第5章 层合板的刚度与强度分析
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层合板的刚度与强度
例如：【05/902/45/-453】s 这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组 包含五层相对参考轴为0˚方向的铺层，接着向上是两层90˚方 向铺层，再向上是一层45˚方向铺层，最后至中面的三层是 －45˚方向的铺层。下角标s，表示对称层合板。
奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。
A12*=Q12
A66*=Q66
A16*= A26*= 0
式中 V(0)=n(0)/n, V(90)=n(90)/n 分别表示0˚方向和 90˚方向铺层的体积含量。 由正则化面内刚度系数矩阵求逆，即得正则化面内柔度 系数矩阵（aij*）。 P48 例题
•B. 斜交铺设对称层合板 凡各个单层只按±φ 两种方向铺设的对称层合板称为斜 交铺设对称层合板。如果两种方向的层数相同，则称为均衡斜 交铺设对称层合板。 对于均衡斜交铺设对称层合板，存在两个弹性主方向。
ij
ij
即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。
（3－1）～（3－4）均可写成矩阵形式。（略）
3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
类似于定义单层的工程弹性常数，利用单轴层合板应力或 纯剪层合板应力来定义对称层合板的面内工程弹性常数，可以 得到面内拉压弹性模量 例： Nx*≠0, Ny*= Nxy*=0, 利用公式（3－4），得
对于这样的层合板，当作用力的合力作用线位于层合板 的几何中面内时（如图），由于层合板刚度的中面对称性， 层合板将引起面内变形（厚度方向的变形可忽略），不引起 弯曲变形。
在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接 的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向 上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移， 即
(k ) 0
h/2
层合板的强度
层合板发生最先一层失效后，层合板刚度如何计算，即 层合板刚度修正，有以下方案:
①消层模型
若 失效单层 1 X ，其刚度应为零，即 Q11＝Q22＝Q12＝Q66＝0
②纤维继续承载模型
若 失效单层 1 X ，通常首先 发生了纵向开裂，成了一束束纤维， 仅能承受沿纤维方向的载荷。即 仅 Q11 0。
N xy
N0 xy
k
N* xy
5. 层合板的残余应力与残余应变
层合板在温度和含温量变化时会在板内产生残余应力。
任一单层的残余应力与残余应变相关
R x R y
QQ11((12kk))
Q (k) 12
Q (k) 22
Q(k) 16
Q(k) 26
S11 S21 S61
S12 S22 S62
S16 S26 S66
x y
xy
e e
x y
exy
偏轴应力应变关系为
x y
xy
QQ1211 Q61
Q12 Q22 Q62
本科生课程
复合材料力学与结构设计
3.4 层合板的强度
层合板强度是以构成层合板的每个单层的强度为基础的。 层合板在施加载荷作用下，破坏将由某一单层最先失效 开始，随后其它单层相继发生失效，直至总体破坏，如 图所示。
层合板整个破坏过程是一个逐层破坏到总体破坏的过程， 存在最先一层失效（FPF）强度和最终破坏的极限强度。
原始数据： 单层模量和强度 层合板铺设角、铺层顺
层合板强度的宏观力学分析
Hill-蔡强度理论
X
2 1 2
1 2
X
2
Y
2 2 2
S
2 12 2
1
层合板强度
• 层合板的强度分析
– 需要了解每一单层的应力状态 – 给出层合板能承受的最大载荷（目的1） – 设计承受给定载荷所必需的层合板特征（目的2）
• 对复合材料层合板来说，一层的破坏不一定等同于整个 层合板的破坏，层合板的强度与下列因素有关：
一般对失效层退化采用如下假定：
如果： 1 X , 2 Y , Q66 0 如果：1 X , 2 Y 如果：1 X , Q22 Q12 Q66 0 Q11 Q22 Q12 Q66 0
2.层合板强度的应力计算公式
N x A11 N y A12 N xy A16 M x B11 M y B12 B M xy 16 A 12 A22 A26 B12 B22 B26 A16 A26 A66 B16 B26 B66 B11 B12 B12 B22 B16 B26 D11 D12 D12 D22 D16 D26
1、计算Q和A
Q
(1) 11
Q
(2) 22
54.92GPa
Q11 Q12 Q22
E1 1 12 21 12E2 21E1 1 12 21 1 12 21 E2 1 12 21
(1) (2) Q12 Q12 4.58GPa (1) (2) Q22 Q11 18.33GPa
2 Yt , 1 X t
0 0 0 54.92 4.58 0 Q1,3 4.58 18.33 0 GPa , Q2 0 54.92 0 GPa 0 8.62 0 0 0 0 0 9.15 0.764 0 tGPa, A 0.764 48.82 0 1.442 0 0 0.00171 0.109 1 0 t 1 MPa A' 0.00171 0.0205 0 0 0.6937
