高考数学总复习 112 用样本估计总体课件 新人教A版
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茎叶图
[例 2] (2010·湖南省湘潭市)下图是 2009 年央视挑战 主持人大赛中,7 位评委为某选手打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数 为( )
• A.83 D.86
B . 84
C . 85
• 分析:由茎叶图知,这组数据为两位数, 茎为十位数,叶为个位数,去掉最高分和 最低分后,剩下数据的十位数字都是8,故 计算平均分只需计算个位数的平均数即 可.
学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2= ________.
分析:所给数据都是一位数,且比较集中,因此使
用方差的两个计算公式都可以,但用公式
s2=n1
n i=1
(xi
--x )2 计算更简便.
解析:-x 甲=7, s2甲=15(12+02+02+12+02)=25, -x 乙=7, s2乙=15(12+02+12+02+22)=65, ∴s2甲<s2乙,∴方差中较小的一个为 s2甲,∴s2=25. 答案:25
s 乙= 16[6.68-6.7552+6.68-6.7552+…+6.45-6.7552]
≈0.310. ∵ x 甲= x 乙,∴两种产品的平均售价相同. 而 s 甲<s 乙,因此可以作出估计,甲种产品的售价比较稳定.
答案:甲
• (2011·苏州模拟)甲、乙两名射击运动员参 加某大型运动会的预选赛,他们分别射击 了5次,成绩如下表(单位:环):
5.方差、标准差 设样本数据为 x1,x2,…,xn 样本平均数为-x ,则 s2 =n1[(x1--x )2+(x2--x )2+…+(xn--x )2]=n1[(x21+x22+… +x2n)-n x 2]叫做这组数据的方差,用来衡量这组数据的波 动大小,一组数据方差越大,说明这组数据波动越大. 把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准 差.
B.0.27,83 D.2.7,83
解析:由直方图可知,前 4 组的公比为 3,最大 频率 a=0.1×33×0.1=0.27,设后 6 组的频率公差为 d,则 1-(0.01+0.03+0.09)=0.27×6+5×2 6d,
解得:d=-0.05,
• ∴后6组的频率公差为-0.05, • 所以视力在4.6到5.0之间的学生数为 • (0.27+0.22+0.17+0.12)×100=78人. • 答案:A
(3)甲车间:
平均值: x1 =17(102+101+99+98+103+98+99)= 100,
方
差
:
s21=
1 7
[(102-
100)2
纵轴为频率/组距,小矩形的面积才表示频 率.
• 2.可以用样本的频率估计概率.
• (文)(2010·广东玉湖中学)200辆汽车经过某 一雷达地区,时速频率分布直方图如图所 示,则时速超过70km/h的汽车数量为( )
• A.1辆 D.70辆
B . 10 辆
C . 20 辆
• 解析:(80-70)×0.01×200=20.
(理)(2010·瑞安中学)已知数据 x1、x2、x3、x4、x5 是 互.不.相.等.的.正.整.数.,且-x =3,中位数是 3,则这组数据 的方差是________.
解析:15(x1+x2+x3+x4+x5)=3,又中位数是 3,则 必有两数小于 3,两数大于 3,又 xi 是互不相等的正整数, 故此五数只能是 1,2,3,4,5,
解析:去掉最高分 93 分,最低分 79 分,所剩数 据的平均数为-x =80+15(4+4+6+4+7)=85.
答案:C
• (2011·巢湖质检)在如图所示的茎叶图中,
若甲、乙两组数据的中位数分别为λ1,λ2, 平均数分别为μ1,μ2,则下列判断正确的是 ()
• A.λ1>λ2,μ1<μ2
B.λ1>λ2,μ1>μ2
• 则售价较为稳定的产品为________.
• 分析:售价稳定即方差较小,故先计算甲、 乙的平均数、方差,再通过比较方差的大 小下结论.
解析: x 甲=16(6.75+6.9+…+6.9)=6.755. s 甲=
16[6.75-6.7552+6.9-6.7552+…+6.9-6.7552] ≈0.179. x 乙=16(6.68+6.68+…+6.45)=6.755.
第二 节
用样本估计总体
重点难点 重点:用样本的频率分布估计总体分布;用样本的数 字特征估计总体的数字特征. 难点:频率分布直方图的理解和应用.
知识归纳 1.编制频率分布直方图的步骤如下: ①求极差:极差是一组数据的最大值与最小值的差. ②决定组距和组数:当样本容量不超过 100 时,常
极差 分成 5~12 组.组距=组数.
∴方差 s2=15[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5 -3)2]=2.
答案:2
用样本估计总体
[例 4] 有甲、乙两种产品,在连续 6 年中各年的 平均售价如下(单位:元/件):
第一 第二 第三 第四 第五 第六 年年年年年年
甲 6.75 6.9 6.75 6.38 6.85 6.9 乙 6.68 6.68 7.2 7.13 6.39 6.45
③将数据分组:通常对组内数值所在区间取左闭右开区 间,最后一组取闭区间,也可以将样本数据多取一位小数分 组;
④列频率分布表:登记频数,计算频率,列出频率分布 表.
将样本数据分成若干小组,每个小组内的样本个数称作 频数,频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频率反 映数据在每组 所占比例 的大小.
• A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由条件得
x+y+10+11+9=50 15[x-102+y-102+0+1+1]=2
整理得xx+ 2+yy=2=20208
1 2
,
• 由(1)两边平方得x2+y2+2xy=400,∴2xy =192,
• ∴(x-y)2=x2+y2-2xy=208-192=16, • ∴|x-y|=4. • 答案:D
频率分布直方图
[例 1] 如图是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据 样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ________,数据落在[2,10)内的概率约为________.
