第5章 层合板的刚度与强度分析

• Bij的存在意味着层和板在弯曲和拉伸之间的相互 耦合 • 拉力不仅引起层合板的拉伸变形，而且也使层合 板扭转或弯曲 • 层合板承受力矩作用时，也会引起中面的拉伸变 形 • 化简问题：A B D
5.4 单层板的刚度
5.4.1 正交各向异性单层板
• 具有相同材料性能和厚度的单层板，彼此的材 料主方向不同，也不同于层合板轴的方向
5.1 引言
(1)由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有 确定的材料主方向。 (2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能与铺层叠放次序，对于 确定的铺层与叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。 (3)层合板有耦合效应，即在面内拉(压)、剪切载荷下可产生弯、 扭变形；反之，在弯、扭载荷下可产生拉(压)、剪切变形。
1 2 z1 z2 z k N 层数 Zk-1 t zN-1 zN
x k y zdz k 1 xy
k
按每一层
t/2
z0
z 0 t / 2
zk
N x Q11 N N y Q21 k 1 Q 16 N xy M x Q11 N M y Q21 k 1 Q 16 M xy
• 另外
– 单层平面应力状态假设：层合板中各单层都可近似地 认为处于平面应力状态 – z=0假设：在厚度方向上的正应力于其它应力相比很 小，可忽略不计
5.3.2 层合板的应力-应变关系
z,w x,u u0 y,v zc z
A B C D A
x
C D
B

w0
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
Q12 Q22 Q26
每一层的Qij是不同的
z
1 2 3 4
层合板
x
应变变化
特征模型
应力变化
因层合板沿厚度方向物理性质不连续导致应力的不连续
5.3.3 层合板的合力与合力矩
定义作用在单位宽度上层合板的平均内力 Ni 和内力矩Mi为
Ni
h/ 2 h / 2
idz
Mi
h/ 2
h / 2
{ 0 } {
u 0 v 0 u 0 v 0 T , ,( )} x y y x
2w 2w 2w T {k } { 2 , 2 ,2 } x y xy
分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列阵
2w w ) k x ( 2 ) k y ( 2 y x
w 0 x
w 0 v v0 z y
板内任一点的位移分量可表示为：
u u( x , y , z ) v v( x, y , z ) w w ( x, y , z )
由直法线不变假设，得
z 0 zx zy 0
w w 0 ( x, y ) u u0 z w 0 x w 0 v v0 z y
– 逐步复杂化的特殊情况
• 单层结构的刚度
– – – – 各向同性 特殊正交各向异性 一般正交各向异性 各向异性
• 对称于中面的层合板 • 反对称于中面的层合板
各向同性单层
Et 3 D11 D 2 12(1 )
B ij 0
Et A 11 A 2 1 A 12 A A 22 0 A 16 A 26 0 Et 1 A 66 A 2(1 ) 2
M x M y M xy
A ij B ij
N
B11 B 21 B16
B12 B 22 B 26
D12 D 22 D 26
D16 k x D 26 k y D66 k xy
Q
5.4.2 广义正交各向异性单层板
特殊正交各向异性单层
A 11 Q11t A 12 Q12t A 22 Q 22t A 16 A 26 0 A 66 Q 66tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D11 D12 Q 11t 3 12 Q 12t 3 12 Q 22 t 3 12 D 26 0
D12 D D 22 D D16 D 26 0 Et 3 1 D66 D 24(1 ) 2
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中 面的曲率有关
0 N x A A 0 x 0 N y A A 0 y 1 0 0 0 A xy N xy 2
u 0 x v 0 { 0 } y u 0 v 0 y x
{} { 0 } z{k }
2w 2 x 2 w {k } 2 y2 w 2 xy
2
称为曲率 称为扭率
2w k xy ( 2 ) xy
{} { 0 } z{k }
x y xy Q11 Q21 Q16
k Q k k
0 k x x Q16 0 Q26 y z k y k Q66 0 xy xy
0 B16 x D11 0 D B 26 y 21 B 66 0 D16 xy
B12 B 22 B 26
B16 k x B 26 k y B 66 k xy
Q12 Q22 Q26
不是z的函数而是中面值
N x N y N xy
A11 A 21 A16
A12 A 22 A 26
0 B A16 x 0 11 A 26 y B 21 A 66 0 B16 xy
图5-1
铺层的叠放
5.2 层合板的标记
• 层合板定义：是由两层或多层简单层板粘合在一 起作为一个整体的结构单元。 • 各单层的材料主方向的布臵应使结构元件能承受 几个方向的载荷 • 单层板是层合板或层合结构分层的基本单元，对 它的宏观力学研究是分析层合结构的基础 • 层合板各单层的材料、厚度和弹性主方向等可以 互不相同。适当地改变这些参数，人们就可以设 计出最有效地承受特定外载的结构元件，这是复 合材料层合板突出的优点之一。
(4)一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可能继续承载，层合板
不一定失效。 (5)固化工艺在层合板中要引起温度应力(Temperature stress)，这
是层合板的初应力(Original stress)。 (6)由于各铺层粘结在一起，在变形时要满足变形协调条件，故 各层之间存在层间应力(Interlaminar stress)。
XZ平面内的变形几何
u0
A B A
B：中面上一点 C：任意点
B C D
zc
C D
x
z