8.第八次课——一般层合板的刚度+层合板的强度(讲课用)
* 12
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
正交对称层合板的相关特性
特性（2）：正则化面内刚度系数A*12、A*66不随着单层组体积含量v0和v90变化， 是一个常量。 其中，根据正则化面内刚度系数A*12、A*66的定义式，面内泊松耦合刚度系数A*12 和剪切刚度系数A*66是两个由原材料性质确定的常数。
m4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 Q 11 m2 n2 m4 n4 4m 2 n 2 Q 22 2 2 2 2 2 2 2 mn 2m n m n Q12 3 3 3 3 3 Q mn mn m n 2 mn m n 66 m3n m3n mn3 2 m3n mn3 n4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 m cos n sin
* 12
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
对于正交层合板，根据偏轴模量和正轴模量之间的转换关系式：
4 Q11 m n4 Q 22 2 2 m n Q12 2 2 Q m n 66 3 Q16 m n Q mn3 26
特性一
这是因为上述正则化面内刚度系数与偏轴角的正负无关，不论是 正偏轴角还是负偏轴角，在x或者y方向所提供的刚度是相等的。
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
* A11 U 1Q U 2Q cos 2 U 3Q cos 4 * A22 U1Q U 2Q cos 2 U 3Q cos 4 * A12 U 4Q U 3Q cos 4
2 1 * * A16 V3 AU 2Q V4*AU 3Q 0 2 1 * A26 V3*AU 2Q V4*AU 3Q 0 2
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
正交对称层合板的相关特性
特性（2）：正则化面内刚度系数A*12、A*66不随着单层组体积含量v0和v90变化， 是一个常量。 其中，根据正则化面内刚度系数A*12、A*66的定义式，面内泊松耦合刚度系数A*12 和剪切刚度系数A*66是两个由原材料性质确定的常数。
m4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 Q 11 m2 n2 m4 n4 4m 2 n 2 Q 22 2 2 2 2 2 2 2 mn 2m n m n Q12 3 3 3 3 3 Q mn mn m n 2 mn m n 66 m3n m3n mn3 2 m3n mn3 n4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 m cos n sin
* 12
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
对于正交层合板，根据偏轴模量和正轴模量之间的转换关系式：
4 Q11 m n4 Q 22 2 2 m n Q12 2 2 Q m n 66 3 Q16 m n Q mn3 26
特性一
这是因为上述正则化面内刚度系数与偏轴角的正负无关，不论是 正偏轴角还是负偏轴角，在x或者y方向所提供的刚度是相等的。
3.2.4 几种典型对称层合板的面内刚度
* A11 U 1Q U 2Q cos 2 U 3Q cos 4 * A22 U1Q U 2Q cos 2 U 3Q cos 4 * A12 U 4Q U 3Q cos 4
2 1 * * A16 V3 AU 2Q V4*AU 3Q 0 2 1 * A26 V3*AU 2Q V4*AU 3Q 0 2
复合材料力学2-5章
第二章单向层合板的正轴刚度本章的一些讲法与讲义次序不同，请同学们注意，另外一些在材料力已阐明的概念，如应力、应变等在这里不再强调，希望大家能自学与复习。
§2—1 正交各向异性材料的特点●各向同性材料●各向异性材料我们这里所指的各向异性材料的特点仅仅是指在不同方向上材料的力学性质不同（机械性能）。
●正交各向异性材料正交各向异性材料是一种特殊的各向异性材料。
其特点为: 这类材料有三个互相垂直的弹性对称面（与弹性对称面对称的点性质相同），在平行方向上的弹性质(力学特性)均相同。
如多层单向板，当不考虑纤维与基体性质的不均匀性，粘结层又很薄可以忽略，即把它写作“连续匀质”材料看，则三个弹性对称面分别为：与单层平行的面及与它垂直的纵向、横向的两个切面。
板上任何两点，在平行方向上的力学性质是一样的。
把这三个弹性平面相交的三个轴称为弹性主轴，也称为正轴。
下图是一种典型的正交个向异性材料，当厚度很小时可处理为正交个向异性板。
用宏观力学处理连续纤维增强复合材料层压板结构时，总是把单向层板作为基本单元来分析层合板。
层合板的组成增强纤维排列方向一致所粘合的薄层称单向(单层)板（层），有时把很多单层粘合在一起，各层的纤维排列方向均一致，也称单向板。
正轴的弹性常数正交各向异性弹性体，1、2、3轴为它的弹性主轴，则沿这三个轴共有9各独立弹性常数。
