基本概念 可分离变量方程
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得 ln y x3 C1
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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例2. 求微分方程 dy y2 sin x 的通解. dx
解:
分离变量得
1 y2
dy sin xdx
第二节
第五章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
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分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
①
两边积分, 得
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C, 即 M C e t
利用初始条件, 得
C M0
M M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
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例5 假设在温度是20摄氏度的房间里，一杯90 摄氏度的饮料10 分钟之后冷却到60 摄氏度. 应用牛顿冷却定律 (物体降温速度与其所在介质的温差成正比) 计算再经过多久后这杯饮料会冷却到35 摄氏度?
已知
s t0 0 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
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微分方程的基本概念
含未知函数的导数的方程叫做微分方程 ，或者说表示 未知函数及其导数与自变量之间关系的方程。
3.
解法 1 分离变量
积分 即
ey ex C (exC)ey1 0
(C<0 )
解法 2 故有 积分
令u x y, u 1 eu
u ln (1 eu ) x C 所求通解: ln (1 ex y ) y C
(1 eu ) eu 1 eu
du
( C 为任意常数 )
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(其中y 0)
两边积分并整理得方程的通解
y 1 cos x C
经验证 y 也0 是方程的解，所以方程的全部解为
y 1 和y 0 cos x C
因此，通解不一定是方程的全部解 .
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例3. 解初值问题
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
解: 分离变量得
常微分方程 (本章内容) 分类
偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
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微分方程的解 —使方程成为恒等式的函数.
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如:上节引例1) 2) 根据物理规律列方程 ( 如:上节引例2和本节例4，例5)
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据初始条件确定特解.
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解（k不为0) .
解:
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
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解: 设时刻t的温度为 x(t),根据题意得
dx k(x 20) dt
分离变量得
dx kdt
x 20
其通解为 x(t) 20 Cekt
代入初始条件 x(0) 90, x(10) 60 得
C 70, k 1 ln 4 10 7
再由 x(t0 ) 35 得 t0 27.5分钟
f (x)dx
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有
②
由②确定 的隐函数 y＝ (x) 是①的解.
同样, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解.
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
两边积分
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思考与练习
1 . 求下列方程的通解 :
2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点 为 Q，且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
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1. 求下列方程的通解 :
提示: 分离变量
1
y y
2
d
y
1
x x
2
dx
两边积分得： 方程的通解为：
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 初始条件; 解; 通解; 特解 注: 通解不一定是方程的全部解 .
再如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据初始条件确定常数 .
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
初始条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1
通解: 特解:
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
由①得
dy 2x dx y x1 2
① ②
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
第五章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
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第一节
第五章
微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
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2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0
Q O xx
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
y x2 1
d2s d t2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t 0
20
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t
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例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的通解, 并求满足初始条件
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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例2. 求微分方程 dy y2 sin x 的通解. dx
解:
分离变量得
1 y2
dy sin xdx
第二节
第五章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
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分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
①
两边积分, 得
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t0 M 0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C, 即 M C e t
利用初始条件, 得
C M0
M M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
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例5 假设在温度是20摄氏度的房间里，一杯90 摄氏度的饮料10 分钟之后冷却到60 摄氏度. 应用牛顿冷却定律 (物体降温速度与其所在介质的温差成正比) 计算再经过多久后这杯饮料会冷却到35 摄氏度?
已知
s t0 0 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
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微分方程的基本概念
含未知函数的导数的方程叫做微分方程 ，或者说表示 未知函数及其导数与自变量之间关系的方程。
3.
解法 1 分离变量
积分 即
ey ex C (exC)ey1 0
(C<0 )
解法 2 故有 积分
令u x y, u 1 eu
u ln (1 eu ) x C 所求通解: ln (1 ex y ) y C
(1 eu ) eu 1 eu
du
( C 为任意常数 )
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(其中y 0)
两边积分并整理得方程的通解
y 1 cos x C
经验证 y 也0 是方程的解，所以方程的全部解为
y 1 和y 0 cos x C
因此，通解不一定是方程的全部解 .
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例3. 解初值问题
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
解: 分离变量得
常微分方程 (本章内容) 分类
偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
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微分方程的解 —使方程成为恒等式的函数.
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如:上节引例1) 2) 根据物理规律列方程 ( 如:上节引例2和本节例4，例5)
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据初始条件确定特解.
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解（k不为0) .
解:
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
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解: 设时刻t的温度为 x(t),根据题意得
dx k(x 20) dt
分离变量得
dx kdt
x 20
其通解为 x(t) 20 Cekt
代入初始条件 x(0) 90, x(10) 60 得
C 70, k 1 ln 4 10 7
再由 x(t0 ) 35 得 t0 27.5分钟
f (x)dx
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有
②
由②确定 的隐函数 y＝ (x) 是①的解.
同样, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解.
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
两边积分
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思考与练习
1 . 求下列方程的通解 :
2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点 为 Q，且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
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1. 求下列方程的通解 :
提示: 分离变量
1
y y
2
d
y
1
x x
2
dx
两边积分得： 方程的通解为：
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内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 初始条件; 解; 通解; 特解 注: 通解不一定是方程的全部解 .
再如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据初始条件确定常数 .
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
初始条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1
通解: 特解:
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
由①得
dy 2x dx y x1 2
① ②
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
第五章 微分方程
已知 y f (x), 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
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第一节
第五章
微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
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2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0
Q O xx
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
y x2 1
d2s d t2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t 0
20
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t
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例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的通解, 并求满足初始条件