高考数学总复习 112 用样本估计总体课件 新人教A版

茎叶图
[例 2] (2010·湖南省湘潭市)下图是 2009 年央视挑战 主持人大赛中，7 位评委为某选手打出的分数的茎叶统计 图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数 为( )
• A.83 D．86
B ． 84
C ． 85
• 分析：由茎叶图知，这组数据为两位数， 茎为十位数，叶为个位数，去掉最高分和 最低分后，剩下数据的十位数字都是8，故 计算平均分只需计算个位数的平均数即 可．
学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2＝ ________.
分析：所给数据都是一位数，且比较集中，因此使
用方差的两个计算公式都可以，但用公式
s2＝n1
n i＝1
(xi
－－x )2 计算更简便．
解析：－x 甲＝7， s2甲＝15(12＋02＋02＋12＋02)＝25， －x 乙＝7， s2乙＝15(12＋02＋12＋02＋22)＝65， ∴s2甲<s2乙，∴方差中较小的一个为 s2甲，∴s2＝25. 答案：25
s 乙＝ 16[6.68－6.7552＋6.68－6.7552＋…＋6.45－6.7552]
≈0.310. ∵ x 甲＝ x 乙，∴两种产品的平均售价相同． 而 s 甲<s 乙，因此可以作出估计，甲种产品的售价比较稳定．
答案：甲
• (2011·苏州模拟)甲、乙两名射击运动员参 加某大型运动会的预选赛，他们分别射击 了5次，成绩如下表(单位：环)：
5．方差、标准差 设样本数据为 x1，x2，…，xn 样本平均数为－x ，则 s2 ＝n1[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]＝n1[(x21＋x22＋… ＋x2n)－n x 2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波 动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大． 把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准 差．
B．0.27,83 D．2.7,83
解析：由直方图可知，前 4 组的公比为 3，最大 频率 a＝0.1×33×0.1＝0.27，设后 6 组的频率公差为 d，则 1－(0.01＋0.03＋0.09)＝0.27×6＋5×2 6d，
解得：d＝－0.05，
• ∴后6组的频率公差为－0.05， • 所以视力在4.6到5.0之间的学生数为 • (0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78人． • 答案：A
(3)甲车间：
平均值： x1 ＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝ 100，
方
差
：
s21＝
1 7
[(102－
100)2
纵轴为频率/组距，小矩形的面积才表示频 率．
• 2．可以用样本的频率估计概率．
• (文)(2010·广东玉湖中学)200辆汽车经过某 一雷达地区，时速频率分布直方图如图所 示，则时速超过70km/h的汽车数量为( )
• A．1辆 D．70辆
B ． 10 辆
C ． 20 辆
• 解析：(80－70)×0.01×200＝20.
(理)(2010·瑞安中学)已知数据 x1、x2、x3、x4、x5 是 互．不．相．等．的．正．整．数．，且－x ＝3，中位数是 3，则这组数据 的方差是________．
解析：15(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝3，又中位数是 3，则 必有两数小于 3，两数大于 3，又 xi 是互不相等的正整数， 故此五数只能是 1,2,3,4,5，
解析：去掉最高分 93 分，最低分 79 分，所剩数 据的平均数为－x ＝80＋15(4＋4＋6＋4＋7)＝85.
答案：C
• (2011·巢湖质检)在如图所示的茎叶图中，
若甲、乙两组数据的中位数分别为λ1，λ2， 平均数分别为μ1，μ2，则下列判断正确的是 ()
• A.λ1>λ2，μ1<μ2
B．λ1>λ2，μ1>μ2
• 则售价较为稳定的产品为________．
• 分析：售价稳定即方差较小，故先计算甲、 乙的平均数、方差，再通过比较方差的大 小下结论．
解析： x 甲＝16(6.75＋6.9＋…＋6.9)＝6.755. s 甲＝
16[6.75－6.7552＋6.9－6.7552＋…＋6.9－6.7552] ≈0.179. x 乙＝16(6.68＋6.68＋…＋6.45)＝6.755.
第二 节
用样本估计总体
重点难点 重点：用样本的频率分布估计总体分布；用样本的数 字特征估计总体的数字特征． 难点：频率分布直方图的理解和应用．
知识归纳 1．编制频率分布直方图的步骤如下： ①求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差． ②决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常
极差 分成 5～12 组．组距＝组数.
∴方差 s2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5 －3)2]＝2.