1E 、2E 、3E ——杨氏模量； 12G 、13G 、23G ——剪切模量； 21v 、31v 、32v ——泊松系数。
21v 表示在1方向拉伸时在2方向产生的收缩效应系数；同样，12v 表示在2方向拉伸时在1方产生的收缩效应系数。
1221v v ≠ 这点与各向同性材料不同。
并有关系式212121E v E v = 313131E v E v = 323232E v E v = ∴ 12v、13v 、23v 是不独立的系数。
顺便指出，有的文献定义12v 为1方向拉伸时在2方向的收缩系数。
材料力学层合材料知识点总结
材料力学层合材料知识点总结材料力学是研究材料内部的力学行为、结构和性能之间的关系的学科。
而层合材料则是由两个或多个材料层通过粘结在一起而形成的复合材料。
本文将对材料力学层合材料的基本知识点进行总结。
一、层合材料的构成与分类层合材料由两个或多个层（称为层片）组成，每个层片都具有不同的材料和物理性质。
根据层片的类型，层合材料可以分为金属层合材料、聚合物层合材料以及陶瓷层合材料。
金属层合材料：由两个或多个金属层通过粘结或焊接在一起形成。
其中，常见的金属层合材料有铝层合板和钛-铝层合板等。
聚合物层合材料：由两个或多个聚合物层粘结在一起，形成具有不同性能和用途的复合材料。
例如，碳纤维增强聚酰胺层合材料被广泛应用于航空航天和汽车工业领域。
陶瓷层合材料：由两个或多个陶瓷层粘结在一起形成的复合材料。
陶瓷层合材料通常具有高的耐磨性和耐高温性能，因此在高温环境下的应用非常广泛。
二、层合材料的力学性能1. 强度和刚度：层合材料的强度和刚度取决于组成层片的材料的性能、厚度和层合材料的结构。
例如，使用高强度的纤维增强材料作为强化层片，可以提高层合材料的强度和刚度。
2. 破坏行为：层合材料的破坏行为可以分为层间剪切破坏、层内剪切破坏和层间拉伸破坏等。
在设计和使用层合材料时，需要考虑不同破坏模式的发生条件和预测方法。
3. 界面性能：由于层合材料是由粘结材料将层片连接在一起，界面的粘结性能对层合材料的性能具有重要影响。
强化界面的方法包括化学处理、增加粘结剂以及使用中间层等。
4. 热膨胀性：由于不同材料的热膨胀系数不同，层合材料在温度变化时会发生热应力。
合理设计层合材料的结构，可以减小热应力对材料性能的影响。
三、层合材料的应用领域1. 航空航天领域：由于层合材料具有优异的比强度和比刚度，可以用来制造飞机和航天器的结构件，如机翼、尾翼和机身等。
2. 汽车工业：层合材料可以用于制造汽车车身、车门和引擎罩等部件，以减轻重量、提高燃油效率和碰撞安全性。
复合材料力学 第五章 复合材料层合板的强度
三、本构方程
由正交各向异性层板的应力应变关系，有
ζ x Q ε x Q (ε zκ)
由中面力的定义可得中面力为：
N ζ x 1 dz ( Q dz)ε 0 ( Q zdz)κ Aε 0 Bκ
中面矩为：
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
三者均为3×3矩阵，由此可得矩阵形式的经典叠层本构关系式 ：
N A B ε 0 M B D κ
6×1 6×6 6×1
6×6矩阵简称为刚度矩阵。
其中：
A
——拉（压）剪刚度，量纲[力][长度]-1
A16 , A26
为拉剪耦合刚度。
yz zx 0
由弹性力学可得：
以及
z 0
w z z 0 u w 0 zx z x v w yz z y 0
积分
w( x, y, z ) w0 w 0 u ( x, y, z ) u z x w 0 v( x, y, z ) v z y
板中任一点 的应变
u u 0 2w 0 x z ( 2 ) x z x x x x v v 0 2w 0 y z ( 2 ) y z y y y y
xy
v u v 0 u 0 2w 0 z ( ) xy z zy x y x y xy
x 0
0 0 0 x , y , xy为中面应变
x , y为中面曲率 xy为中面扭率
注意：1）此处的xy轴是叠层轴，对某一单层， 一般而言不是它的主轴。 2）只要中面变形已知，即可按上式求 出薄板任一点的应变
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
dz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
dz
M
x
M y
M
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
zdz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
zdz
经典层合板理论
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny , 及Nxy合力矩 是指单位长度上的力或力矩）
（都 M x , M y , M xy
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
N
x
Ny
N
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0,表w 示中面的位移分量，并且只是 坐标 的x,函y 数，其中 为挠w 度函数
5 第五章 复合材料层合板的强度解析
? Xc ? s ? Yc ? sT | ? LT |? S
L ? Xt ? Yt
?? ? ??