• 解析:200×(0.08×4)=64; • (0.02+0.08)×4=0.4. • 答案:64;0.4 • 点评:1.依据频率分布直方图计算时要牢记,
注意以下结论: (1)如果 x1、x2、…、xn 的平均数为-x ,则 ax1+b,ax2 +b,…,axn+b 的平均数为 a -x +b. (2)数据 x1、x2、…、xn 与数据 x1+m、x2+m、…、xn +m 的方差相等. (3)若 x1、x2、…、xn 的方差为 s2,则 kx1,kx2,…,kxn 的方差为 k2s2. 计算方差时,要依据所给数据的特点恰当选取公式以简 化计算.
甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:110,115,90,85,75,115,110.
• (1)这种抽样方法是哪一种?
• (2)将这两组数据用茎叶图表示;
• (3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较 稳定.
• Baidu Nhomakorabea析:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽 样.
• (2)茎叶图如下:
⑤绘制频率分布直方图:把横轴分成若干段,每一段 对应一个组距,然后以线段为底作一矩形,它的高等于该
频率 组的组距,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好 是该组上的频率.这些矩形就构成了频率分布直方图.
在频率分布直方图中,纵轴表示“频率/组距”,数据 落在各小组内的频率用小矩形的面积表示,各小矩形的面 积总和等于 1.
点评:(1)如果注意观察两组数据可以发现,前两个数 据相同,后三个数据,甲班更接近,故方差较小,可不必 计算乙班的方差.
(2)注意样本方差的两个计算公式 s2=n1i=n1 (xi--x )2 和
s2=n1i=n1x2i --x 2 各自的适用条件,灵活选用公式以减少计
算量.
• (文)某人5次上班途中所花的时间(单位:分 钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均 数为10,方差为2,则|x-y|的值为( )
• 答案:C
• (理)为了解某校高三学生的视力情况,随机 地抽查了该校100名高三学生的视力情况,
得到频率分布直方图如下图;由于不慎将 部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比 数列,后6组的频数成等差数列,设最大频 率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b, 则a、b的值分别为( )
• A.0.27,78 • C.2.7,78
误区警示
1.对频率分布直方图和茎叶图识图不准是常见的错
频率 误.在频率分布直方图中,小矩形的高=组距=
频数
频率
组距×样本容量.频率=组距×组距=小矩形的面积.
• 2.中位数可能不在样本数据中.
• 3.计算公式用错或计算错误.计算平均数、 方差、标准差等时计算量大,要注意计算 结果的准确性.
• 4.直方图与条形图不要混淆.
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
• 如果甲、乙两人中只有1人入选,则入选的 最佳人选应是________.
• 解析:五次成绩中,有三次成绩甲、乙相 同,其余两次成绩的和相等,甲的较接近, 故甲的方差较小,即甲的成绩更稳定,应 选甲.
• 答案:甲
综合应用
[例 5] 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自 动包装传送带上每隔 30min 抽取一包产品,称其重量, 分别记录抽查数据如下:
2.频率分布折线图 (1)把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段 连接起来,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线 如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频 率分布折线图实际上越来越接近于一条光滑曲线,这条光 滑的曲线就叫总体密度曲线.
3.茎叶图 统计中还有一种用来表示数据的图叫做茎叶图. 茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数. 在样本数据较少、较为集中,且位数不多时,用茎叶图 表示数据的效果较好,它较好的保留了原始数据信息,方便 记录与表示,但当样本数据较多时,茎叶图就不太方便.
解题技巧 1.在频率分布直方图中,平均数的估计值等于频率分 布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和;中位数的估计值,应使中位数左右两边的直方图面 积相等;最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据 的众数.
• 2.方差是刻画一组数据离散程度的量,它 反映一组数据围绕平均数波动的大小.方 差越大,这组数据波动越大,越分散.讨 论产品质量、售价高低、技术高低、产量 高低、成绩高低、寿命长短等等问题,一 般都是通过方差来体现.
• C.λ1<λ2,μ1<μ2
D.λ1<λ2,μ1>μ2
• 解析:由茎叶图知λ1=20.5,λ2=18.5,μ1= 19.9,μ2=18.9,∴λ1>λ2,μ1>μ2,故选B.
• 答案:B
样本平均数与样本方差
[例 3] 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:
4.平均数、中位数和众数 (1)平均数:一组数据的总和除以数据的个数所得的 商就是平均数. (2)中位数:如果将一组数据按从小到大的顺序依次 排列,当数据有奇数个时,处在最中间的一个数是这组 数据的中位数;当数据有偶数个时,处在最中间两个数 的平均数,是这组数据的中位数.
• (3)众数:出现次数最多的数(若有两个或几 个数据出现得最多,且出现的次数一样, 这些数据都是这组数据的众数;若一组数 据中,每个数据出现的次数一样多,则认 为这组数据没有众数).
点评:也可以先求各小组的频数解答如下: 设第 i 组的频数为 ai(i=1,2,…,9), 由图知100a×1 0.1=0.1,∴a1=1.同理 a2=3. ∵前 4 组频数成等比数列,∴a3=9,a4=27. 又后 6 组频数成等差数列,设公差 d, 则aa44= +2a75+…+a9=100-1+3+9 得 d=-5.∴b=a4+a5+a6+a7=78,a=1a040=0.27.