w0
u C u 0 z c
是层合板中面在X方向上的斜率
zc

变形前的横截面
变形后的横截面
w 0 x
XZ平面内的变形几何
层合板厚度上任意一点z的位移u为：
u u0 z
同样，在yz平面内，y方向上的位移v为：
i zdz
（i=x，y，xy）
x z y Ny Nyx Nx y z My Mxy Myx
x
Nxy
Mx
层合平板的力矩
N层层合板上作用的全部合力和力矩为：
N x Ny N xy x x M x x N N t/2 zk t/2 z y dz y dz M y y zdz t / 2 z k 1 t / 2 z k 1 k 1 xy xy k xy M xy
k 1 N
ij k
( z k z k 1 )
1 2 2 Qij k ( z k z k 1 ) 2 k 1

1 N 3 3 D ij Qij k ( z k z k 1 ) 3 k 1

子矩阵[A]、[B]和 [D]分别称 为面内刚度矩阵、耦合刚度矩 阵和弯曲刚度矩阵，都是3×3 对称矩阵
第5章 层合板的刚度与强度分析
5.1 引言
5.2 层合板的标记 5.3 经典层合板理论 5.4 单层板的刚度 5.5 对称层合板的刚度 5.6 反对称层合板的刚度 5.7 层合板刚度的坐标变换
5.8 层合板刚度的实验验证
5.9 层合板的强度分析 5.10 层合板的层间应力与边缘效应
5.11 结论与讨论
• 有不同物理性质和几何尺寸单层组成的层合板具 有最一般的各向异性性质 • 层合板不一定有确定的主方向 • 另一方面，这种层合板在厚度方向具有客观的非 均匀性和力学性质的不连续性 • 对层合板的力学分析就变得更为复杂 • 已知单层的性质，主要关注沿厚度方向的应力和 应变的变化
图5-2 层合板坐标及铺层
Q12 Q22 Q26
0 kx Q16 x zk zk 0 Q26 y dz k y zdz z z k 1 k 1 0 k Q66 k xy xy 0 kx Q16 x zk 2 zk 0 Q26 y zdz k y z dz z z k 1 k 1 0 k Q66 k xy xy
M x D D 0 k x D D k y 0 M y 1 0 D k xy M xy 0 2
各向同性层板的拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有 耦合，同时
At 2 D 12
2w 0 u u 0 x z x x x 2 应变有位移确定如下: 2w 0 v v 0 y z y y y 2
xy 2w 0 u v u 0 v 0 2z y x y x xy
若用矩阵形式表示
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
表5-1 层合板标记中的各种符号
5.3 经典层合板理论
5.3.1 基本假设
• 层间变形一致性假设：层合板各单层之间粘合层非常薄， 单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移，无相对位 移 • 直法线不变假设：假设垂直于层合板中面的一根初始直线 ，在层合板受到拉伸和弯曲后，仍保持直线并垂直于中面 ；变形前垂直与板中面的直线在变形后仍保持垂直，且长 z 0, zx 0, zy 0 度不变，即： • 板的克希荷夫假设(Kirchhoff) • 壳的克希荷夫-勒普假设(Kirchhoff-Love) • 在上述假设基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论 • 上述假设没有针对层合平板的限制，层合板也可以时曲面 或壳