（5.1）
3. 蔡—希尔（Tsai-Hill）失效判据
蔡—希尔失效判据是各向同性材料的冯·米塞斯（Von·Mises）屈服失效判
据在正交各向异性材料中的推广。希尔假设了正交各向异性材料的失效判据
具有类似于各向同性材料的米塞斯（Mises）准则，并表示为
? ?Lc
? ?L
?
?
Lt
? ?
? ?T c ? ?T ? ?T t ?（5.2）
由于单层的应力-应变关系一直到破坏都是 线性的，所以式（5.2）中的极限应变可以用相 应的基本强度来表示，即：
| ? LT |? ? LTS
? ?
? Lt
?
Xt , EL
? Lc
?
Xc , EL
?Tt
?
Yt ET
,
?Tc
F ?s2
?
? s 3 2
?
G?s3
?
? s1 2
?
H ?s1
?
? s2 2
?
2L?
2 23
?
2M?
2 31
?
2 N?122
?
1
式中，s1，s2，s3，?23，?31，?12是材料主方向
上的应力分量（见图5.1），F，G，H，L，M，
（5.5）
N称为强度参数，与材料主方向的基本强度有
关。假设该材料的拉压强度相等，材料方向基
? ?s L ?
0
? ?
??s T
? ?
（3.5）
1
? ??? LT ?? ?
GLT ?
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析优秀课件
z
w z
0
zx
u z
w x
0
zy
v z
w y
0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w(x, y)
u
u0
(x,
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0, w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y的函数，其中 w 为挠度函数
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： yz 0, zx 0
等法线假设： z 0 平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0 忽略正应力假设： z 0
面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N
x
Ny
A11
A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
N
xy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
kxy
M M M
x y xy
B11 B12 B16
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
y x
中面的曲率为：
层合板的刚与强
1
a x
11
同理，
N 0 Ey
y
0
1
a y
22
a 0 x
y
21
a x
11
a 0 y
所以
N A A A
0
0
0
x
11 x
12 y
16 xy
N A A A
0
0
0
y
21 x
22 y
26 xy
（3－2）
N A A A xy
0
61 x
0
62 y
0 66 xy
上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式，
实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应
例如：【05/902/45/-453】s 这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组
包含五层相对参考轴为0˚方向的铺层，接着向上是两层90˚方 向铺层，再向上是一层45˚方向铺层，最后至中面的三层是
－45˚方向的铺层。下角标s，表示对称层合板。
奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。 例如：【0/90】s 即【0/90/0】
变的关系式。
我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内
应变与面内力的关系式。
a N a N a N 0
x
11
x
12
y
16
xy
a N a N a N 0
y
21 x
22
y
26
xy
a N a N a N 0
xy
61
x
62
y
66
xy
（3－3）
式中aij称为层合板面内柔度系数。
第5章层合板刚度与强度分析
D D1121
D12 D22
0 0
kkyx
Mx
y
0
0
D66kx
y
拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有耦合
第5章层合板刚度与强度分析
5.4.3 各向异性单层板
一般正交各向异性单层
A ij Q ij t
B ij 0
D ij
Q ij t 3 12
Nx Ny
A11 A12
A12 A22
AA126600yx
{0}{u x0,vy0,(u y0vx0)T } {k}{2 xw 2 , 2 yw 2 ,2x2w y}T
分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列阵
kx
(
2w x2 )
2w ky ( y2 )
称为曲率
2w kxy( 2 xy)
称为扭率
第5章层合板刚度与强度分析
{}{0}z{k}
kQ kk
第5章层合板刚度与强度分析
5.1 引言
