 ai 称为第 i
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1 1 (1,2 ,3 | b) 2 2 1 1 2 1 1 4 3 0 1 r2 r1 0r 2r 3 1 3 r4 2r1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1
b k k k j 1 j 1 2 j2 mj m k1 j k2 j ( 1 , 2 , , m ) , k mj
从而

k11 k12 k1l k21 k22 k2l ( 1,2, ,m) ( b , b , , b 1 2 l) k k k ml m1 m2
R (1 , 2 , ..., s ) R (1 , 2 , ..., s , b) 无解。
定理1
向量 b 能由向量组 : , , , 线性表 1 2 s
矩A 阵 ( , , , 的秩等于 1 2 s) 矩B 阵 ( , , , ,b ) 的. 秩 1 2 s
若 , 1
只要令 b k11 k2 2 ... ks s ,
..., , b 为 m 维列向量 , 且 s b1 a1 j b2 a2 j j (1, 2 ,..., s ) b : : a b mj m b a a 1 11 1 s b a a 2 21 2s 即 k k 1 s : : : b a a m m ms 1
第一节 n维向量及其 线性组合
一、向量的定义
二、线性组合
三、小结、思考题
一、向量的定义
在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概 念,即用二、三元数组描述了一系列物理现象, 如力所作的功,刚体旋转运动中的线速度问题 等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二 三维空间就不够了。如研究卫星在太空中的运 行状态时,不仅要关注它的几何位置,还需知 道它的表面温度、压力等物理参数,即至少要 用六数组(t, x, y, z, τ, p)。因此有必要拓广向 量的概念,引入由n元数组构成的n维向量,并 抽象出向量空间的概念。
分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
( 1 , 2 , 3 , , n )
( 1 2 i , 2 3 i , , n ( n 1 ) i )
n维向量 n维向量
第2个分量
第n个分量
第1个分量

矩阵
a11 ... A ai1 ... a m1
... a1 j ... ... ... a ij ... ... ... a mj
... a1 n ... ... ... a in ... ... ... a mn
的每一行
( a , a ,..., a )i 1 , 2 ,..., m 都是n维行向量 i 1 i 2 in
a1 j a2 j : a mj
每一列
j 1 , 2 ,..., n
都是m维列向量
注意
1.行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量;
2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算; 3.当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
向量空间 向
解析几何
既有大小又有方向的量

线性代数
有次序的实数组成的数组
(n3 )
坐 标 系
几何形象: 可随意 平行移动的有向线段
代数形象: 向量的 坐 标 表 示 式
T a ( a , a , , a ) 1 2 n

解析几何
点空间:点的集合

(n 3)

向量空间:向量的集合
线性代数

2
证明向量 b相能由向量组 1, 2, 3 线性表示,
并求出表示式。
解 设b k k k ,则 1 1 2 2 3 3
1031 k 1122 1 T T k 1 2 1 3 k 1 1 4 0 2 3
T T
1 k 1 k 2 k 3 0 k 1 2 k 2 k 3 利用矩阵的初等变 3 2 k 1 k 2 4 k 3 换方法,求解线性 方程组 1 2 k 3 k 1 2

T

二、线性组合
A : , , , ,对于任 定义1 给定向量组 1 2 m 向量 组实数 k , k , , k , 1 2 m
k k k 1 1 2 2 m m
线性组合, k , k , , k 称为 称为向量组的一个 1 2 m
个线性组合的系数 .

几何形象: 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面

代数形象: 向量空 间 中 的 平 面
r ax by cz d ( x , y , z ) ( x , y , z ) ax by cz d
T
P (x ,y ,z )




r(x ,y ,z )
T
n n 3 时, 维向量没有直观的几何形象.
1 0 0 0
1 1 1 1
1 2 2 2
1 1 1 1
r3 r2
r4 r2
1 0 0 0
1 1 0 0பைடு நூலகம்
1 2 0 0
1 1 0 0
1 r1 r2 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
一组数 , , , ,使 1 2 m b 1 1 2 2 m m
给定向量组 A : , , , 和向量 b , 如果 1 2 m

向量 b能 则向量 b 是向量组 A 的线性组合,这时称 由向量组 A线性表示.
注:
要判断 b 是否可以由 1 , 2 , ..., s 线性表示
对方程组 A的各个方程做线性运算 所得到的 一个方程就称为方程组 A的一个线性组合;若方 程组 B的每个方程都是方程组 A的线性组合,就 称方程组 B能由方程组 A线性表示,这时方程组 A的解一定是方程组 B的解;若方程组 A与方程组 B能相互线性表示,就称 这两个方程组可互推, 可互推的方程组一定同 解.
矩阵 A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的
同时, C 的行向量组能由 B 的行向量组线性 ,A 为这一表示的系数矩阵 :
1T a11 a12 a1l 1T T T 2 a21 a22 a2l 2 T T a a a ml m m1 m2 l
设矩阵 A经初等行变换变成 B,则 B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性组合 ,即 B的行向量
组能由 A的行向量组线性表示 . 由初等变换可逆性 于是 A的行向量组与 B的行向量组等价 .
可知, A的行向量组能由 B的行向量组线性表示
类似,若矩阵 A 经初等列变换变 B ,则 A 的 列向量组与 B 的列向量组等价 .
无解,则 b 不能由 1 , 2 , ..., s 线性表示
a1s a2s a ms b1 b2 bm
即对于
a 11 a 21 a m1
R(1 , 2 , ..., s ) R(1 , 2 , ..., s , b) 有解;
矩阵 K ( k 称为这一线性表示的系 数矩阵 . m l ij)
若 C ,则矩阵 C 的列向量组能 m n A m lB l n 矩阵:
b 11 b 21 ( c , c , , c ) ( , , , ) 1 2 n 1 2 l b l1 b 12 b 1 n b 22 b 2 n k k l2 ln
能由向量组 A线性表示.若向量组 称向量组 B A 与向
量组 B 能相互线性表示,则称 这两个 向量组等价.
若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示,则
若A 记 ( , , , ) 和 B ( b ,b , ,b B 1 2 m 1 2 l). 能A 由 线性表示, 量 即 b j 对 1 , 2 每 , ,l 个 ) 存 向 j( 在k 数 k k ,使 1 j, 2 j, mj
, 2
b1 k1a11 k s a1 s 得到由ki(i=1,…s) b2 k1a 21 k s a 2 s 为s个未知量构成的 m 个线性方程组 bm k1a m 1 k s a ms
求解方程组
有解,则 b 可以由 1 , 2 , ..., s 线性表示
2 1 0 0
3k3 2 k1 (k3为 任 意 数 ) k2 2k3 1
令 k c , 得表示式 3
b ( 3 c 2 ) ( 2 c 1 ) c . 1 2 3
(c可任意取值 )


定义2 设有两个向量组
A: , 及 B: b ,b 1, 2, m 1,b 2, l.
小结
B : b ,b , ,b A : , , , 1 2 l 能由 1 2 m
( b ,b , ,b ( , , , ) K 1 2 l ) 1 2 m 即矩阵方程
线性表示,即 K 存 在矩阵 m l,使
d r 1
( , , , ) X ( b , b , , b ) 1 2 m 1 2 l
1 1 2 2
1 1 2 1 3 4 1 0 3
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