答案：2
用样本估计总体
[例 4] 有甲、乙两种产品，在连续 6 年中各年的 平均售价如下(单位：元/件)：
第一 第二 第三 第四 第五 第六 年年年年年年
甲 6.75 6.9 6.75 6.38 6.85 6.9 乙 6.68 6.68 7.2 7.13 6.39 6.45
③将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区 间，最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分 组；
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布 表．
将样本数据分成若干小组，每个小组内的样本个数称作 频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率．频率反 映数据在每组 所占比例 的大小．
• A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由条件得
x＋y＋10＋11＋9＝50 15[x－102＋y－102＋0＋1＋1]＝2
整理得xx＋ 2＋yy＝2＝20208
1 2
，
• 由(1)两边平方得x2＋y2＋2xy＝400，∴2xy ＝192，
• ∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝208－192＝16， • ∴|x－y|＝4. • 答案：D
频率分布直方图
[例 1] 如图是样本容量为 200 的频率分布直方图．根据 样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ________，数据落在[2,10)内的概率约为________．
• 解析：200×(0.08×4)＝64； • (0.02＋0.08)×4＝0.4. • 答案：64；0.4 • 点评：1.依据频率分布直方图计算时要牢记，
注意以下结论： (1)如果 x1、x2、…、xn 的平均数为－x ，则 ax1＋b，ax2 ＋b，…，axn＋b 的平均数为 a －x ＋b. (2)数据 x1、x2、…、xn 与数据 x1＋m、x2＋m、…、xn ＋m 的方差相等． (3)若 x1、x2、…、xn 的方差为 s2，则 kx1，kx2，…，kxn 的方差为 k2s2. 计算方差时，要依据所给数据的特点恰当选取公式以简 化计算．
甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110.
• (1)这种抽样方法是哪一种？
• (2)将这两组数据用茎叶图表示；
• (3)将两组数据比较，说明哪个车间产品较 稳定．
• Baidu Nhomakorabea析：(1)因为间隔时间相同，故是系统抽 样．
• (2)茎叶图如下：
⑤绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段 对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该
频率 组的组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好 是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图．
在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据 落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面 积总和等于 1.
点评：(1)如果注意观察两组数据可以发现，前两个数 据相同，后三个数据，甲班更接近，故方差较小，可不必 计算乙班的方差．
(2)注意样本方差的两个计算公式 s2＝n1i＝n1 (xi－－x )2 和
s2＝n1i＝n1x2i －－x 2 各自的适用条件，灵活选用公式以减少计
算量．
• (文)某人5次上班途中所花的时间(单位：分 钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均 数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
• 答案：C
• (理)为了解某校高三学生的视力情况，随机 地抽查了该校100名高三学生的视力情况，
得到频率分布直方图如下图；由于不慎将 部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比 数列，后6组的频数成等差数列，设最大频 率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b， 则a、b的值分别为( )
• A．0.27,78 • C．2.7,78
误区警示
1．对频率分布直方图和茎叶图识图不准是常见的错
频率 误．在频率分布直方图中，小矩形的高＝组距＝
频数
频率
组距×样本容量.频率＝组距×组距＝小矩形的面积．
• 2．中位数可能不在样本数据中．
• 3．计算公式用错或计算错误．计算平均数、 方差、标准差等时计算量大，要注意计算 结果的准确性．
• 4．直方图与条形图不要混淆．
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
• 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的 最佳人选应是________．
• 解析：五次成绩中，有三次成绩甲、乙相 同，其余两次成绩的和相等，甲的较接近， 故甲的方差较小，即甲的成绩更稳定，应 选甲．
• 答案：甲
综合应用
[例 5] 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自 动包装传送带上每隔 30min 抽取一包产品，称其重量， 分别记录抽查数据如下：
2．频率分布折线图 (1)把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段 连接起来，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线 如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频 率分布折线图实际上越来越接近于一条光滑曲线，这条光 滑的曲线就叫总体密度曲线．
3．茎叶图 统计中还有一种用来表示数据的图叫做茎叶图． 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图 表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便 记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．
解题技巧 1．在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分 布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直方图面 积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据 的众数．
• 2．方差是刻画一组数据离散程度的量，它 反映一组数据围绕平均数波动的大小．方 差越大，这组数据波动越大，越分散．讨 论产品质量、售价高低、技术高低、产量 高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一 般都是通过方差来体现．
• C．λ1<λ2，μ1<μ2
D．λ1<λ2，μ1>μ2
• 解析：由茎叶图知λ1＝20.5，λ2＝18.5，μ1＝ 19.9，μ2＝18.9，∴λ1>λ2，μ1>μ2，故选B.
• 答案：B
样本平均数与样本方差
[例 3] 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：
4．平均数、中位数和众数 (1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的 商就是平均数． (2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次 排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组 数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数 的平均数，是这组数据的中位数．
• (3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几 个数据出现得最多，且出现的次数一样， 这些数据都是这组数据的众数；若一组数 据中，每个数据出现的次数一样多，则认 为这组数据没有众数)．
点评：也可以先求各小组的频数解答如下： 设第 i 组的频数为 ai(i＝1,2，…，9)， 由图知100a×1 0.1＝0.1，∴a1＝1.同理 a2＝3. ∵前 4 组频数成等比数列，∴a3＝9，a4＝27. 又后 6 组频数成等差数列，设公差 d， 则aa44＝ ＋2a75＋…＋a9＝100－1＋3＋9 得 d＝－5.∴b＝a4＋a5＋a6＋a7＝78，a＝1a040＝0.27.