(1)由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确 定的材料主方向。 (2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能与铺层叠放次序，对于确 定的铺层与叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。 (3)层合板有耦合效应，即在面内拉(压)、剪切载荷下可产生弯、 扭变形；反之，在弯、扭载荷下可产生拉(压)、剪切变形。 (4)一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可能继续承载，层合板不 一定失效。 (5)固化工艺在层合板中要引起温度应力(Temperature stress)，这是 层 (6)合由板于的各初铺应层力粘(结Or在ig一ina起l s，tre在ss)变。形时要满足变形协调条件，故各 层之间存在层间应力(Interlaminar stress)。
3_层合板的刚度与强1度
a
62
a
22
(310)
同理，仅受xy方向剪 切应力时，
Nx y0,Nx Ny 0,
9/13/2019
面内剪切弹性模量 G
0 xy
1
a
66
面内剪拉耦合系数
0 x , xy
a
16
a
66
(311)
面内剪拉耦合系数
0 y , xy
由正则化面内刚度系数矩阵求逆，可得正则化面内柔
度系数矩阵为： aa1211
a61
a12 a22 a62
aaa162666AA1*1*1A1A2*2*A 202A2*1*(22(AA1*1*2)2)22
a
26
a
66
weizhou@
14
3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
当层合板具有正交各向异性的性能，且参考轴也正好
与正交各向异性的主方向重合时，A16 A26 0，
则(3-9)~(3-11)可表示为如下形式：
Ex0
A11 m0
x0
A21 A22
Ny z
x
Nxy
Nx
定义任意一个单层k的应力为
(
, (k)
x
, (k)
y
) (k)
xy
此单层的厚度为dz
则k单层x方向的面内力为 Nx(k) x(k)dz
将每一个单层的面内力叠加，得到厚度为h的层合板在
x方向的面内力为：
Nx
dz h 2 (k)
h 2 x
9/13/2019
复合材料层合板的刚度与强度分析
Nx Ny
A11 A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
Nxy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
k
x
z ky
xy
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
a
a
u
0
0
x
0 y
0 x y
x
u x
u0 x
z
2w x2
y
v y
v0 y
z
2w y 2
xy
u y
v x
( u0 y
v0 x
)
2z
2w xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
x
y
0 x
0 y
aaaA
1
Et
层合板的刚度与强度.
0
x
11 x
12
y
16
xy
a N a N a N 0
y
21
x
22
y
26
xy
（3－4）
a N a N a N 0
xy
61
x
62
y
66
xy
很明显，aij*=aijh，称为对称层合板的正则化面内柔度系数。 aij*的意义是，当对称层合板为单向层合板时，
a s ij
ij 即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。
称为层合板的面内刚度系数。面内刚度系数也象模量分量一
样，具有对称性。即Aij=Aji
为了使本章讨论对称层合板的刚度与以前讨论单向层合 板的刚度相关联。因此，将面内力与面内刚度系数进行正则 化，即设
N
x
Nx h
N
y
Ny h
N
xy
N xy
h
A
ij
Aij h
Nx*、Ny*、Nxy*称为层合板的正则化面内力，单位是Pa或N/m2， 它们实际上表示了层合板的平均应力，又称层合板应力。 Aij* 称为层合板的正则化面内刚度系数，单位是Pa或N/m2， 与模量分量的量纲一样。
在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接
的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向 上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移， 即
u(z)=u0
v(z)=v0
这在层合板的厚度与长度、宽度相比为很小时
是合理的。
所以沿层合板厚度上各点的应变是一样的。
εx(z)=εx˚ εy (z)=εy˚ γxy(z)=γxy˚
或【05/902/45/-456/45/902/05】T 另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用T的标记法。 例如：【05/903/05】T
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0 B16 x D11 0 D B 26 y 21 B 66 0 D16 xy
B12 B 22 B 26
B16 k x B 26 k y B 66 k xy
XZ平面内的变形几何
u0
A B A
B：中面上一点 C：任意点
B C D
zc
C D
x
z
w0
u C u 0 z c
是层合板中面在X方向上的斜率
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
w 0 x
XZ平面内的变形几何
层合板厚度上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意一点z的位移u为：
u u0 z
同样，在yz平面内，y方向上的位移v为：
i zdz
（i=x，y，xy）
x z y Ny Nyx Nx y z My Mxy Myx
x
Nxy
Mx
层合平板的力矩
N层层合板上作用的全部合力和力矩为：
N x Ny N xy x x M x x N N t/2 zk t/2 z y dz y dz M y y zdz t / 2 z k 1 t / 2 z k 1 k 1 xy xy k xy M xy
5.4.2 广义正交各向异性单层板
特殊正交各向异性单层
A 11 Q11t A 12 Q12t A 22 Q 22t A 16 A 26 0 A 66 Q 66t
D11 D12 Q 11t 3 12 Q 12t 3 12 Q 22 t 3 12 D 26 0
• 另外
– 单层平面应力状态假设：层合板中各单层都可近似地 认为处于平面应力状态 – z=0假设：在厚度方向上的正应力于其它应力相比很 小，可忽略不计
5.3.2 层合板的应力-应变关系
z,w x,u u0 y,v zc z
A B C D A
x
C D
B
w0
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
M x M y M xy
A ij B ij
N
B11 B 21 B16
B12 B 22 B 26
D12 D 22 D 26
D16 k x D 26 k y D66 k xy
Q
u 0 x v 0 { 0 } y u 0 v 0 y x
{} { 0 } z{k }
2w 2 x 2 w {k } 2 y2 w 2 xy
1 2 z1 z2 z k N 层数 Zk-1 t zN-1 zN
x k y zdz k 1 xy
k
按每一层
t/2
z0
z 0 t / 2
zk
N x Q11 N N y Q21 k 1 Q 16 N xy M x Q11 N M y Q21 k 1 Q 16 M xy
Q12 Q22 Q26
每一层的Qij是不同的
z
1 2 3 4
层合板
x
应变变化
特征模型
应力变化
因层合板沿厚度方向物理性质不连续导致应力的不连续
5.3.3 层合板的合力与合力矩
定义作用在单位宽度上层合板的平均内力 Ni 和内力矩Mi为
Ni
h/ 2 h / 2
idz
Mi
h/ 2
h / 2
M x D D 0 k x D D k y 0 M y 1 0 D k xy M xy 0 2
各向同性层板的拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有 耦合，同时
At 2 D 12
{ 0 } {
u 0 v 0 u 0 v 0 T , ,( )} x y y x
2w 2w 2w T {k } { 2 , 2 ,2 } x y xy
分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列阵
2w w ) k x ( 2 ) k y ( 2 y x
k 1 N
ij k
( z k z k 1 )
1 2 2 Qij k ( z k z k 1 ) 2 k 1
1 N 3 3 D ij Qij k ( z k z k 1 ) 3 k 1
子矩阵[A]、[B]和 [D]分别称 为面内刚度矩阵、耦合刚度矩 阵和弯曲刚度矩阵，都是3×3 对称矩阵
5.1 引言
(1)由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有 确定的材料主方向。 (2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能与铺层叠放次序，对于 确定的铺层与叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。 (3)层合板有耦合效应，即在面内拉(压)、剪切载荷下可产生弯、 扭变形；反之，在弯、扭载荷下可产生拉(压)、剪切变形。
• 有不同物理性质和几何尺寸单层组成的层合板具 有最一般的各向异性性质 • 层合板不一定有确定的主方向 • 另一方面，这种层合板在厚度方向具有客观的非 均匀性和力学性质的不连续性 • 对层合板的力学分析就变得更为复杂 • 已知单层的性质，主要关注沿厚度方向的应力和 应变的变化
图5-2 层合板坐标及铺层
第5章 层合板的刚度与强度分析
5.1 引言
5.2 层合板的标记 5.3 经典层合板理论 5.4 单层板的刚度 5.5 对称层合板的刚度 5.6 反对称层合板的刚度 5.7 层合板刚度的坐标变换
5.8 层合板刚度的实验验证
5.9 层合板的强度分析 5.10 层合板的层间应力与边缘效应
5.11 结论与讨论
• Bij的存在意味着层和板在弯曲和拉伸之间的相互 耦合 • 拉力不仅引起层合板的拉伸变形，而且也使层合 板扭转或弯曲 • 层合板承受力矩作用时，也会引起中面的拉伸变 形 • 化简问题：A B D
5.4 单层板的刚度
5.4.1 正交各向异性单层板
• 具有相同材料性能和厚度的单层板，彼此的材 料主方向不同，也不同于层合板轴的方向
w 0 x
w 0 v v0 z y
板内任一点的位移分量可表示为：
u u( x , y , z ) v v( x, y , z ) w w ( x, y , z )
由直法线不变假设，得
z 0 zx zy 0
w w 0 ( x, y ) u u0 z w 0 x w 0 v v0 z y
图5-1
铺层的叠放
5.2 层合板的标记
• 层合板定义：是由两层或多层简单层板粘合在一 起作为一个整体的结构单元。 • 各单层的材料主方向的布臵应使结构元件能承受 几个方向的载荷 • 单层板是层合板或层合结构分层的基本单元，对 它的宏观力学研究是分析层合结构的基础 • 层合板各单层的材料、厚度和弹性主方向等可以 互不相同。适当地改变这些参数，人们就可以设 计出最有效地承受特定外载的结构元件，这是复 合材料层合板突出的优点之一。
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
5.3 经典层合板理论
5.3.1 基本假设
• 层间变形一致性假设：层合板各单层之间粘合层非常薄， 单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移，无相对位 移 • 直法线不变假设：假设垂直于层合板中面的一根初始直线 ，在层合板受到拉伸和弯曲后，仍保持直线并垂直于中面 ；变形前垂直与板中面的直线在变形后仍保持垂直，且长 z 0, zx 0, zy 0 度不变，即： • 板的克希荷夫假设(Kirchhoff) • 壳的克希荷夫-勒普假设(Kirchhoff-Love) • 在上述假设基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论 • 上述假设没有针对层合平板的限制，层合板也可以时曲面 或壳
Q12 Q22 Q26
0 kx Q16 x zk zk 0 Q26 y dz k y zdz z z k 1 k 1 0 k Q66 k xy xy 0 kx Q16 x zk 2 zk 0 Q26 y zdz k y z dz z z k 1 k 1 0 k Q66 k xy xy
2w 0 u u 0 x z x x x 2 应变有位移确定如下: 2w 0 v v 0 y z y y y 2
xy 2w 0 u v u 0 v 0 2z y x y x xy
若用矩阵形式表示
Q12 Q22 Q26
不是z的函数而是中面值
N x N y N xy
A11 A 21 A16
A12 A 22 A 26
0 B A16 x 0 11 A 26 y B 21 A 66 0 B16 xy
– 逐步复杂化的特殊情况
• 单层结构的刚度
– – – – 各向同性 特殊正交各向异性 一般正交各向异性 各向异性
• 对称于中面的层合板 • 反对称于中面的层合板
各向同性单层
Et 3 D11 D 2 12(1 )
B ij 0
Et A 11 A 2 1 A 12 A A 22 0 A 16 A 26 0 Et 1 A 66 A 2(1 ) 2
B12 B 22 B 26
B16 k x B 26 k y B 66 k xy
XZ平面内的变形几何
u0
A B A
B：中面上一点 C：任意点
B C D
zc
C D
x
z
w0
u C u 0 z c
是层合板中面在X方向上的斜率
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
w 0 x
XZ平面内的变形几何
层合板厚度上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意一点z的位移u为：
u u0 z
同样，在yz平面内，y方向上的位移v为：
i zdz
（i=x，y，xy）
x z y Ny Nyx Nx y z My Mxy Myx
x
Nxy
Mx
层合平板的力矩
N层层合板上作用的全部合力和力矩为：
N x Ny N xy x x M x x N N t/2 zk t/2 z y dz y dz M y y zdz t / 2 z k 1 t / 2 z k 1 k 1 xy xy k xy M xy
5.4.2 广义正交各向异性单层板
特殊正交各向异性单层
A 11 Q11t A 12 Q12t A 22 Q 22t A 16 A 26 0 A 66 Q 66t
D11 D12 Q 11t 3 12 Q 12t 3 12 Q 22 t 3 12 D 26 0
• 另外
– 单层平面应力状态假设：层合板中各单层都可近似地 认为处于平面应力状态 – z=0假设：在厚度方向上的正应力于其它应力相比很 小，可忽略不计
5.3.2 层合板的应力-应变关系
z,w x,u u0 y,v zc z
A B C D A
x
C D
B
w0
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
M x M y M xy
A ij B ij
N
B11 B 21 B16
B12 B 22 B 26
D12 D 22 D 26
D16 k x D 26 k y D66 k xy
Q
u 0 x v 0 { 0 } y u 0 v 0 y x
{} { 0 } z{k }
2w 2 x 2 w {k } 2 y2 w 2 xy
1 2 z1 z2 z k N 层数 Zk-1 t zN-1 zN
x k y zdz k 1 xy
k
按每一层
t/2
z0
z 0 t / 2
zk
N x Q11 N N y Q21 k 1 Q 16 N xy M x Q11 N M y Q21 k 1 Q 16 M xy
Q12 Q22 Q26
每一层的Qij是不同的
z
1 2 3 4
层合板
x
应变变化
特征模型
应力变化
因层合板沿厚度方向物理性质不连续导致应力的不连续
5.3.3 层合板的合力与合力矩
定义作用在单位宽度上层合板的平均内力 Ni 和内力矩Mi为
Ni
h/ 2 h / 2
idz
Mi
h/ 2
h / 2
M x D D 0 k x D D k y 0 M y 1 0 D k xy M xy 0 2
各向同性层板的拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有 耦合，同时
At 2 D 12
{ 0 } {
u 0 v 0 u 0 v 0 T , ,( )} x y y x
2w 2w 2w T {k } { 2 , 2 ,2 } x y xy
分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列阵
2w w ) k x ( 2 ) k y ( 2 y x
k 1 N
ij k
( z k z k 1 )
1 2 2 Qij k ( z k z k 1 ) 2 k 1
1 N 3 3 D ij Qij k ( z k z k 1 ) 3 k 1
子矩阵[A]、[B]和 [D]分别称 为面内刚度矩阵、耦合刚度矩 阵和弯曲刚度矩阵，都是3×3 对称矩阵
5.1 引言
(1)由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有 确定的材料主方向。 (2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能与铺层叠放次序，对于 确定的铺层与叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。 (3)层合板有耦合效应，即在面内拉(压)、剪切载荷下可产生弯、 扭变形；反之，在弯、扭载荷下可产生拉(压)、剪切变形。
• 有不同物理性质和几何尺寸单层组成的层合板具 有最一般的各向异性性质 • 层合板不一定有确定的主方向 • 另一方面，这种层合板在厚度方向具有客观的非 均匀性和力学性质的不连续性 • 对层合板的力学分析就变得更为复杂 • 已知单层的性质，主要关注沿厚度方向的应力和 应变的变化
图5-2 层合板坐标及铺层
第5章 层合板的刚度与强度分析
5.1 引言
5.2 层合板的标记 5.3 经典层合板理论 5.4 单层板的刚度 5.5 对称层合板的刚度 5.6 反对称层合板的刚度 5.7 层合板刚度的坐标变换
5.8 层合板刚度的实验验证
5.9 层合板的强度分析 5.10 层合板的层间应力与边缘效应
5.11 结论与讨论
• Bij的存在意味着层和板在弯曲和拉伸之间的相互 耦合 • 拉力不仅引起层合板的拉伸变形，而且也使层合 板扭转或弯曲 • 层合板承受力矩作用时，也会引起中面的拉伸变 形 • 化简问题：A B D
5.4 单层板的刚度
5.4.1 正交各向异性单层板
• 具有相同材料性能和厚度的单层板，彼此的材 料主方向不同，也不同于层合板轴的方向
w 0 x
w 0 v v0 z y
板内任一点的位移分量可表示为：
u u( x , y , z ) v v( x, y , z ) w w ( x, y , z )
由直法线不变假设，得
z 0 zx zy 0
w w 0 ( x, y ) u u0 z w 0 x w 0 v v0 z y
图5-1
铺层的叠放
5.2 层合板的标记
• 层合板定义：是由两层或多层简单层板粘合在一 起作为一个整体的结构单元。 • 各单层的材料主方向的布臵应使结构元件能承受 几个方向的载荷 • 单层板是层合板或层合结构分层的基本单元，对 它的宏观力学研究是分析层合结构的基础 • 层合板各单层的材料、厚度和弹性主方向等可以 互不相同。适当地改变这些参数，人们就可以设 计出最有效地承受特定外载的结构元件，这是复 合材料层合板突出的优点之一。
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
5.3 经典层合板理论
5.3.1 基本假设
• 层间变形一致性假设：层合板各单层之间粘合层非常薄， 单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移，无相对位 移 • 直法线不变假设：假设垂直于层合板中面的一根初始直线 ，在层合板受到拉伸和弯曲后，仍保持直线并垂直于中面 ；变形前垂直与板中面的直线在变形后仍保持垂直，且长 z 0, zx 0, zy 0 度不变，即： • 板的克希荷夫假设(Kirchhoff) • 壳的克希荷夫-勒普假设(Kirchhoff-Love) • 在上述假设基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论 • 上述假设没有针对层合平板的限制，层合板也可以时曲面 或壳
Q12 Q22 Q26
0 kx Q16 x zk zk 0 Q26 y dz k y zdz z z k 1 k 1 0 k Q66 k xy xy 0 kx Q16 x zk 2 zk 0 Q26 y zdz k y z dz z z k 1 k 1 0 k Q66 k xy xy
2w 0 u u 0 x z x x x 2 应变有位移确定如下: 2w 0 v v 0 y z y y y 2
xy 2w 0 u v u 0 v 0 2z y x y x xy
若用矩阵形式表示
Q12 Q22 Q26
不是z的函数而是中面值
N x N y N xy
A11 A 21 A16
A12 A 22 A 26
0 B A16 x 0 11 A 26 y B 21 A 66 0 B16 xy
– 逐步复杂化的特殊情况
• 单层结构的刚度
– – – – 各向同性 特殊正交各向异性 一般正交各向异性 各向异性
• 对称于中面的层合板 • 反对称于中面的层合板
各向同性单层
Et 3 D11 D 2 12(1 )
B ij 0
Et A 11 A 2 1 A 12 A A 22 0 A 16 A 26 0 Et 1 A 66 A 2(1 ) 2